关于支付红利的亚式期权价格边界的探讨.pdf

下载

下载

16积分

20积分

下载

20积分

VIP价：16积分

华中科技大学硕士学位论文关于支付红利的亚式期权价格边界的探讨姓名：张坤申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：蹇明2010-05-24 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘 要 本文以具有固定敲定价格的算术平均亚式期权为研究对象，并用标准二叉树模型(CRR)为它的定价模型。通过分别对Roger和Shi价格边界模型和RVDD价格边界模型的改进，研究在支付红利率q时对亚式期权在到期日期望价值的大小边界的影响。 首先，文章介绍了不支付红利率q时基于CRR定价模型的Roger和Shi价格边界模型、RVDD价格边界模型和Chalasani价格边界模型，以及以B-S定价模型为基础的Vanmaele和Goovaerts(2002)模型。并通过一个数值实例的结果分析说明,K,n对模型结果的影响，以及对四个模型的精确程度进行比较。 最后，文章在支付红利率q，对亚式期权Roger和Shi价格边界模型以及RVDD价格边界模型进行改进。思路是由于红利率q的支付，看涨期权的预期收益率会因此而下降，看跌期权的则会上升，但CRR模型中原生资产的风险中性概率测度p都会因此发生改变，相应的原生资产的上升和下降概率P也发生变化，从而影响到到期日的价格边界模型。同时为了验证对两个模型的改进是否成功。第三部分同样给出了一个数值实例，并通过分析改进前后上下边界的区间长度，得到支付红利率q时改进模型的结果更加准确。 关键词：期权，亚式期权，红利率，价格边界模型，区间。 I 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 Abstract This paper has a fixed strike price of the arithmetic average Asian options as the research object, and use the standard binomial model (CRR) pricing model for its pricing model. By the improvement of the Roger and Shi price boundary model and the RVDD price boundary model,the paper has a research to the size boundary influence on the expectation value of Asian option in the due date when pay dividend ratepto it. Frist, the second part of the paper introduced Roger and Shi price boundary model, RVDD price boundary model ,Chalasani price boundary model and Vanmaele(2002) price boundary model when the Asian option doesn’t pay dividend ratep, and through a example result analysis the explanation of,K,nto result influence as well as carries on the comparison to the four model's precise degrees. Finally, The primary coverage is under the premise of paying dividend rate to Asian option, makes the improvement to Roger and Shi price boundary model and the RVDD price boundary model. Becanse of paying dividend ratep, the annticipated returns ratio of a call option drops, a put option’ is expected to rise. But in the CRR model the primary property's risk neutral probability measurepcan therefore change,so the rise and the drop probabilityPalso changes, thus affects the price boundary model in the due date. For confirm to the two model improvements whether to succeed, The third part also gives a value example, and through the analysis on the lower boundary burst length with the payment of dividend rateq, obtains the improvement model's result is more accurate. Keywords: Option; Asian option; the dividend rate; the price boundary model; Sector. II 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密□ ，在_____年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密□。 （请在以上方框内打“√”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 第一章 绪论 选题的背景和意义 作为一种风险管理的工具，金融衍生物(fianancial derivatives)已经广泛应用于金融市场回避风险的投资行为中。远期合约(fouward contracts),期货(futures)和期权[1](options)是三种最基本的金融衍生工具。它们都有着转移或减少现货市场的价格风险的套期保值作用，同时又可以利用不同市场的商品价格、不同时间的市场商品价格使投机者盈利。而期权是三者中最高级的基础衍生工具，是理论界研究的重点和热点。 从字面上来理解，“期”就是未来的意思，“权”则是权利的意思。期权(Option)指的就是一种在未来规定时间内能以确定的价格买入或卖出一定数量的某种已知商[7]品的权利。因此它实际上是一种称为选择权的权利。期权的持有者可以在该项期权特定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利。 期权定价作为一个自从期权诞生之日就一直被研究的问题，1976年麻省理工学院的两位教授Fischer Black和Myron Scholes成功的建立了第一个期权定价模型，即【2】Black-Scholes定价公式。这个公式将所有投资者引入一个以无风险利率为投资回报率的风险中性世界(risk-neutral world),而使期权的收益不在依赖于投资者的偏好，同时它也被实业和理论界普遍的认同，成为金融领域的一次重大改革。 