柯布—道格拉斯生产函数与劳动价值论
□ 管怀鎏
生产函数是西方经济学中一个十分重要的概念，按照萨缪尔森的定义， 生产函数是“在技术水平既定条件下确定某一组要素投入所能带来的最大产出的关系式 ”。著名的柯布—道格拉斯生产函数，是美国数学家柯布（Charles W. Cobb）与经济学家道格拉斯（Paul Douglas）根据历史统计资料，研究了1899至1922年美国的资本与劳动力数量对制造业产量的影响后提出来的，其形式为
Q=ALαK1-α
式中，L代表劳动力投入量；K代表资本投入量；Q代表产出量；A系技术系数，为正常数；α为小于1的正数。柯布—道格拉斯生产函数具有较为广泛的适用范围，它可用来描述一国总的投入产出关系，也可用来模拟单个企业或部门的生产情况，在经济理论研究与政策分析评价中占有相当重要的地位。笔者认为，研究这一问题具有重要的意义，一方面，借助现代经济分析方法厘清生产函数与劳动价值论的内在联系，将使劳动价值论在精确化、现代化方面向前推进一步；另一方面，通过将生产函数这一现代经济分析中的常用工具置于劳动价值论基础之上，也可从一特定的侧面进一步彰显马克思劳动价值论的科学性与生命力。
一
众所周知，按照马克思主义经济学的观点，任何商品生产过程内部都包含互相对立但又不可分割的两个方面：一方面，是劳动过程，这是从劳动的质的方面来考察的过程，是具体劳动创造使用价值的过程；另一方面，是价值形成过程，这是从劳动的量的方面来考察的过程，是抽象劳动凝结为商品价值的过程。因此，同一生产过程，就它是劳动过程来说，我们看到的是，投入一定量生产资料和劳动力，生产出了一定量的产品；就它是价值形成过程来说，我们看到的则是，这一定量生产资料中的价值转移到产品中，同时投入生产过程的一定量劳动力进行的劳动，形成新的价值，也加入到产品中去，与生产资料的转移价值一道，共同构成一定量产品的价值。因为这是同一商品生产过程的两个不同的方面，所以描述它们的数学形式是不同的。前者是一种技术关系，可用生产函数描述，后者则是一种社会关系，因而要用马克思论证了的价值构成公式描述。
但是，正如使用价值是价值的物质承担者一样，劳动过程又是价值形成过程的物质外壳。价值的形成并不是高悬于半空中的纯粹抽象的过程，而是附着于劳动过程的实实在在的运动。当我们分析价值形成过程时，必须注意到其赖以进行的物质基础；同样，当我们研究劳动过程时，也应该意识到在其内部隐含着价值形成过程。因此，描述它们的数学形式只要正确，就必定存在着内在联系。
柯布—道格拉斯生产函数是描述劳动过程的一种数学形式，它是运用现代数理统计方法对现实统计资料进行处理而得出的，作为描述劳动过程的正确的数学形式，它就必然与马克思阐明的、科学的价值构成公式存在着内在联系。研究并揭示这种内在联系，将有可能以数学形式把物质资料生产过程的两个方面统一起来。这样，一方面就使我们不仅可从具体劳动创造使用价值的角度，而且也可从抽象劳动形成价值的角度，对柯布－道格拉斯生产函数作出科学的解释；另一方面，也可赋予劳动价值论以一种具体的数学形式，为我们进而探讨实际计算产品价值，提供一条可行的途径。
二
现在就来研究柯布—道格拉斯生产函数与马克思阐明的价值构成公式的关系。
首先需要作出几点假定：
第一，假定这里分析的柯布—道格拉斯生产函数描述的是全社会范围内某种特定商品的生产情况。
第二，假定社会投在该种商品生产上的劳动时间正好是社会所必需的。
第三，假定以a代表生产出的单位产品中包含的价值量；以b代表在一个生产周期内单位资本中转移到总产量里去的价值量，以c代表单位劳动力在一个生产周期中新创造的价值量。a、b、c代表的价值量实即劳动的量，而“劳动本身的量是用劳动的持续时间来计量”的，所以a、b、c均以劳动小时作单位。
柯布—道格拉斯生产函数表示，为生产Q量某种产品，社会投入了L量劳动力和K量资本。按照马克思的劳动价值论，可以将其解释为：Q量产品的价值，是由L量劳动力在生产过程中以具体劳动转移过来的K量资本中的价值，加上L量劳动力在生产过程中以抽象劳动形成的新价值组成的。根据这一解释，显然有：
aQ=bK+cL （1）
该方程反映的就是隐藏在柯布—道格拉斯生产函数内部的价值形成过程。它表示，全部产品的总价值等于一个生产周期中资本的转移价值，加上全部劳动力创造的新价值。现在的问题是，如何求出a、b、c，使描述使用价值创造过程的柯布－道格拉斯生产函数与表现价值形成过程的方程（1）联系起来。
我们可以首先确定c，它应该直接等于一个生产周期中单位劳动力的平均劳动时间。比如，若一个生产周期为1年，平均每个劳动力每天实际劳动8小时，一年工作250天，则
