第四章 动态数列
第一节 动态数列的编制
一、动态数列的概念
动态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并以此来预测未来的一种统计方法。
全国邮电业务总量
2000
亿元
1999
1998
1985
1978
1965
1957
1949
年份
例
动态数列由两个基本要素构成：
① 时间，即现象所属的时间；
② 不同时间上的统计指标数值，即不同时间上该现象的发展水平。
二、动态数列的种类
动态数列按照所列入指标数值的不同可分为：
绝对数动态数列
相对数动态数列
平均数动态数列
时期数列
时点数列
时期数列特点：
数列中各个指标值是可加的；
数列中每个指标值的大小随着时期的长短而变动；
数列中每个指标值通常是通过连续不断 的登记而取得。
时点数列特点：
数列中各个指标值是不能相加的；
数列中每个指标值的大小与时间间隔的长短没有直接关系；
数列中每个指标值通常是按期登记一次取得的。
全国城乡储蓄存款 单位：亿元
1999
余额
2000
1998
1997
1996
1985
1980
1978
年末
例
我国各年国内生产总值环比增长速度 单位：%
1990
1991
1992
1999
增速
2000
1998
1997
1996
1995
1994
1993
年份
例
上海职工1996 - 2000年年平均工资 单位：元
14147
1999
15420
12059
11425
10663
年平均工资
2000
1998
1997
1996
年份
例
三、动态数列的编制原则
基本原则是遵守其可比性。
具体说有以下几点：
注意时间的长短应统一；
总体范围应该一致；
指标的经济内容应该相同；
指标的计算方法和计量单位应该一致。
第二节 动态数列的水平分析指标
属于现象发展的水平分析指标有： 发展水平 平均发展水平 增长量 平均增长量。
一、发展水平
在动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发
展水平或动态数列水平。
如果用a0，a1，a2，a3，……an，代表数列中
各个发展水平，则其中a0即最初水平，an即
最末水平。
二、平均发展水平
平均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数。
某车间各月工业增加值
82
70
76
66
60
54
52
48
44
38
40
30
增加值(万元)
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
月份
从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显，如果计算出各季每月的平均增加值(序时平均数)，就可以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表：
76
60
48
36
各季每月平均增加值(万元)
四
三
二
一
季度
例
序时平均数与一般平均数的异同点：
二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概
括地反映现象的一般水平。
不同点
计算方法不同；
差异抽象化不同；
序时平均数还可解决某些可比性问题。
相同点
序时平均数的计算方法：
1. 时期数列的序时平均数
㈠ 绝对数动态数列的序时平均数
29
六
30
28
28
20
24
产量(万件)
五
四
三
二
一
月份
例
2. 时点数列的序时平均数
1). 对连续变动的连续时点数列(即未分组资料)
(1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：
2). 对非连续变动的连续时点数列(即分组资料)
某厂7月份的职工人数自7月1日至7月10日为258人，7月11日起至7月底均为279人，则该厂7月份平均职工人数为：
例
⑵ 如果资料是间断时点资料，也可分为二种情况：
1) 对间隔相等的间断时点资料
某成品库存量如下：
现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存量相等。则各月平均库存量为：
2800
2680
3300
3000
库存量(件)
6月30日
5月31日
4月30日
3月31日
例
2) 对间隔不等的间断时点资料
某城市2003年各时点的人口数
人口数(万人)
12月31日
8月1日
5月1日
1月1日
日期
例
㈡ 相对数动态数列的序时平均数
1. 由两个时期数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数
某厂7-9月份生产计划完成情况
1978
1367
1256
a 实际产量(件)
1760
1280
1150
b 计划产量(件)
c 产量计划完成%
9月份
8月份
7月份
例
2. 由两个时点数列对比组成的相对数动态数
列的序时平均数
某厂第三季度生产工人与职工人数资料
830
695
8月31日
710
670
645
a 生产工人数（人）
845
826
805
b 全体职工数（人）
c 生产工人占全体职工的%
9月30日
7月31日
6月30日
日 期
例
若为间隔不等的二个间断时点数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数为：
若由二个连续时点数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数：
3. 由一个时期数列和一个时点数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数。
某商业企业商品销售额与库存额情况