亚式期权是路径相关期权的一种，它在期权到期日的收益不在仅仅由到期日的价格决定，而是依赖于整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值。而亚式期权的价格边界一直被理论界所关注，部分原因是由于基于B-S定价模型的亚式期权定价公式是一个无具体解的偏微分方程组，只能得到结果的一个范围。而亚式期权价格的边界研究则能够给出较好的价格区间范围，从而让投资者有一个亚式期权的价格标准。 对于亚式期权，根据CRR定价模型和B-S定价模型求其模糊解和上下边界是得1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 到其价格的两种方法，本文研究则是是如何得到它的上下边界。亚式期权的价格边【[5]8】界研究，最早由Rogers和Shi(1995)在标准的二叉树模型(CRR)中以Jensen不等式为基础做了探讨。Rogers和Shi做的主要工作是用连续模型的算术平均来表示标的资产在到期日的平均价格，并且在固定价格下分别得到了价格上下边界。其缺点[9]是模型推导过程的粗糙，以及相比与其他以后模型，结果不够精确。Chalasani(1998)则在二叉树定价模型(CRR)中使用的方法沿袭了Rogers和Shi的思路，但最后的结果却通过数值逼近方法进行求解，优点是最后结果的准确性很大的提高，缺点就是在[11]电脑上运行程序时耗时太多。Simon(2000)研究算术亚式期权，并通过数值逼近方[12]法求解B-S定价模型，得到它的一个上边界。Vanmaele(2002)对现实的算术平均亚式期权进行离散采样，并通过对满足CRR定价模型的算术平均亚式期权求数值解，[13]却得到一个随机解。Abrecher(2003)则研究一个价格变化过程满足Levy过程的平[6]均亚式期权，并且给出了它的到期日价格上下边界模型。Nielsen和Sandmann (2003)则不在以离散的原生资产价格变化为研究，而是使用经典的B-S模型来定价期权，将Jensen不等式两侧通过B-S定价公式表达出来,并通过化简得到最终结果。[17]Reynaerts、Vanmaele、Dhaene和Deelstra(2006)在四人合写的论文中成功在前两个[3]的研究思路下，使用数学家Kaas(2000)最新的逆函数方法使用最优线性表达Jensen不等式两侧的期权期望价值，从而得到相比于Rogers和Shi模型更加准确的结果，缺点同另外两个模型一样没有考虑标准二叉树模型(CRR)以外的更复杂情况。 而亚式期权中美式亚式期权价格边界的研究则被中国华南师范大学的两位教授[18]Fahuai Yi和Yingshan Chen(2008)证明是两条连续的曲线。 进行亚式期权价格边界研究的实际以及经济意义在于通过上下边界以及它们之间的区间长度，可以使投资者对就要进行交易的亚式期权的价格有一个大体的估计。亚式期权在到期日最大价值和最小价值以及它们之间的误差对于期权的交易双方制定合理的期权价格是有帮助的。 2 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 本文的研究结构 整篇论文一共是由四部分所组成。分别是第一章(绪论)简单介绍了改课题的选题背景和它的研究意义以及本文的大体组成结构；第二章较为详细的对期权以及亚式期权的发展历史、分类和定价等基础知识进行一个介绍；第三章是对具有固定敲定价格的算术亚式期权在不支付红利的前提下几个到期日价格上下边界模型的介绍[5][17][9]有Roger和Shi模型、RVDD模型、Chalasani在1998年所做的论文模型和以B-S定价模型为基础的亚式期权上下边界模型；第四章则是分别在Roger和Shi价格边界模型和RVDD价格边界模型基础上对支付红利的亚式期权下、上边界进行了探讨。 通过本文将了解到亚式期权要更合理于欧式和美式期权，并且它的价格也不是制约它的问题。而且在支付红利越来越成为金融市场为平衡原生资产价格、适应国家银行带存取利率的手段，亚式期权在支付红利时的上下边界模型并没有被普遍研究，因此以红利率q支付红利是本文的创新之处。 3 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 第二章 预备知识 本章内容是为了对第三章与第四章价格边界模型的介绍与改进提供前提的基础知识，因此这章内容大量引用了文献[4]、[10]、[23]、[39]中的相关资料。 期权的基础知识 期权是一种不能确定的权益(contingent claim)，同时又是持有人必须按确定的价格在未来的特定时间内向出售方购买(或销售)一定数量和质量的特定原生资产的契约.因此它又是一种协议.写这个协议或者也叫卖出这个协议的人叫期权的卖方(seller)或立权人(writer)，而买这个协议或者也叫持有这个协议的人叫买方(buyer),也叫期权的持有者(holder).期权持有人根据协议的规定可以在确定时间里实施期权合约的权利，却不用负实施该协议的义务.在这个协议之中，持有者根据合约购买或销售的一定数量以及质量的特定商品也被叫做标的资产(underlying asset),合约中所规定的持有者所购买(销售)商品的确定价格为实施(执行)价格(exercise price)或敲定价格(strike price)，期权买方对相关资产出售的权利有一定的时间限制，超过这个时间限制，期权就会自动的失去效用，我们就把期权的确定时间称为到期日(expiry date). 期权的分类[4](1)期权按照交易性质的不同可以分为： 看涨期权(call option)即一种权益，其所有人可以按合约的约定买入规定质量和数量的商品。 看跌期权(put option)即一种权益，其所有人可以按合约的约定卖出规定质量和数量的商品。 看涨、看跌期权交易时买方与卖方之间的权利和义务关系并不是对等的，买方更多是享受权利而不要付出任何义务，相反的是卖方必须为期权合约付出自己的义务才能保证期权合约的成功执行。 4 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 设S——标的(原生)资产，K——敲定(执行)价格，T——到期日，，则在到期[14]日看涨和看跌期权的收益(即两种期权的价值)V: T(SK)T看涨期权V T看跌期权(KS)T这里S表示标的资产在到期日即tT的价格。 T而看涨期权和看跌期权的价值并不是期权的持有人所获得的最后的收益，因为我们必须要考虑到期权金的存在，在这里我们记作p。因此持有人在到期日的总收益P为： T [总收益]=[tT时期权的收益]-[期权金p] 即：  P(SK)p, (看涨期权) TT P(KS)p, (看跌期权) TT[4](2)期权按照合约中的实施条款，即期权的履行时间来区分： 欧式期权(European options)是指期权的持有者只能在合约规定的到期日实施该期权的权利。 美式期权(American options)是指期权的持有者可以在合约规定的到期日之前(包括到期日)任意的一个工作日履行该期权的权利。 (3)根据期权的标的资产以及资产价格计算方法的不同，期权又分为一般期权和特殊期权两种。一般期权是指以股票、债券等基础金融资产为标的资产的期权。譬如股票期权，债券期权，汇率期权和期货期权等等。而特殊期权则是指在一般期权基础上构建的更高级的金融衍生物。