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动 载 荷第十二章
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教学要求
• (1)掌握匀加速直线运动杆件和匀速转动圆环的应力和强
度计算方法。
• (2)理解自由落体冲击应力和变形公式的推导过程和假设
条件，熟练掌握受该冲击作用时简单结构的动应力和动
变形的计算方法。
• (3)会用能量法推导其它形式冲击时的动应力和动变形公
式。
• (4)了解提高构件抗冲击能力的主要措施。
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a静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到
某一定值且不再随时间改变。杆内各质点均处于
静力平衡状态。各点加速度很小，可以忽略不
计。
a动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时间变化
的载荷。例如：子弹放在钢板上，板不受损；若
以高速射击，就可能击穿钢板；起重机从地面急
剧地起吊重物，此时重物获得加速度，作用在吊
索上的载荷就是动载荷。
第一节、概 述
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a动应力：在动载荷作用下构件内产生的应力，记为 。
a实验证明：在静载荷下服从胡克定律的材料，在承受动
载荷时，只要动应力小于等于比例极限(
),胡克定律仍然有效，而且弹性模量E 也
与静载荷下的数值相同(即 = )。
a本章讨论的两类问题：
i作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；
i在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；
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第二节 等加速运动构件的应力计算
—动静法
•解此类问题的方法：牛顿第二定律或动静法。
•此类问题的特点：加速度保持不变或加速度数
值保持不变，即角加速度为零.
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1、等加速直线运动构件
• 动静法(达朗贝尔原理)
即质点的惯性力与作用于质点的真实力组成平衡力系。在质点
系运动的每一瞬时，虚加于每个质点上的惯性力和作用于质点
系的外力组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。故惯
性力是遍布于整个构件体积内的体积力。
在惯性坐标系(与地球固连的参考坐标系)中，质点运动
满足牛顿第二定律
引入惯性力
即惯性力的方向与加速度a的方向相反，则有
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·计算构件的加速度；
•将相应的惯性力 作为外力虚加于各质点；
•作为静力平衡问题进行处理。
F设有等直杆：长L，截面积A,比重，受拉力P作用,以等加速
度a运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。
解：构件的加速度：
m
a
P
构件单位长度上的惯性力(惯性力集度)：
•动静法解题的步骤：
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a
m P
x
x
用截面法求内力 ：
根据平衡条件
应力：
上式中 为 P作为静载荷作用在
构件上产生的静应力。
即动应力沿杆长作线性分布。0 L
x
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变形：根据虎克定律有微段的变形
dx
整个杆件的绝对变形为：
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例： 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料
比重为 ，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。
Q
a
m m
x
Q
x
解：将吊索在x处切开，取下面
部分作为研究对象。
作用在这部分物体上的外力有：
重物的重量：Q；
x段的吊索重量：Ax
惯性力为： ，
吊索截面上的内力：
根据动静法，列平衡方程：
即
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解得：
吊索中的动应力为：
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：
代入上式，并引入记号 ，称为动荷系数，则：
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于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
式中的[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。
•动荷系数 的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与
静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以
下重要关系：
式中 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；
分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。
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因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时，
均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷，静应力，
静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系数，即
通常情况下， 。
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2、等角速度旋转的构件
•旋转圆环的应力计算
例：一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面
的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为 ，壁
厚为t。
D
t
o
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o
等角速度转动时，环内各
点具有向心加速度，且D>>t
可近似地认为环内各点向心
加速度相同， 。
沿圆环轴线均匀分布的惯性
力集度 为：
解: 1.分析运动状态,确定动载荷
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2.圆环在动载荷作用下的内力和应力：
o
x
y
d
圆环横截面上的应力：
式中 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：
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3.旋转圆环的变形计算
在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 ，
则其直径变化 ，径向应变为
所以
由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。对于轮缘
与轮心用过盈装配的构件，使用时转速应有限制，否则，转速过
高有可能使轮缘与轮心发生松脱。
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x
dx
例：图示刚轴AB的直径为 8cm,轴上有一直径为 8cm的钢质圆杆
CD,CD垂直于AB。若AB以匀角速度 =40 rad/s转动。材料的
[]=70MPa,比重 。试校核AB轴、CD杆的强度。
动载荷集度——单位长度惯性力：
解: 1.分析运动状态,确定动载荷
C
D
A B
600 600
600
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则CD杆中最大的应力为
所以CD杆安全。
2.计算在动载荷作用下的内力和应力
C
D
A B
600 600
600
CD杆任意截面上的轴力
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600
D
A B
600
M图
AB轴中最大的应力为
所以AB轴安全。
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总 结
这类问题的特点是加速度保持
不变或加速度数值不变而方向改变，
即角加速度不为零。
解这类问题的方法是用牛顿第
二定律或“理论力学”中的动静法。
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v Q a
受冲击
的构件
冲击物
一、概念
1. 冲击：冲击物在被冲击物接触
的非常短暂的时间内，速度发生很
大变化，这种现象称为冲击。
2 .研究方法：能量法
3. 几个假设：1. 1. 冲击物冲击物————刚体；刚体；