240
3月
150
80
a 商品销售额(万元)
2月
1月
55
3月1日
65
4月1日
45
35
b 商品库存额(万元)
2月1日
1月1日
例
㈢ 平均数动态数列的序时平均数
1. 由一般平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。
某厂某年1-6月每一工人平均产值
c 每一工人平均产值(万元)
70
72
70
68
65
60
b 平均工人数(人)
33
a 工业增加值(万元)
6
5
4
3
2
1
月份
例
2. 由序时平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。
某企业某年各季平均月产值情况
29
21
17
14
平均每月产值(万元)
四
三
二
一
季 度
可见，当时期相等时，可直接采用简单算术平均法计算。
若时期或间隔不等时，则要采用加权算术平均法计算。
例
三、增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
四、平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的 绝对数量。
某省1995-2000年某工业产品产量 单位：万台
-
增长1%绝对值
-
环比
-
定基
增长速度(%)
-
环比
100
定基
发展速度(%)
-
逐期
-
累计
增长量
发展水平: 产量
2000
1999
1998
1997
1996
1995
年份
例
第三节 动态数列的速度分析指标
动态数列的速度指标有： 发展速度 增长速度 平均发展速度 平均增长速度
一、发展速度
反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。
二、增长速度
反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。
某省1995-2000年某工业产品产量 单位：万台
-
增长1%绝对值
-
环比
-
定基
增长速度(%)
-
环比
100
定基
发展速度(%)
-
逐期
-
累计
增长量
发展水平: 产量
2000
1999
1998
1997
1996
1995
年份
例
三、平均发展速度和平均增长速度
平均发展速度是各个环比发展速度的动态平均
数(序时平均数)，说明某种现象在一个较长时
期中逐年平均发展变化的程度；
平均增长速度是各个环比增长速度的动态平均
数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均
增长变化的程度。
㈠ 平均发展速度
1. 几何平均法，又称水平法。
某企业总产值资料
-
定基发展速度(%)
-
环比发展速度(%)
总产值(万元)
第五年
第四年
第三年
第二年
第一年
基年
例
2. 方程法，又称累计法。
在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用方程法 计算平均发展速度。
水平法与累计法之比较：
推算发
展水平
推算定基发展速度(%)
平均发展速度(%)
推算发展水平
推算定基发展速度(%)
平均发展速度(%)
定基发展速度(%)
环比发展速度(%)
发展水平(万元)
-
-
-
合 计
第五年
第四年
第三年
第二年
第一年
-
100
-
-
100
-
100
-
基 年
a”
Y”
a’
Y’
Y
X’
a
按累计法计算
按水平法计算
实际资料
㈡ 平均增长速度
平均增长速度=平均发展速度-1 (100%)
平均发展速度大于“1”，平均增长速度就为正值。
则称“平均递增速度”或“平均递增率”。
平均发展速度小于“1”，平均增长速度就为负值。
则称“平均递减速度”或“平均递减率”。
第四节 长期趋势的测定与预测
长期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。(向上或向下变化)
测定长期趋势的目的主要有三个：
把握现象的趋势变化；
从数量方面研究现象发展的规律性，探求合适趋势线；
为测定季节变动的需要。
长期趋势的类型基本有二种：
直线趋势；
非直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有：
间隔扩大法；
移动平均法；
最小平方法。
一、间隔扩大法
某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元
58
57
53
52
45
增加值
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
月份
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：
增加值(万元)
第四季度
第三季度
第二季度
第一季度
由月资料整理的季度资料，趋势明显是不断增长的，原来的月资料则表现出波动。将季度资料也可改用间隔扩大平均数编制成如下数列：
平均增加值(万元)
第四季度
第三季度
第二季度
第一季度
上表也可看出其逐期增长的趋势。
例
二、移动平均法
仍用上例资料：
58
57
53
52
45
增加值y(万元)
-
53
-
三项移动平均yc
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
月份
∴ 趋势值项数=原数列项数-移动平均项数+1
=12-3+1=10
注1：
若采用奇数项移动平均(如上例“三项”)，则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，故一般都用奇数项移动平均。
注2：