例如基于多个风险资产为标的资产的多资产期[15]权(multi-asset options)、期权的最终受益不仅依赖于到期日原生资产的价格,而且与整个期权有效期内内原生资产的价格变化过程有关的路径相关期权5 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 (path-dependent options)和到期日受益依赖于有效期内标的资产的价格平均值的亚式期权(Asian options)等等。 支付红利的欧式期权的B-S定价公式 设V(S,t)是期权在t(t[0,T])时刻价格，即期权的价值。我们知道它在到期日tT时刻的价格为： (SK)看涨期权 V(S,T) 看跌期权(KS)而在求解在任意时刻t的期权价值我们用B-S模型，对B-S模型的推导我们使用的是-对冲方法，我们在期权的有效期内构造一个无风险投资组合： VS 这里是指原生资产的数量。 在无风险也就是中性环境下，一个投资组合的回报是由预期回报率r(t)q(t)来确定的。因此在一个时间段(t,tdt)内，该投资组合的回报是 tdtt(r(t)q(t))dt t即 dVdS(r(t)q(t))dt(r(t)q(t))(VS)dt (2) ttttt[16]S是由随机微分方程(1)确定的，因此由Ito公式，得到 t2V1VVV22dV((t)S(r(t)q(t))S)dt(t)SdW tt2t2SSS将上述上式带入公式(2)中，得到 6 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2V1VVV22((t)SSS)dt(S(t)S)dW 2t2SSS(r(t)q(t))(VS)dt (3) V对上述公式进行化简，并将带入公式(3)，得到反映期权价格的变系数S反抛物线方程模型——B-S定价方程。 欧式看涨期权B-S定价方程 2V1VV22(t)Sr(t)q(t)Sr(t)V02t2SS (4) V (SK) tT欧式看跌期权B-S定价方程 2V1VV22(t)Sr(t)q(t)Sr(t)V02t2SS (5) V (KS) tT对方程组(4)、(5)分别作变数代换 xlnS T-t 定解方程(4)和(5)就会变为一个常系数的抛物线方程的Cauchy问题(初值问题)，求解分别得到欧式看涨期权和欧式看跌期权的B-S定价公式 TTq()dr()dttV(S,t)SeN(d)KeN(d) (欧式看涨期权) 12cTTr()dq()dttV(S,t)KeN(d)SeN(d) (欧式看跌期权) 2p1其中 2S()ln[r()q()]dK2d 1T2()dt7 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 T2dd()d 21t这里N()是均值为1，标准差为0的正态分布函数 亚式期权的基础知识 随着金融市场的迅速发展，单一的欧式期权和美式期权已经不能满足投资者的寻求以及应对日益复杂的市场。各种的非标准的金融衍生产品迅猛的出现，亚式期权90年代出现在日本的东京，它是一种由标准的欧式期权派生和演变出来的新的合[23]约。它的被关注是由于原生资产有效期内平均价格的波动率一般总是小于原生资产价格的波动率，因此亚式期权的期权金被认为是小于相应的标准期权的期权金。[34]尽管Ye(2005)的研究证明了在一定条件下，亚式期权是可以比他相对应标准期权[25]价格更高，Yor和Geman(1993)却验证了在一般情况下亚式期权是要比普通的期权便宜的。 [4]亚式期权是一种强的路径相关期权(path-dependent options)。它的收益不在依赖于原生资产在到期日的价格，而是与整个有效期内的原生资产价格平均值相关。它的分类也根据平均值的不同意义可分为算术平均亚式期权(arithmetic average Astian options)和几何平均亚式期权(arithmetic average Astian options)两种，它们的价[4]格平均分别可以表示为： 算术平均(S) 几何平均(S) aveave11nnlnS1ntii1nn离散形式： SS S(S)e avetaveti1iini1t1lnSdt1t0连续性式： S=Sd S=e aveave0t亚式期权的收益又可分为两种： (1) 固定敲定价格 8 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 cV(S,S,T)(SK) 看涨亚式期权 aveaveavep V(S,S,T)(KS) 看跌亚式期权 aveaveave(2) 浮动敲定价格 c V(S,S,T)(SS) 看涨亚式期权 aveaveTavepV(S,S,T)(SS) 看跌亚式期权 aveaveaveT 而本文的主要研究是有固定执行价格的算术平均亚式期权，其在标准二叉树定价模型(CRR)中，价格的上界以及下界。因此我们首先介绍一下关于它的B-S定价模型。 具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的B-S定价模型 类似于欧式标准期权的B-S模型推导，有固定敲定价格算术平均亚式期权也是应用了-对冲方法。首先设它的定价是 VV(S,S,t,K) avetave作对冲 V(S,S,t,K)S avetave投资组合在时间段(t,tdt)是无风险的，因此 drdtr[V(S,S,t,K)S]dt avetave应用Ito公式化解，具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的B-S定价模型 22VSSVVV2aveS(rq)SrV02ttS2SSave (6) (SK)aveV(S,S,T,K) avetave(KS)ave以看涨亚式期权为例，作变换 9 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 TKtSave SVTG S将上述变换带入公式(8)中，得到 22GGG2[(rq)1]qG02t2 (7) TGV()tTtTS公式(9)就是具有固定敲定价格的算术平均亚式期权标准定价模型(8)的变化，它是一个一维抛物线方程，它的Cauchy解就是我们想要得到的具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的期权金。而(9)是没有具体解，我们只能通过数值方法得到一个模糊的区间范围。 10 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 第三章 不支付红利的亚式期权价格边界模型 对于亚式期权的价格边界的研究，本文就以最常用的具有固定敲定价格的算术平均亚式期权为例，在离散的标准二叉树定价模型(CRR)[又被看做离散形式下的B-S定价模型]之下进行了研究。并且后面会有对于这几个模型的数值实例分析。 Roger-Shi模型中亚式期权价格的上下边界 [5] Roger和Shi价格边界模型完全是在二叉树定价模型(CRR)中进行的，它简单将亚式期权在有效期内各个时段的价格进行算术平均从而充当它的平均价格。而它的上下边界是使用Jensen不等式而得到的，看涨期权为例，以它的最初模型表示 E[(E[SZ]K)]E[(SK)]E[(E[SZ]K)] (8) aveaveave其中 1E[Var[SZ]] ave2Z(X(t),(t)) Njt(t)X() Nj10这里X(t)(t[0,T])表示到t时刻原生资产的价格S上升的次数，(t)示有效期内[20]t时刻之前所有价格上升的总次数。 在上述Jensen不等式中，亚式期权到期日的价格即它的期望收益表示为TTrrcNNV(S,S,n,K,T)eE(SK)，因此公式(10)两端与e的乘积就分别aveaveave是价格上下边界。