初中数学
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课件使用说明
初中数学
专项突破6 构造等腰三角形的常
用方法
初中数学
等腰三角形+平行线→等腰三角形
模型总结
①作腰的平行线 ②作底边的平行线
初中数学
1.(2025四川自贡期末)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AB边上,
点E在AC的延长线上,连接DE交BC于点F,EF=DF,求证:CE=
BD.
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证明 如图,过点D作DH∥AC,交BC于H,
∴∠DHB=∠ACB,∠DHF=∠ECF,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠DHB,∴BD=HD,
在△DHF和△ECF中,
∴△DHF≌△ECF(AAS),
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∴HD=CE,
∵BD=HD,
∴CE=BD.
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2.(2025浙江宁波外国语学校月考)如图,△ABC中,CA=CB,D在
AC的延长线上,E在BC上,且CD=CE,求证:DE⊥AB.
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证明 如图,过点D作DM∥AB交BC的延长线于点M.
∵CA=CB,∴∠A=∠B.
∵CD=CE,∴∠CDE=∠CED.
∵DM∥AB,∴∠CMD=∠B=∠A=∠MDA.
∵∠MDC+∠CDE+∠DEC+∠DMC=180°,
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∴2∠MDC+2∠CDE=180°.
∴∠MDC+∠CDE=90°.
∴∠MDE=90°,∴DE⊥MD.
∵DM∥AB,∴DE⊥AB.
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角平分线+垂线→等腰三角形
模型总结
若OC平分∠AOB,ED⊥OC,延长ED交OB于点F,则△OED≌
△OFD,△OEF是等腰三角形.
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3.(2025江苏南京一中月考)
如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若BD=
1,BC=3,则AC的长为_________.
5
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解析 如图,延长BD,与AC交于点E,
∵∠A=∠ABD,∴BE=AE,∵BD⊥CD,∴BE⊥CD,∵CD平分∠A
CB,∴∠BCD=∠ECD,∴∠EBC=∠BEC,∴BC=CE,∵BE⊥CD,
∴2BD=BE,∵BD=1,BC=3,∴BE=2,CE=3,∴AE=BE=2,∴AC=AE
+EC=2+3=5.故答案为5.
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4.(2025重庆西南大学附中月考)
如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD于E,求
证:CD=2BE.
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证明 如图,延长BE交CA的延长线于F,
∵CD平分∠ACB,∴∠FCE=∠BCE,
在△CEF和△CEB中,
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∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴FE=BE= BF,
∵∠DAC=∠CEF=∠BAF=90°,
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°,∴∠ACD=∠ABF,
在△ACD和△ABF中,
∴△ACD≌△ABF(ASA),
∴CD=BF,∴CD=2BE.
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截长补短→等腰三角形
模型总结
如果题干中或待证明的问题中出现几条线段之间的和差关
系,一般考虑截长补短作辅助线解题.
在△ABC中,AD⊥BC.
如图1,在线段BD上取一点E,使DE=DC,连接AE,则△ACE是等
腰三角形.
如图2,延长BC到点E,使DE=BD,连接AE,则△ABE是等腰三角形.
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5.如图,AD⊥BC于D,且DC=AB+BD,若∠C=26°,求∠BAC的度
数.
请按所给思路分别解答:
思路一:在DC上截取DE=BD,连接AE.
思路二:延长DB到F,使得BF=AB,连接AF.
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解析 思路一:如图,
∵DC=AB+BD,BD=DE,
∴AB=CE.
∵AD⊥BE,BD=DE,
∴AB=AE.∴∠B=∠AED,AE=CE.
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∴∠EAC=∠C=26°.
∴∠AED=∠EAC+∠C=52°.∴∠B=52°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-52°-26°=102°.
思路二:如图,
∵BF=AB,DC=BD+AB,
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∴DF=CD.
∵AD⊥BC,∴AF=AC.
∴∠BAF=∠F=∠C=26°.
∴∠BAC=180°-∠C-∠F-∠BAF=180°-26°-26°-26°=102°.
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倍角关系→等腰三角形
模型总结
在△ABC中,∠ABC=2∠ACB.
如图1,作BD平分∠ABC,则△DBC是等腰三角形.
如图2,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD,则△ADB,△ADC是
等腰三角形.
如图3,作∠ACD=∠ACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等
腰三角形.
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6.给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题:如图
1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线.求证:AB+BD=
AC.
小敏的证明思路:在AC上截取AE=AB,连接DE(如图2).
小洁的证明思路:延长CB至点E,使BE=AB,连接AE(如图3).
请你任意选择一种思路完成证明.
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解析 任意选择一种思路完成证明即可.
选择小敏的证明思路:
证明:∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠EAD,
在△ABD和△AED中,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=ED,∠B=∠AED,
∵∠B=2∠C,
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∴∠AED=∠EDC+∠C=2∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴EC=ED,
∴BD=EC,
∴AB+BD=AE+EC=AC.
选择小洁的证明思路:
证明:∵BE=AB,∴∠BAE=∠E,
∴∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E,
∵∠ABC=2∠C,
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∴∠BAE=∠E=∠C,
∴AE=AC,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAD=∠C+∠CAD,
∵∠EAD=∠BAE+∠BAD,∠EDA=∠C+∠CAD,
∴∠EAD=∠EDA,∴DE=AE=AC,
∵AB+BD=EB+BD=DE,
∴AB+BD=AC.