c=8小时×250=2000小时
这样确定c是合理的。因为决定商品价值的是生产商品的社会必要劳动时间，而“社会必要劳动时间是在现有的社会正常的生产条件下，在社会平均的劳动熟练程度和劳动强度下制造某种使用价值所需要的劳动时间”。在社会为直接生产某种商品而投入的全部劳动力中，单个劳动力在劳动熟练程度和劳动强度方面的差异会互相抵消，而使每个劳动力都“具有社会平均劳动力的性质，起着这种社会平均劳动力的作用”。这种在社会范围内平均化了的劳动力的劳动时间，必定成为生产该种商品的社会必要劳动时间，从而决定商品的价值。
下面讨论如何求出a与b。
研究柯布—道格拉斯生产函数，可知Q对L的偏弹性
Q对K的偏弹性
这表明，若L有一个微小的变动率，比如说增加1％，将会导致Q增加α％；若K有一个微小的变动率，比如说增加1％，则会导致Q增加（1－α）％。
又因为A（λL）α（λK）1-α=λALαK1-α=λQ，表明这里讨论的柯布—道格拉斯生产函数具有规模报酬不变的特性，所以若假定L与K同时增加1％，Q便会随之增加1％。显然，在产量Q增加的1％中， 由L的增加所引起的部分为α％，由K的增加所引起的部分为（1－α）％。于是，若用ΔQ表示产量的这一增加部分，ΔQ便可分为两部分：一部分为αΔQ，一部分为（1－α）ΔQ。
因为单位产量中包含的价值量为a，所以该产出量增量ΔQ的价值量便为aΔQ。与以上将ΔQ分为αΔQ、（1－α）ΔQ两部分相对应，该价值量aΔQ也可以分为两部分：αaΔQ与（1－α）aΔQ。这两部分价值分别是由于增加劳动力ΔL与增加资本ΔK带来的，换句话说，αaΔQ这部分价值便是新增劳动力ΔL的劳动形成的新价值，而（1－α）aΔQ这部分价值则是新增资本ΔK中转移过来的价值。于是有：
α a Δ Q = c Δ L （2）
（ 1 - a ） a Δ Q = b Δ K （3）
将方程（2）、（3）两边分别相除，得：
又因为前面假定ΔL与ΔK分别为L与K的等比例增加额（都是增加1％），即
所以有：
代入（4），得：
将方程（1）与方程（5）联立，有：
求解，得：
求出了a、b，加上确定了c，便可以由方程（1）来具体描述一个生产周期内全社会生产该种商品的过程中价值形成的情形了。我们现在已弄清，在技术关系为Q=ALαK1-α的使用价值创造过程中，产出量的总价值为
其中包括K量生产资料中转移过来的价值
以及L量劳动力的劳动形成的新价值cL。反过来，如果在一个生产过程中投入L量劳动力，单位劳动力在一个生产周期中以抽象劳动形成的新价值量为c；投入K量资本，一个生产周期中单位资本内转移到新产品中去的价值量为
生产出的产品总量为Q，单位产品的价值量为
则这一过程纯粹技术上的投入与产出关系即表现为Q=ALaK1-a。
于是，我们通过柯布－道格拉斯生产函数探究出了隐藏在它所描述的使用价值创造过程中的价值形成过程，同时，也用马克思关于抽象劳动形成价值的理论对柯布－道格拉斯生产函数作出了解释。
三
以上我们静态考察了柯布－道格拉斯生产函数中隐含着的价值形成过程，现在进一步对之进行动态分析，在L、K可以有效地互相替代的范围内，分别就L、K、A的变动对总产量价值及单位产量价值的影响进行讨论。
有一增量ΔL，而K保持不变。一般说，这表明单位劳动力所推动的生产资料量有所减少，因为社会劳动生产率“和一定量劳动所推动的生产资料量成正比”，所以这种情况意味着劳动生产率有一定程度的下降。由于我们所讨论的是全社会范围内生产某种商品的情况，根据劳动价值论原理，就全社会而言，“生产力的变化本身丝毫也不会影响表现为价值的劳动”，“不管生产力发生了什么变化，同一劳动在同样的时间内提供的价值量总是相同的。”，因而，单位劳动力在一个生产周期内的劳动形成的价值量c不会发生变化，L＋ΔL量的劳动力在一个生产周期内能创造出c（L+ΔL）量的新价值来。另一方面，因为投入生产的资本量K保持不变，所以在一个生产周期内转移到新产品中去的生产资料价值仍在L有增量ΔL而K保持不变时，产量Q将有一增量，我们将其记为ΔQL，于是，若令该生产周期单位产量的价值为aL，则有
式中的ΔQL可由泰勒公式导出：
其中
（这里假定Q对L有直到n＋1阶的导数）
有一增量ΔK，而L保持不变。一般说，这表明单位劳动力推动的生产资料量有所增加，劳动生产率有一定程度的提高。但如前所述，根据劳动价值论的观点，就全社会而言，劳动生产率的提高与劳动生产率的降低一样，同样不会改变同一劳动在同样时间内提供的价值量，所以，这里的c不会发生变化，L量的劳动力在这一生产周期内创造的新价值仍为cL。 另一方面， 资本K有了一个增量ΔK， 于是投入的总资本量变为K＋ΔK，其中b（K＋ΔK）量的价值将转移到新产品中去，因而该生产周期全部产品的总价值量就是：