通过复杂的数学化解和变化之后，Roger和Shi最终得到了二叉树[5]定价模型(CRR)下亚式期权的上下边界表示。本文分别用RSLB表示Roger和Shi[5]模型中亚式期权到期日价格的上边界，RSUB表示Roger和Shi的模型中亚式期权到期日价格的下边界。 11 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 通过化简，下边界表达式： RSLB=NjjTrNNn1min(i,Nj)NlileiNilNjlp(1p)S(0)udnK Nnii0j0lmax(0,ij)i(9) TrNed这里p表示原生资产上升的风险中性概率测度，且u,d分别表示原生资udTN产上升、下降的收益率，并且ud1，ue。 因为是应用的Jensen不等式作为Roger和Shi研究边界问题的基础模型，所以在得到期权的下边界之后，只需要求的它们之间的误差项即可。而的计算就是对期权的期望价格模型基础进行方差求解。 N11112E[Var[SZ]]=VarSX(T)iPX(T)i aveave22ni0NN111iNi2p(1p)VarSX(T)i (10) ave2ini0因此，Roger和Shi价格边界模型中上边界RSUB的表达式 RSUB=NjjTrNNn1min(i,Nj)NlileiNilNjp(1p){(S(0)udnK)Nnii0i0lmax(0,ij)i1112 VarSX(T)i} (11) ave2n其中 12 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 21112 VarSX(T)iE(S)X(T)iESX(T)i (12) aveaveavennn而 Njjmin(i,Nj)lil1lNjESX(T)i S(0)ud (13) aveNnlmaz(0,ij)in11122E(S)X(T)iES(Nj)X(T)i ave2nnjn1n12ES(Nj)S(Nm)X(T)i (14) 2njmj1公式(14)的求解必须分为前后两部分，Roger和Shi是在公式(15)基础上做的简单近似，因此 Njjmin(i,Nj)lil222l2(Til)ES(Nj)X(T)iS(0)ud (15) Nlmax(0,ij)jES(Nj)S(Nm)X(T)i mmji(yz)min(i,Nm)min(Njy,iy,mj)yzj22yz2N(jm)(2yt)S(0)udNymax(im,0)zmax(ijy,0)i (16) Roger和Shi价格边界模型给出的上下边界，最早的解决了二叉树期权定价模型 下亚式期权价格的边界问题，对最初的价格参考有很大的意义。但它的边界结果的精确性却因为推导过程的粗糙化而显得很不完善。因此首先Chalasani(1998)在该模型13 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 基础上进行了数值计算，并得到了相对准确的结果，然后H. Reynaerts (2006)通过一个逆函数方法对Roger和Shi价格边界模型由进行了改进。 RVDD模型中亚式期权的价格上边界 [17][17]RVDD价格边界模型是H. Reynaerts、、和四位学者在2006年合作完成的亚式期权价格上边界模型。同样该模型也是基于标准[3]的二叉树定价模型(CRR)，却是使用了数学家Kaas在2000年提出的一种新的逆函数求解最值方法。基于这种方法，四位学者在Jensen不等式构造中的期权价格期望收益转化为一种函数，并通过求它的逆函数的最值而得到期权价格的上边界。 [3]定义 设x是单调递增函数F的一个随机变量，定义函数F关于变量的逆函xx数F()为 x F()=infyRF(y)， 0,1 xx而对0,1，定义 ()111F()F()(1)F() xxx这里同样属于区间0,1，而 1F()=supyRF(y) xxn1根据这个函数的定义，亚式期权在有效期内价格总额SS(Ti)所对sumi0应的共单调部分用函数F表示 xn1dSF(U) U(0,1) sumS(Ni)i0基于定义的逆函数，将Jensen不等式进行变化 n11ri1c eVF(F(nK)),NiV(S,n,K,T) cS(Ni)aveaveSsumni014 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 n1ri1 eVF(F(nK)),Ni (17) cS(Ni)Ssumi0这里V[,]是指亚式期权相对应的欧式看涨期权的价格公式，而变量是唯一的c并由下面公式确定的。 1F(F(nK))nK S(Ti)Ssum公式(19)的两侧就是RVDD模型中的亚式期权价格的上下边界。将公式左右两[17]侧的关于欧式亚式期权价格用它的期望收益表达出来。本文使有RLB表示RVDD[17]模型中亚式期权到期日价格的下边界，RUB表示RVDD模型中亚式期权到期日价格的上边界。 TrNn1e1 RLB=E(S(Ni)F(F(nK))) S(Ni)X(T)jSX(T)jsumni0NiiTrNNn1min(j,Ni)TljlejjlNil p(1p)[(S(0)ud Nnjmax(j0i0l0,ji)j1 F(F(nK))] (18) S(Ni)X(T)jSX(T)jsumTrNn1e1RUB=E(S(Ni)F(F(nK))) S(Ni)Ssumni0TrNe1nKF(F(nK))(1F(nK)) (19) SSSsumsumsumn这里 n111F()F() 01 (20) uS(Ni)X(T)jSX(T)jsumi015 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 min(j,Ni)1sNisF()S(0)udI (21) F(s1,Ni)F(s,Ni)S(Ni)X(T)jjjsmax(0,ji)而 0 smax(0,ji) NiisljlF(s,Ni) max(0,ji)smin(j,Ti) jNlmaz(0ji)j1 smin(j,Ti)  因此，根据函数定义 F(nK) SX(T)jsummin(j,Ni)n1nKsTissup(0,1)udI (22) F(s1,Ni)F(s,Ni)jjS(0)i0smax(0,j1)公式(20)和公式(21)所给出的就是RVDD价格边界模型给出的期权价格下边界RLB和下边界RUB。RVDD价格边界模型是在Roger和Shi价格边界模型上对二叉树定价模型的亚式期权进行的改进，因此它的结果更加精确。 其它模型 除了RS模型和RVDD模型，在亚式期权价格边界的研究工作中，[9]Chalasani(1998)以二叉树定价模型(CRR)为亚式期权的定价模型，成功的在计算机上将亚式期权的到期日期望收益通过数值解法计算出来。所研究成功的程序也被验[21]证得到的区间解非常接近于通过亚式期权B-S定价模型给出的数值微分解。因此交易者早现场进行交易时，该程序被普遍应用于亚式期权的交易价格评估。而它的缺点也很明显，因为交易者在期权交易场所必须使用个人计算机进行程序运算和交易，而Chalasani所设计的程序在将有效期T划分为N(N较大，譬如说N30)时16 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 耗费的电脑运行时间接近10秒才能得到结果。而时间对于面对讯息万变的资本市场的交易者至关重要，因此运行程序在N较大时耗费很长时间是它的一个软肋。本文中LBC表示Chalasani模型中亚式期权到期日价格的下边界，UBC表示Chalasani模型中亚式期权到期日价格的上边界。 