定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给定的ε>0,有
证明: 由于X1,X2,...,Xn相互独立,故
再由切比雪夫不等式,可得
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 大 数 定 律
当n→∞时,取极限就得到(1)式
定理2(切比雪夫定理的特殊情况)
设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变量序列,且具有相同的数学期望和方差:E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,(i=1,2,...)则对于给定的ε>0,有
定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛.
一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
定理2表明:当n很大时随机变量 的算术平X=Σ /n
在概率意义下接近于数学期望E( )=μ.
即表示在定理2的条件下,n个随机变量的算术平均值在n无限增大时,几乎变成一个常数.它反映了大量测量值的算术平均值的稳定性,这就从理论上肯定了用算术平均值代替理论均值的合理性.
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立
对于任意给定的ε>0,有
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
即
定理3表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A的概率p.
定理3以严格的数学形式表达了频率的稳定性.因此在实际应用
中,当n很大时,我们可用事件的频率来代替概率.
例1 设 X 是抛一颗骰子所出现的点数，若给定X =1，2，实际计算 ，并验证切贝谢夫不等式成立。
分析：因为X 的概率函数
例2 在n重贝努里试验中，若知道每次试验A出现的概率为
试用切贝谢夫不等式求n.使A出现的频率在到之间的概
率不少于?
分析:设n重贝努里试验A出现的次数为 , 服从二项分布
n重贝努里试验A出现的频率为
/n
例4 设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率
是.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在6800和7200之间的概率?
分析:令 为夜晚同时开着灯的数目.它服从参n=100000,p=
的二项分布.用贝努里公式
用切贝谢夫不等式估计
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
§ 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的地位事实上遇到的大量随机变量都服从正态分布。自然会提出为什么正态分布如此广泛地存在，而且在概率论中占有重要地位。应该如何解释大量随机现象中这一客观规律性呢？
李雅普夫证明：在某些非常一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时是趋向正态分布的。
此后林德伯格又成功地找到独立随机变量和的分布，当随机变量的个数无限增加时趋向正态分布的更一般的充分条件。概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的一般定理称为中心极限定理。
定理5(独立同分布的中心极限定理)
设相互独立的随机变量 ...具有相同的分布,且具有有限的数学期望和方差,E( )=μ,D( )=σ2≠0(k=1,2,..),则随机变量
的分布函数Fn(y)满足
s
m
s
m
h
n
n
X
n
X
n
k
k
n
k
k
n
-
=
-
=
å
å
=
=
1
1
*
)
(
X
k
X
k
定理6 设随机变量ηn(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布,则对于任意x,恒有
证明 由于服从二项分布的随机变量ηn可看成n个相互独立,服从同一个(0-1)分布的随机变量X1,X2,...Xn之和,即ηn=∑Xi
其中Xi(i=1,2,...,n)的分布律为 P{Xi=k}=Pk(1-P)1-k (k=0,1)
而 E(Xi)=P, D(Xi)=P(1-P) (i=1,2,...,n),根据定理5(独立同分布定理)
φ[(X-μ)/σ]~N(0,1)的概率密度函数
定理6表明,正态分布也是二项分布的极限分布(二项分布的另一极限分布是泊松分布).当n充分大时,我们可利用定理6来计算二项分布的概率.
例1 对敌人某地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为.求100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率?
分析:令第 I次轰炸命中目标的次数 .100次轰炸中命中目标次数
应用中心极限定理 服从正态分布期望值为200,方差为169,标准差为13
二项分布以正态分布为极限
例2 10部机器独立工作,每部停机的概率为.求3部机器同时
停机的概率?
分析:机器停机是独立变量,且服从二项分布.
(1)直接计算
(2)用局部定理
如果n大于50,则误差就不会产生.
在上二节中我们计算它的概率为.现在利用局部定理
设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是
.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在6800和
7200之间的概率?
例3
数理统计的特点:它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律性.
例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情况.试验后得到这几个灯泡的寿命作为资料,从中推测整批生产灯泡的使用寿命.合格率等.为了研究它的分布,利用概率论提供的数学模型进行指数分布,求出 值,再利用几天的抽样试验来确定指数分布的合适性.
由于灯泡使用寿命的试验是破坏性试验.不能将所有的灯泡都进行试验.只能取部分的灯泡作试验.这产生二个问题.1是抽取的灯泡是否有代表性.因为灯泡试验是一种随机现象,代表性强的效果好.我们称为抽样方法.2是搜集到的数据怎样进行正确的分析,是否能正确地推断出整体情况.我们称为统计推断.
数理统计的重要内容是抽样方法和统计推断.学习数理统计要注意1,抽样的本身是随机现象,它以概率论为基础的.数学期望和方差都依靠概率论的结果.
因此要学好概率论.2,在学习数理统计时需要用部分的资料来正确地推断整体的情况,到底要多少资料才有把握,它们的精确度如何,希望同学在学习中注意.
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期作的社会调查就是给政府提供资料,从中推测那种因素为主要,预测该政策执行过程中会产生多少后果,影响大的如何消除不利因素,防止社会动乱.
数理统计在生产上,研究工作中具有广泛的作用.例如化工产品的研究,它有温度,压力,物质的浓度,反应时间等因素的影响,而每个因素又有几种情况,如温度有200C~2000C内分成6种情况,则46=4096种要每一个都做,不但费时间,而且费金钱.学习数理统计后我们只要做几次试验就可以了.
数理统计在市场的流通中也有广泛的应用,从部分到整体,可以进行预测,谋求商品的价格和商品的生产量之间选最佳的配合.
