例谈“放缩法”证明不等式的基本策略
江苏省苏州市木渎第二高级中学 母建军 215101
近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的
一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提
的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基
本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知
识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往
往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试
题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
例 1、已知 求证：
证明：
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的
值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，
利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 ，从而是使和式得
到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例 2、函数 f（x）= ，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+ .
证明：由 f(n)= =1-
得 f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进
*2 1( ).nna n N
*1 2
2 3 1
1
... ( ).
2 3
n
n
aa an
n N
a a a
1 1
1
2 1 1 1 1 1 1 1 1
. , 1, 2,..., ,
2 1 2 2(2 1) 2 2 2 2 3 2
k
k
k k k k k
k
a
k n
a
Q
1 2
2
2 3 1
1 1 1 1 1 1 1
... ( ... ) (1 ) ,
2 3 2 2 2 2 3 2 2 3
n
n n
n
aa a n n n
a a a
*1 2
2 3 1
1
... ( ).
2 3 2
n
n
aa an n
n N
a a a
2 2k
x
x
41
4
)(
2
1
2
1 *
1
Nn
n
n
n
41
4
1 1
1
1 4 2 2n n
n22
1
1
22
1
1
22
1
1
21
)(
2
1
2
1
)
2
1
4
1
2
1
1(
4
1 *
11
Nnnn
nn
行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一
变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分
母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
例 3、已知 an=n ，求证： ∑
n
k = 1 ＜3．
证明： ∑
n
k = 1 = ∑
n
k = 1 ＜1＋ ∑
n
k = 2
1
＜１＋ ∑
n
k = 2
2
(＋)
=
=1＋ ∑
n
k = 2 (
1
－
1
)
=1＋1＋ － －
1
＜2＋ ＜3．
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.
4、放大或缩小“因式”；
例 4、已知数列 满足 求证：
证明
本题通过对因式 放大，而得到一个容易求和的式子 ，最终得出证明.
5、逐项放大或缩小
例 5 、 设 求 证 ：
2
k
k
a 3
1
k
2
1 1
1
( 1)( 1)
n
k
k k
k k
2
2
1
n
2
2
{ }na
2
1 1
1
,0 ,
2n n
a a a 1 2
1
1
( ) .
32
n
k k k
k
a a a
2 2
1 1 2 1 3
1 1 1
0 , , , .
2 4 16n n
a a a a a a Q L 2 3
1
1 ,0 ,
16k
k a a 当 时
1 2 1 1 1
1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) .
16 16 32
n n
k k k k k n
k k
a a a a a a a
2ka 1
1
( )
n
k k
k
a a
)1(433221 nnan
证明：∴
∴
∴ ， ∴
本题利用 ，对 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的
数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项；
例 6、求证：
证明：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根
据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例 7、已知 ，证明：不等式 对任何正整数 都成立.
证明：要证 ，只要证 .
因为 ， ，
故只要证 ，
即只要证 .
因为 ，
所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由 放大即可.
2
)1(
2
)1( 2
n
a
nn
n
nnnn 2)1(
2
12
)
2
1
()1( 2
n
nnn
2
12
)1(
n
nnn
2
)12(31
321
n
an n
2
)1(
2
)1( 2
n
a
nn
n
2 1
( 1)
2
n
n n n
na
2 2 2 2
1 1 1 1 7
1 2 3 4n
L
2
1 1 1 1
( 1) 1n n n n n
Q
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 7
1 ( ) ( ) .
1 2 3 2 2 3 1 4 2 4n n n n
L L
5 4na n 5 1mn m na a a m n，
5 1mn m na a a 5 1 2mn m n m na a a a a
5 4mna mn (5 4)(5 4) 25 20( ) 16m na a m n mn m n
5(5 4) 1 25 20( ) 16 2 m nmn mn m n a a
20 20 37 2 m nm n a a
2 5 5 8m n m na a a a m n 5 5 8 (15 15 29)m n m n 20 20 37m n
2 m n m na a a a
8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例 8、.已知 i，m、n 是正整数，且 1＜i≤m＜n.
(1)证明：niA ＜miA ；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
证明：(1)对于 1＜i≤m，且 A =m·…·(m－i+1)，
，
由于 m＜n，对于整数 k=1，2，…，i－1，有 ，
所以
(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+C m+C m2+…+C mn，
(1+n)m=1+C n+C n2+…+C nm，
由(1)知 miA ＞niA (1＜i≤m＜n ，而 C =
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C =n0C =1，mC =nC =m·n，m2C ＞n2C ，…，
mmC ＞nmC ，mm+1C ＞0，…，mnC ＞0，
∴1+C m+C m2+…+C mn＞1+C n+C2mn2+…+C nm，
即(1+m)n＞(1+n)m 成立.
以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征
选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以
化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得
不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正
确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂
弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培
养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步
的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.
i
m
i
n
i
m
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in
n
n
n
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nm
im
m
m
m
m
m i
i
m
i
i
m 11A,
11A
同理
m
km
n
kn
i
m
ii
n
i
i
i
m
i
i
n nm
mn
AA,
AA
即
1
n
2
n
n
n
1
m
2
m
m
m
i
n
i
m )
i
m !
A
C,
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A
ii
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ni
n
i
m
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0
n
0
n
1
n
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m
2
n
2
m
m
n
m
m
1m
n
n
n
1
n
2
n
n
n
1
m
m
m