对亚式期权的B-S模型为定价基础，研究者也进行了很多的探讨。最成功的要[12]数Vanmaele和Goovaerts(2002)合作完成的论文中，将Jensen不等式中期权的期望收益用B-S中的抛物线偏微分方程表达出来，并且通过复杂的数学运算得到结果。得到的上下边界区间范围比较RS模型中的区间长度有明显的缩短，也被验证可以得[22]到更加准确的结果。LBBS表示B-S定价模型中亚式期权到期日价格的下边界，UBBS表示B-S定价模型中亚式期权到期日价格的上边界 一个数值实例 为了验证自己的模型优于Roger和Shi模型中亚式期权上下边界区间，Vanmaele[12]和Goovaerts在2002年完成的论文中使用了一个数值实例对两种结果进行了比较，从而进行了简单的验证。本文将这个实例扩张到这四个模型之中，对这四个模[9]型进行更加全面的分析，同时默认Chalasani(1998)的结果在二叉树定价模型(CRR)中就是实际的交易价格(Actual truncation price)。并且通过对数据的分析，得到[40]n,,K对各个模型中价格上下边界之间误差项的影响。 图表数据部分引用于文献[12]。假设一个亚式期权的有效期为一年T360(天)，初始价格S(0)100,无风险利率r8%，不考虑红利率。为有更多的数据以比较四个模型，并且可以得到n,,K的对最后上下边界的影响，假定固定敲定价格K100,110,120,130,140、n10,20,30,40,60、,,,,，分别得到三个图表。 表1 T,n,保持不变，K依次取值100,110,120,130,140。 17 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 n  T KRSLB RSUB RLB RUB LBBSUBBS LBC==RSLB+UBC 360 10  K对模型的影响，首先表现在在其它条件不变的前提下，随着K的增加，亚式期权的期权金会逐渐下降。而各个模型的上下边界的误差也随之减小，上下价格边界也越接近于实际交易价格(LBC=UBC)。 表2 T,n,K保持不变，依次取值,,,,。 n  RSLB RSUB=RRLB RUB LBBS UBBS LBC= T K LB+ UBC 360 10 100  对各个模型的影响，在于随着的增大，风险资产的价格波动就会更大，而其风险收益也必定随之增加，因此亚式期权的期望收益也会增加。通过数据知道，各个模型上下边界之间的误差和误差比率都随之上升，也就是说，越大，各个模型给出的上下边界越远离于实际交易价格，但包含实际交易价格的性质不会发生任何的变化。 18 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 表3 T,,K保持不变，n依次取值10,20,30,40,60。 n  T KRSLB RSUB RLB RUB LBBS UBBS LBC= =RSLB+UBC 360 10 20 30 40 60  n越大，表示亚式期权有效期内的平均周期越长而相应的N的数目却在下降，亚式期权在到期日的算术平均价格就会降低。因此期权的期望收益就会下降，[5][17]所以它们的价格随之下降。Roger和Shi模型和RVDD模型中期权价格的误差会越来越大，区间长度也会增加。而对于B-S定价模型，因为它是在期权价格满足连续且稳定的Brown的基础上构造起来的，所以n的加大使得它的连续性下降。所以在求解上下边界时区间范围越来越大，结果也越来越不准确，甚至于到最后完全没有参考价值。 几个模型之间的对比 [5] Roger和Shi模型比较粗糙，结果也是最简单的，相比于其它三个边界模型来说结果精确度也是最低的。但是它的上下边界区间范围仍包含实际交易中的亚式期权价格。 [17] RVDD模型是在Roger和Shi模型的基础上采用数学方法做的一个升级，因此它的价格区间范围缩减且更加接近于实际的亚式期权交易价格。但是相比于B-S定价模型和Chalasani(1998)模型中的结果的精确度还是逊色很多。 [9] Chalasani在1998年所做的模型，在以标准二叉树模型(CRR)为亚式期权定价的模型的所有模型中，它的结果被认为是迄今为止最为准确的结果。但它的的缺点也十分的明显，就是在个人电脑上程序运行的时间太长，不适合投资者作现场的亚式期权价格参考。 19 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 [12] 以B-S定价模型为基础的亚式期权VG上下边界模型，因为把原生资产的价格变化看做一个连续且稳定的Brown运动过程，求得的期权价格上下边界之间误差在四个模型中是最低的，而且与实际的交易价格也很接近，但因为亚式期权有平均周期对其价格的影响，所有模型的结果在平均周期很大时结果不在准确，存在求得的区间范围不包含实际交易价格的情况。 四个模型中Roger和Shi模型、RVDD模型和Chalasani(1998)论文模型都是基于标准二叉树模型(CRR)为期权的定价模型，第四个边界模型则是基于期权的B-S定价模型。但这四个模型都没有将原生资产可能发行红利考虑在内，因此即使是结果准确也只是相对准确。 20 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 第四章 支付红利的亚式期权价格边界改进模型 现实生活中，亚式期权的价格上下边界在投资者对亚式期权的定价上有很好的借鉴作用。而研究者如何在最接近现实市场的前提下得到最接近亚式期权的实际价[24]格的上下边界模型，譬如说支付红利的期权。对支付红利的亚式期权价格边界探讨，自Roger和Shi首先开始对二叉树定价模型下的亚式期权价格边界进行研究以来，各个学者在延续他们两位研究的基础上，只是在如何提高结果的准确性上进行探讨，而对更加现实化的情况则没有涉及。 本文的和两节内容分别将对支付红利的亚式期权的价格边界在Roger[5][17]和Shi价格边界模型以及RVDD价格边界模型的基础上进行不同的改进。并在节通过一个数值实例对改进模型的准确性进行了一个简单的比较。 以红利率q支付红利时对Roger和Shi价格边界模型的改进 在标准的二叉树定价模型(CRR)之中，本文将在原有Roger和Shi模型的基础以在有效期内支付红利作为一种特例进行研究，支付的方式就是以红利率q在有效期内连续支付。 记T是原生资产的到期日表示，把时间段0,T分为N段，并且每一段的时间长T度都是,则在到期日该模型下标准的欧式期权的价格模型 NTN(rq)Ni//NjjNjN V(K,T)ep(1p)[S(0)udK] (23) cjj0公式中符号表示分别为：r表示无风险利率，q表示有效期内支付的红利率，K是期权的敲定价格，且u,d分别表示原生资产上升、下降的收益率，并且ud1，TTTr(rq)/NNNue，由于期权的预期收益率e在支付红利率q时变为e,所以 21 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 T(rq)Ned/风险中性概率测度随之发生变化，即p，表示原生资产价格的波ud动率。 