b（K+ΔK）+cL
在K有增量ΔK而L保持不变时，产量Q将有一增量，我们将其记为ΔQK。于是，若令该生产周期单位产量的价值为aK，则
式中的ΔQK可由泰勒公式导出：
其中，
（这里假定Q对K有直到n＋1阶的导数）
有一增量ΔL，K有一增量ΔK。这时，若，表明单位劳动力推动的生产资料量有所减少，劳动生产率有一定程度下降；若，表明单位劳动力推动的生产资料量有所增加，劳动生产率有一定程度提高；若，则表明单位劳动力推动的生产资料量不变，因而劳动生产率亦不变。但无论哪种情况，根据前述劳动价值论原理，都不会影响同一劳动力在同一时间内提供的新价值量，因此c不会发生变化。现在，劳动力投入量为L+ΔL，在该生产周期中劳动所形成的新价值量即为c（L+ΔL）；资本的投入量为K+ΔK，其中b（K+ΔK）量价值将转移到新产品中去，所以该生产周期全部产品的总价值由于L有增量ΔL、K有增量ΔK，Q便相应地有一增量，我们将其记为ΔQLK。于是，若令该生产周期单位产出量的价值为aLK，则
式中ΔQLK可由二元函数的泰勒公式导出：
EMBED
（这里假定Q对L、K分别有直到n＋1阶的连续偏导数）
发生变动，由A变为A＋ΔA，而K、L不变。这表明，生产技术水平或者管理水平、社会环境（如政策、体制等等）等发生了变化。根据劳动价值论原理，就全社会范围内的生产而言，这些变化不会影响单位劳动力在同样时间内提供的价值，但是会影响使用价值的量，即会使总产量发生变化。所以，一方面，单位劳动力在同一生产周期内新创造的价值量c仍不变，投入生产的L量劳动力仍提供cL量的新价值，投入的K量资本中仍有bK量的价值转移到新产品中去，本期生产出的全部产品的价值仍为bK+cL。但另一方面，，本期的总产量却发生了变动。我们记基期产量为Q0，本期产量为QA，总产量将由Q0=ALαK1-α变化为QA=（A+ΔA）LαK1-α，若记本生产周期单位产出量的价值为aA，则
四
马克思曾预见过，运用未来先进的统计方法将可以解决劳动价值论中的价值计算问题。他曾称拉瓦锡采用的统计方法为“奇异”的方法，暗示威廉?配第提出的按等量劳动计量商品价值这一问题有待于以后统计学的发展加以解决。现代数理统计学、经济计量学的发展，为实现马克思这一设想提供了条件。笔者认为，本文第二、第三部分的讨论已经表明，对技术关系为柯布－道格拉斯生产函数形式的生产过程，我们可以借助于若干公式计算出其产品总量的价值以及单位产品的价值。这里，就对如何利用以上讨论的结果具体计算产品的价值，作一简略的探讨。大体说来，可以设想这种计算应分为三步进行：
第一步，根据统计数据估计出柯布—道格拉斯生产函数模型的参数A、α的值。为了提高价值计算的精度，必须尽量提高模型参数估计的精度，为此，一方面应尽可能扩大样本容量，另一方面，不能满足于将参数估计置于通常回归分析所作的统计假定之下，而应该慎重考虑多重共线性、异方差性、自相关等等因素，尽量设法消除或减轻这些因素的不利影响，提高参数估计的精确度。
第二步，计算样本数据的一种特殊“平均数”，建立起作为标准的“基期”模型。对柯布—道格拉斯生产函数
Q=ALαK1-α
两边取对数可得：
lnQ=lnA+αlnL+（1-α）lnK （6）
数理统计证明，样本数据对数的算术平均lnq、lnl、lnk满足方程（6），即有：
lnq=lnA+αlnl+（1-α）lnk。
令 lnq=lnq*，lnl=lnl*，lnk=lnk*，
则有：lnq*=lnA+αlnl*+（1-α）lnk*。
由此可得：q*=Al*αk*1-α （7）。
方程（7）就是由样本数据的一种特殊的“平均数”构成的模型，我们姑且称它为“基期”模型，称其中的q*、l*、k*为“基期”数据。
然后，按本文第二部分的讨论，确定c，并由“基期”数据、参数α的值及c的值计算出a、b。
第三步，计算出报告期产品的价值。首先将报告期的K值、L值分别同“基期”数据k*l*比较，得出报告期数据相对于“基期”数据的增量ΔK与ΔL，算式如下：
K-k*=ΔK
L-l*=ΔL
然后，按照本文第三部分的讨论，计算出报告期全部产品的总价值以及单位产品的价值。
如果报告期的技术系数A发生了变动，那么将涉及到重新估计模型参数的问题，情况较为复杂，这里就不详细讨论了。
□作者单位：南通大学
□责任编辑：吴广正