.被冲击物被冲击物————无质量的弹性体无质量的弹性体;;
.冲击后冲击物与被冲击物附着在冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动一起运动;;
.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能
与位能的转化。与位能的转化。
第三节 构件受冲击时的应力和变形计算
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a 根据计算冲击问题时所作的假设，工程实际上的梁、杆均
可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在
高度H处落下的作用，计算冲击应力。
Q
H
A B
Q
H
Q
H
弹簧
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根据能量守恒定律，即
:冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
:冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；
:被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。
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Q
H
弹簧
设：受重物Q自高度H落下，冲击弹性系统后，
速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最
大值 , 与之相应的冲击载荷即为Pd
冲击载荷冲击载荷::冲击物速度为零时的瞬间载荷冲击物速度为零时的瞬间载荷
冲击前：冲击前：
冲击物冲击物QQ具有的动能为：具有的动能为：
冲击物冲击物QQ具有的位能为具有的位能为::
被冲击物具有的变形能为被冲击物具有的变形能为::
冲击后：冲击后：
冲击物冲击物QQ具有的动能为：具有的动能为：
冲击物冲击物QQ具有的位能为具有的位能为::
被冲击物具有的变形能为被冲击物具有的变形能为::
二、竖向冲击
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P
Q
于是变形能为
根据力和变形之间的关系：
且
由能量守恒定律知由能量守恒定律知
为弹性系统在静载荷Q作用下产生的变形
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可以得到：
即
解得：
式中“+”对应的是最大变形，
“ - ”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。
即
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式中 为冲击时的动荷系数，
其中 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）
作用下的垂直位移。
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因为
所以冲击应力为
强度条件为
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1、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由
可得：
2、若已知的是冲击物冲击前的能量 ，则由
得 ( 为被冲击物在静荷
Q作用下的变形能)
•关于动荷系数 的讨论:
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3、当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时 。
4、当 时，可近似取 ，误差<5%。
当 时，可近似取 ，误差<10%。
5、 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关，
更与 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变
形，刚度越小,动荷系数越小。即“柔能克刚”。
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冲击力
冲击应力
冲击变形
动荷系数
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例：重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处，求B点的挠度。
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例：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物
Q自由下落时，求刚架内的最大正应力。
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例：图示钢杆的下端有一
固定圆盘，盘上放置弹簧。
弹簧在 1kN的静载荷作用下
缩短。钢杆直径
d=40mm, l =4m，许用应力
[σ]=120MPa, E=200GPa。
若有重为 15kN的重物自由落
下落，求其许可高度h。
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•水平冲击时的动荷系数计算
解：根据能量守恒：冲击过程中释放的
动能等于杆件增加的变形能。
而
(a)
设：一重量为Q的重物以水平速度v撞在直
杆上，若直杆的E、I、 均为已知。
试求杆内最大正应力。
三、水平冲击
Q
v
L
则
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即水平冲击时的动荷系数为
——假设以冲击物重量大小
的力沿水平方向以静载荷作用于
冲击点时，该点沿水平方向的位
移。
冲击力
冲击应力
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实例1 等截面直杆的冲击拉伸应力
L
H
Q
已知：等截面直杆长度为L，截面积为A，
杆件材料的杨氏模量为E，重物Q从高H处
自由落下。
解：静应力和静伸长分别为
，
动荷系数为
冲击应力为
四、几个冲击实例的计算
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可见： 不仅与杆的截面积A有关，且与长度L、体积 V=AL
有关。而且V， 。
实例2 等截面简支梁的冲击弯曲应力
已知：梁的抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为W。在梁的中点处受到
重物Q从高H处自由下落的冲击。
解：梁中点处的静挠度为
A B
Q
H
L/2 L/2
动荷系数
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最大冲击应力为
A B
Q
H
L/2 L/2 k
如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为k
，此时梁中点处的静挠度将变为
即 增大，动荷系数 下降，使 下降，此即弹簧的缓冲
作用。
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实例3 等截面圆轴受冲击扭转时的应力
L
A B
D
设：等圆截面圆轴上有飞轮D，以等角速
度转动，飞轮的转动惯量为 。由
于某种原因在B端突然刹车。求此时
轴内的冲击应力。
解：飞轮动能的改变量：
轴的变形能
( 为冲击扭转力矩)
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解得：
所以轴内冲击应力为
（与体积V=AL有关）
所以对于转轴，要避免突然刹车。
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解 题 步 骤
• 1:.求Δst；
• 2.求Kd；
• 3.求σst；
• 4.求Pd、σd、δd
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五、提高构件抗冲击能力的措施
及冲击韧度
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一、提高构件抗冲击能力的措施
1、根据 ，可通过提高 ，来降低 ，
所以常在构件上装弹簧、橡皮等来减少冲击影响。
2、冲击应力 经常与构件体积V=AL有关，对于等直杆，可提高
AL，降低冲击应力 。如气缸螺钉，改用长螺栓，可提高
抗冲击能力。
3、对于变截面杆，则第二条不一定适用。如图a:
Q
v
L
图a
A
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图b：
2A
Q
v
图b
A
L/3 L/3 L/3
所以:
，
因此对于变截面杆要尽量少用以承受冲击，或尽量减少截
面面积的变化，使截面积接近均匀。
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二、冲击韧度
定义：试样被冲断时，单位面积所吸收的能量，即：
是材料抵抗冲击能力的指标， 越大表示材料抗冲击的能力
越强，此值与试件尺寸、形状、支持方式有关。
冷脆现象：低碳钢等黑色金属，当温度下降到一定值时，其冲
击韧度骤然下降，材料变脆的现象。
试验结果表明 的数值随温度降低而减少。
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