为了给出原生资产有效期内的平均价格，记X(t)(t[0,T])是到t时刻原生资产的价格S上升的次数，到期日T原生资产的价格总额 TTNX(j)NX(j)NNS(K,T)S(0)ud sumjo相应的价格平均值表示为 TTNX(j)NX(j)11NN S(K,T)SS(0)ud avesumNNj0以具有固定敲定价格K的欧式亚式看涨期权为例，在二叉树定价模型中，它在到期日的定价公式可以表示 cV(S,S,T,K)(S(K,T)K) aveaveave上下边界的获得依旧是使用Jensen不等式，它的最初模型表示  E[(E[SZ]K)]E[(SK)] aveave E[(E[SZ]K)] (8) ave为了计算的方便，不在考虑原生资产在初始时刻即t0得价格，因此本文将TX(Ni)表示在时刻之下原生资产价格S上升的次数，其中i0,1,2,3…n1，N期权在有效期内的平均价格在这种变化之下就变为 n111X(Ni)NX(Ni)SSS(0)ud avesumnni0同时，亚式期权在到期日T的价格表示 22 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 T(rq)cNV(S,S,T,K)eE[(SK)] aveaveaveJensen不等式的两侧依次就是亚式期权期望收益的上下边界，对于支付红利的亚式期权本文用LBQ( RS)表示它的下边界，UBQ(RS)表示它的上边界。而不等式的左侧，也就是亚式期权价格的下边界 LBQ(RS)E[([SZ]K)] aveT(rq)NeE[(E[SX(T)]nK)] sumnT(rq)NNn1e/(E[S(Ni)X(T)j]nK)P[X(T)j] (24) nj0i0因为 S(Ni)u lnX(T)ln(Ni)lnd (25) S(0)d将公式(24)带入公式(23) Niimin(j,Ni)ljllTi ES(Ni)X(T)jS(0)ud (26) Nlmax(0,ji)j又因为 Tj///Tj P[X(T)j]p(1p) (27) j所以 LBQ(RS)= 23 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 NiiT(rq)NNn1min(j,Ni)Njljle//NjlNip(1p)S(0)ud (28) Nnjj0i0lmax(0,ji)j为了求得在支付红利时到期日价格上边界的表达式，必须要把误差项(K)用公式表示出来。而Roger和Shi价格边界模型中的表达只是简单的使用期望期权收益的标准差表示，并没有考虑到亚式期权有效期内平均价格可能小于或大于执行价格K而不被执行。因此本文考虑到可能出现的期权不被执行的情况，把平均价格与执行价格的比较放在文中。 n1S(0)Ni本文记Sd表示在有效期内可能的平均价格最小值，即价格在aveminni02j[27]所有时间段都在下降。SSu表示有效期内的可能价格最大值。因此aveavemaxmin误差项的表达变为 N111/2(K)VarSX(T)jP[X(T)j] avej02nSKSKaveaveminmaxNN11i1//Ni2p(1p)VarSX(T)i (29) avej02inSKSKaveaveminmax根据公式(31)即价格下边界LBQ的表达式以及公式(32)即上下边界之间误差项(K)的表达式，上边界UBQ UBQ(RS)=NjjT(rq)NNn1min(i,Nj)Nlilei//NilNjp(1p){(S(0)udj0Nnii0lmax(0,ij)SKSKaveaveminmaxi24 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1112nK)VarSX(T)i} (30) ave2n公式(31)以及公式(33)给出了支付红利率q的时候，对模型模型与不支付红利时Roger和Shi模型的上下边界表达式最大的不同之处在于有效期内价格变化的风险中性概率测度的不同，以及期望收益率在支付红利时必须将原来的无风险利率变为无风险利率与红利率的差才能表达出来。 以红利率q支付红利时对RVDD价格边界模型的改进 基于Jensen不等式的亚式期权到期日期望价格上下边界模型，在上边界求解中，最重要的也是关键是求得它与下边界的误差项。在RVDD模型中，两位学者对不等式两侧的期权期望收益使用逆函数方法，并用最优线性规划表达出来。Jensen不等式就会变形为节中的不等式公式(19)，而在支付红利率q时，模型变化最大的/是进行风险概率测度的改变，即在支付红利率时价格上升次数为j的概率测度P如公式(29)。 使用LBQ(RVDD)表示在支付红利率q时对RVDD模型进行改进之后的亚式期权价格的下边界，同时用UBQ(RVDD)表示付红利率q时对RVDD模型进行改进之后的亚式期权价格的上边界。因此 NiiT(rq)NNmin(j,Ni)n1Njljle//NjLBQ(RVDD)= p(1p){Nnjj0i0lmax(0,ji)jlTil1((S(0)udF(F(nK)))} (31) S(Ti)X(T)jSX(T)jsum UBQ(RVDD)= 25 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 NiiT(rq)NNmin(j,Ni)n1Nljle//NjlTil p(1p){(S(0)udNnjj0i0lmax(0,ji)j11F(F(nK)))(nKF(F(nK)))(1F(nK))}uS(Ti)X(T)jSXTSX(T)j()jSSX(T)jsumsumsumsum (32) 模型与不支付红利的RVDD模型不同之处在于有效期内价格变化的风险中性概率测度的不同以及期望收益率在支付红利时必须将原来的无风险利率变为无风险利率与红利率的差才能表达出来。 模型对比—通过一个数值实例 [5]为了验证本文在支付红利时本文对Roger和Shi模型期权价格边界以及[17]RVDD模型亚式期权价格的改进与原模型结果的优劣。本节内容依然使用节中的实例，分别对比支付红利时改进模型中亚式期权到期日价格的上下边界与Roger和Shi模型中上下边界和RVDD模型中的上下边界，通过求得的期权价格区间范围说明作这个模型改进的必要性。 本节内容中，依然假设一个亚式期权的有效期为一年T360(天)，平均周期设为n10(天)，初始价格S(0)100,无风险利率r8%，敲定价格K100，波动率，但将考虑红利率q，并将红利率依次取值为、、、、，以便更好的分析红利率q对价格边界的影响。 图表4中，LBQ(RS)——支付红利时，对Roger和Shi亚式期权价格边界模型改进后式期权到期日价格的下边界，UBQ(RS)——支付红利时，对Roger和Shi亚式期权价格边界模型改进后期权到期日价格的上边界。 表4 以红利率q支付红利，LBQ(RS)、UBQ(RS)分别与RSLB和RSUB的对比 26 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 q n   KRSLB RSUB LBQ(RS)UBQ(RS) T (K)360 10  红利对期权的影响，表现在如果以红利率q支付红利，则亚式期权在到期日的收益会下降，同时期权的期望价值在到期日就会贬值，期权在到期日的价格也会[5]随之降低。通过图表分析，与Roger和Shi模型中上下边界组成的区间范围相比，支付红利时改进模型中上下边界区间长度会缩短。因此红利(红利率)的支付对亚式期权到期日价格边界产出了明显的影响，与不支付红利(红利率)的Roger和Shi模型相比结果更加精确。 图表5中，LBQ(R)——对RVDD亚式期权价格边界模型改进后式期权到期日价格的下边界，UBQ(RS)——支付红利时，对RVDD亚式期权价格边界模型改进后期权到期日价格的上边界。 表5以红利率q支付红利，LBQ(R)、UBQ(R)分别与RLB和RUB的对比 q n  RLB RUB RUB-LBQ(R)UBQ(R) LBQ(R)-T K RLB UBQ(R) 360 10  通过图表分析，RVDD亚式期权价格边界模型中上下边界组成的区间范围相比，支付红利时改进模型中上下边界区间长度会缩短。