修匀后的数列，较原数列项数少。(在进行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜使用)
注3：
取几项进行移动平均为好，一般若现象有 周期变动，则以周期为长度。例，季度资料 可四项移动平均；各年月资料，可十二项移 动平均；五年一周期，可五项移动平均。移 动平均法可消除周期变动。
二项移正yc
四项移动平均
58
57
53
52
45
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
月份
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可见修匀的项数越多，效果越好。(但丢掉的数据多一些)
仍用上例资料：
由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。
图示
三、最小平方法
即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线必须满足最基本的要求。即：
现主要介绍配合直线方程，抛物线方程及指数曲线方程。
㈠ 直线方程
当现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。
该方程的一般形式为：
-
572
合计
121
11
81
522
58
9
49
7
25
285
57
5
9
3
1
53
53
1
1
-1
9
-3
25
-5
7
49
-364
52
-7
81
-405
45
-9
-
121
-11
逐期增长量
yc
t2
ty
y
t
仍用上例资料：
㈡ 抛物线方程
当现象的发展，其二级增长量大体上相等时。
例
某地区1995-2003年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表：
486727
70537
708
60
0
67642
合计
210000
52500
256
16
4
13125
2003
105642
35214
81
9
3
11738
2002
37252
18626
16
4
2
9313
2001
7859
7859
1
1
1
7859
2000
0
0
0
0
0
7020
1999
5652
-5652
1
1
-1
5652
1998
18944
-9472
16
4
-2
4736
1997
38322
-12774
81
9
-3
4285
1996
63056
-15764
256
16
-4
3941
1995
yc
t2y
ty
t4
t2
t
GDP(万元)y
年份
例
㈢ 指数曲线方程
当现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
例题见教材P164-166
第五节 季度变动的测定与预测
一、季节变动分析的意义
测定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，如季节资料，至少要有12季，月度资料至 少要有36个月等，以避免资料太少而产生偶然 性。
测定季节变动的方法有二种：
按月平均法，不考虑长期趋势的影响(假定不存在长期趋势)，直接利用原始动态数列来计算；
移动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，剔除其影响后再进行计算，故常用此法。
二、按月平均法测定季节变动
也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为季度资料则按季平均。
其步骤如下：
列表，将各年同月(季)的数值列在同一栏内；
将各年同月(季)数值加总，并求出月(季)平均 数；
将所有同月(季)数值加总，求出总的月(季)平均数；
求季节比率(或季节指数)。
某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克
1200
季节比率(%)
450
410
125
63
36
27
9
14
32
60
120
220
月平均数
4698
1350
1230
375
189
108
81
27
42
96
180
360
660
合计
1820
500
470
140
84
48
37
9
12
30
80
120
280
第三年
1702
480
420
150
70
40
32
10
20
40
60
150
230
第二年
1176
360
340
85
35
20
12
8
10
26
40
90
150
第一年
合计
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
月份
年份
例
三、移动平均趋势剔除法测定季节变动
为方便计算，把上例月资料改为季资料：
单位：百千克
1120
169
51
480
第三年
1050
142
70
440
第二年
785
67
44
280
第一年
四
三
二
一
季度
年份
四项移动平均
-
-
-
1120
Ⅳ
-
-
-
169
Ⅲ
51
Ⅱ
480
第三年Ⅰ
1050
Ⅳ
142
Ⅲ
70
Ⅱ
440
第二年Ⅰ
785
Ⅳ
-247
314
67
Ⅲ
-
-
-
44
Ⅱ
-
-
-
280
第一年Ⅰ
除法y/yc×100%
减法y-yc
趋势值剔除
二项移正
yc
销售量y
(百千克)
季度
294
334
455
对减法分析如下：
0
季节变差.
+
+
+
+
校正数
68
平 均
136
合 计
-
-
第三年
第二年
-247
-
-
第一年
合计
第四季
第三季
第二季
第一季
对除法分析如下：
400
季节比率.
校正比例
平 均
合 计
-
-
第三年
第二年
-
-
第一年
合计
第四季
第三季
第二季
第一季
End of Chapter 4