同时对RVDD模型的改造后的27 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 结果要优于对Roger和Shi模型进行改造之后的结果也就是价格边界区间，因此RVDD模型相比于Roger和Shi模型结果要更精确的现象并没有因为模型的改进而被破坏。 相对于不支付红利时，支付红利率q在经济意义上讲原生资产的部分价值必须在有效期内抛离出来交给资产的持有人，因此原生资产的价格就会下降，相应的期权价值就会下降。而不考虑支付红利，Roger和Shi模型和RVDD模型求得的上下边界会在红利上升时下降的期权价格误差越来越大，因此考虑红利，并将红利率q放在公式模型中对减少误差是有帮助的。 本章内容主要是通过对Roger和Shi价格边界模型以及RVDD价格边界模型的分别改进以得到在支付红利(通过支付红利率q的方式进行支付)时亚式期权在到期日的价格边界。而主要的改进是对风险中性测度p的变化。模型相似于基础模型，但通过数值实例的分析，发现计算结果却又明显的不同，且相比较与原先的模型求得的区间范围更加的准确。 28 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 总结和展望 随着金融市场的迅速发展，金融衍生产品为适应投资者更加苛刻的要求而得到广泛的研究。亚式期权作为一种基于标准期权，将有效期内原生资产价格的平均值看做到期日的期权价格，被认为即很好的平抑了价格波动率对到期日期权价值的影响，又没有破坏期权价格模型对有效期内价格变动的反映。亚式期权在到期日的价格上下边界也被广泛的研究，最初的研究者并没有考虑到红利对期权价格的影响，因此本文在几个经典模型的基础上对以红利率q支付红利的亚式期权在到期日的上下边界进行了探讨。 本文的绪论部分就具体的阐述了这样做的实际背景以及现实意义；基础知识部分则详细的介绍了期权以及亚式期权的基础知识以及它们的经典B-S定价模型；模型介绍部分则简单的对在不支付红利下研究的Roger和Shi模型、RVDD模型等进行了介绍，以及发展了一个数值实例对四个模型进行了全面比较；论文的第四部分则以支付红利率q的标准二叉树模型(CRR)为亚式期权的定价模型，在Roger-Shi模型基础上对到期日亚式期权的价格下边界进行了改进和创新，同时又对RVDD模型进行了改进和创新以得到到期日亚式期权的价格下边界。并最后通过一个数值实例对改进前后进行比较。这样新的模型更加接近于实际交易环境中亚式期权价格上下边界，也就更有实际意义。 但模型只是简单的将红利看做支付红利率q，因此在存在更加复杂的红利支付方式时，研究有待于进一步的深入。 29 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 致谢 论文的完成，我首先要感谢的是我的导师蹇明老师，正是因为有他悉心关怀和指导我才能顺利的完成论文。蹇明老师在日常的工作和学习中认真复杂并充满了热情，治学的严谨精神、工作态度的端正以及工作作风的精益求精无时无刻不在影响着我。同时蹇老师不仅在学习方面对我进行严格的要求，而且在做人道理给了我很多的良善建议，在此谨向蹇明老师表示我崇高的敬意和诚挚的谢意。在论文的创造道路上，蹇老师不仅帮我指明论文的研究方向，并对我在论文制造过程中的错误进行了纠正。对论文创新的严格要求也是我完成论文的巨大动力。同时我要感谢在论文创造过程中给了我很多帮助的江求川、宜娜、王新、陈琳等同学，正是因为他们的关注和支持，我才能最终完成论文。 感谢所有给予我帮助的老师和同学们，正是因为你们我才有勇气跨过一个个的困难和挫折。最后我还要对含辛茹苦将我培养长大的父母表达最诚挚的感谢和崇高的敬意！ 最后，对关心、帮助我的老师和同学再次的表示衷心的感谢！ 30 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 参考文献 [1] Abrecher H,Goovaerts M,Dhaene J,et al. Static hedging of Asian options under levy models:commonotonicity approach[J].Research Report,Department of Applied Economics2003,365:1-17. [2] Black F,Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economics,1973,7:637-659 [3] Kaas R,Dhaene J,Goovaerts M. Upper and lower bounds for sums of random variables[J]. Insurance:Mathsmatics and Economics[J].2000,27:151-186. [4] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法(第一版)[J]. 北京：高等教育出版社,2003:74-90. [5] Rogers L and Shi Z. The value of an Asian option[J]. Journal of Applied Probability, 1995,32:1077-1088. [6] Nielsen J,Sandmann K, Pricing bounds on Asian options[J]. Journal of Fianancial and Quantitative ,38(2):449-473. [7] Hull J. Options,Ftures and other Derivative Securities[J]. Prentice-Hall,Englewood Cliffs ,21:68-85. [8] Cox J,Roos C,Rubenstein M. A simplified approach of option pricing[J]. Journal of Fin -ancia Economics. 1998,81:229-263 [9] Chalasani P,Jha S,Varkooty A. Accurate approximations for Euoropean-style Asian options[J]. Journal of Computational ,1(4):11-30. [10] Dhaene J,Denuit M,Goovaerts M, et al. The concept of comonnotonicity in actuarial sciences and fianane[J]. Insurance: Mathsmatics and ,31:3-33. [11] Simon S, Goovaerts M, Dhaene J. An easy computable upper bound for the price of an Arithmetic Asian option[J]. Insurance: Mathsmatics and ,26:175- 184. 31 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 [12] Vanmaele M,Deelstra G,Liinev J,et al. Bounds for the price of discretely sampled arithmetic Asian options[J]. Working paper,Ghent ,3:25-43. [13] Dhaene J, Wang S,Young V,et al. Comonnotonicity and Maximal Stop-loss Premium, Submitted for publication[J]. Derpartment of Applied ,30:51-66. [14] Wang S, Dhaene J. Comonnotonicity, Correlation Order and Premium Priniciples[J]. Insurance: Mathsmatics and ,22:235-242. [15] Kemna A,Vorst,C. A pricing method for options based on average asset value[J]. Journal of Banking and ,14:113-129. [16] Goovaerts M, Dhaene J. Stochastic bounds for present value functions [J]. Derpartme -net of Applied ,24:281-290. [17] Reynaerts H,Vanmaele M, Dhaene J,et al. Bounds for the price of a European-style Asian option in a binary tree model[J]. European Journal of Operational Research. 2006,168:322-332. [18] Fahuai Yi,Yingshan Chen. Exercise boundary of American-style Asian options[J]. App-lied Mathsmatics and ,204:70-81. [19] Vanmaele M,Liinev J, Goovaerts M,et al. Bounds for the price of discrete arithmetic Asian options[J]. Journal of Computational and Applied. Mathsmatics 2006,185:52- 90. [20] Abrecher H,Predota M. On Asian option pricng for NIG levy processes[J]. Journal of Computational and Applied ,172:153-168. [21] Jacques M. On the hedging portfolio of Asian options[J]. ASTIN ,26:165- 183. [22] Curran Asian and portfolio options by conditioning on the geometric mean Price[J]. ,40:1705-1711. [23] 张世中. 关于亚式期权定价的若干问题的研究：[硕士学位论文]，华中科技大学图书馆，2006. [24] Vyncke D, Dhaene J, Goovaerts M. Convex upper and lower bounds for present value 32 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 Functions[J]. Research Report,Department of Applied ,25:43-56. [25] Geman H,Yor M. Bessel processes, Asian options and perpetuities[J]. Journal of Fianancial ,125:76-83. [26] Levy E. Asian arithmetic[J]. The Journal of Risk ,05:7-8. [27] Hull J,White A. Efficient procedures for valuing European and American path-depend -ent options[J]. Journal of ,1:21-31. [28] Wilmott P,Dewynne J,Howison S. Option pricing : mathematical models and computa -tion[J]. Oxford :93-101. [29] 雍炯敏. 数学金融学(第三版)[M]. 上海:人民出版社.2003:22-54. [30] 杨霞,杨立洪. 可转换债券定价中二叉树模型的应用[J]. 华南理工大学学报.2005 33(2):99-102. [31] Hewett T,Lgolnikov R. Option valuation: key issues in option pricing[J]. Balance She ,8(4):11-16. [32] George L. Asian options versus vanilla options: a boundary analysis[J].The Journal of Risk ,9(2):188-199. [33] Ye G. Asian options can be more expensive than plain vanilla couterpart[J]. Journal of :56-60. [34] 戴敏. 路径相关期权二叉树定价方法的数值方法:[博士学位论文]. 复旦大学，2000. [35] Merton R. Theory of rational option pricing[J]. Bell Journal of Economics and Manag -ement. 1973,4:141-183. [36] Bakshi G,Madan D. Average rate claims with emphasis on catastrophe loss options[J]. Journal of Fianancial and Quantitative ,37:93-115. [37] Masulis R,Galai D. The option pricing model and the risk factor of stock[J]. Journal of Fianancial ,4:53-82. [38] Cox J. The valuation of options for alternative processes[J]. Journal of Financial Econ ,3(2):44-56. 33 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 [39] (美)托马斯.E.科普兰等. 金融理论与公司决策(第四版)[M]. 北京：北京大学出版社. 2007. [40] 胡日东. 关于亚式期权以及其定价方法的探讨[J]. 数量经济技术研究.1998,2:73- 75. [41] Heenk B,Kemna A,Vorst A. Asian options on oil spreads[J]. Review of Future Market 1990,9(3):510-528. 34