折现现金流量估价
第4章
关键概念与技能
会计算单期现金流量或系列现金流量的未来值和/或现值。
能计算某项投资的报酬大小。
能使用财务计算器和/或电子表格来求解时间价值问题。
理解什么是永续年金和年金。
本章大纲
估值：单期投资的情形
多期投资的情形
复利计息期数
简化公式
公司的估值
单期投资情形
假定你打算将10 000美元投入一项收益率为5%的项目中，则1年后你的投资将会增长为10 500美元。
其中，500(=10 000 × )美元为投资赚得的利息 10 000 (=10 000 × 1)美元为应归还给你的本金。10 500美元为本息合计，可由下式计算得到：
10 000× = 10 500美元
该投资在期末的本息合计金额被称为终值（Future Value，FV），或复利值。
终值
如果只有一期，则终值FV的计算公式为：
FV = C0×(1 + r)
式中， C0为今天 (0时刻)的现金流量，r 为某个利率
现值
如果你希望对一项报酬率为5%的项目进行投资，1年后获得10 000美元，则你在今天应当投入的金额为 9 美元。
为了能在1年后偿还10 000美元的债务，债务人在今天就需要存起来的钱，就是现值（Present Value，PV）。
请注意， 10 000美元 =9 美元×
现值
如果只考虑一期，则现值公式可写做：
式中， C1 为在日期1的现金流量，
r 为某个利率。
净现值
某个项目的净现值（Net Present Value，NPV） 等于该项目的预期现金流量的现值与项目投资成本之差。
假定某项投资承诺将在一年后归还10 000美元，现在需要的出资金额为9 500美元。你的资金利息率为5%。这项投资可行吗？
净现值
I在单期情形下，NPV的计算式为：
NPV = –Cost + PV
假定我们放弃了上一张幻灯片中NPV为正的项目， 而是将手中的9 500美元投资于另一个报酬率为5%的项目，则我们最后得到的 FV 将低于被放弃项目所承诺的 10 000美元，因此从FV的大小来判断，我们是不应当放弃这个项目的：
9 500美元× = 9 975美元 < 10 000美元
净现值
未来现金流量的现值大于投资成本额。换言之，
该项目的净现值NPV为正，因此该投资可行。
不确定性与价值评估
不确定的投资其风险较大，这时就要求一个更高的贴现率。
比如投资油画，其风险高，确定性的市场利率假如是10%，投资油画的贴现率可能要求为25%。
多期情形
某项投资在多期后的终值计算一般公式为：
FV = C0×(1 + r)T
式中，C0 为时刻0时的现金流量,r 为某个适当的利率, T 为投资的时期数。
终值
假定某股票目前发放的股利为每股 美元, 并预计在未来5年中将以每年40%的水平增长，5年后的股利额能有多高？
FV = C0×(1 + r)T
美元 = 美元×()5
终值和复利计算
注意第5年的股利额 美元, 与初始股利额与按初始股利额美元增长40%的5倍之和相比，仍然高出了很多：
+ 5×（×）= （美元）
美元 > 美元
这就是由于复利（compounding）的影响。
终值与复利
0
1
2
3
4
5
现值与折现
如果利率为15%，为了在5年后能得到
20 000美元 ，投资者目前必须拿出多少钱？
0
1
2
3
4
5
$20 000
PV
求解期数
如果我们今天将5 000美元存入一个收益率为10%的账户中，则需要多长时间我们的账户金额才能增长到 10 000美元?
72法则（72’law）
使资金倍增所要求的利率（i）或投资期数（n）之间的关系，可用下式近似地表示为：
i ≈ 72 / n 或 n ≈ 72 / i
其中，i为不带百分号的年利率。
仍以上例为例，根据72法则，使资金倍增所要求的期限为：
n ≈ 72 / i = 72 / 10 = （年）
即按年投资回报10%计算，将5000元投资于固定收益的基金，大约经过年就可能使投资额变为10000元。
求解利率
假定12年后你的孩子去上大学时需要的学费为
50 000美元，你现在有5 000美元可供投资，则为了能在12年后凑够孩子的大学学费，你的投资必须达到的收益率为多少？
大约要 %.
多期现金流量
假定某项投资现在就付给你200美元，以后直到第4年，每年还将会增长200美元。如果投资报酬率为12%, 这一系列现金流量的现值是多少？
如果该投资的发行人对此项投资的要价为
1 500美元, 你应当买入吗？
多期现金流量
0
1
2
3
4
200
400
600
800
1,
现值 < 成本 → 不应购入
复利计息期数
如果在T年中每年对一项投资复利 m 次，则在T期末的财富终值将为：
复利计息期数
假定你将50美元投资三年，每半年复利一次，投资报酬率为 12%，则3年后你的投资将增长为：
实际年利率
对上例，我们不由会问：“这项投资的实际年利率究竟是多少？”
所谓实际年利率（The effective Annual Rate , EAR)，就是能在3年后为我们带来同样终值的投资的年报酬率：
实际年利率
因此，按% 的利率每年复利一次的投资与按12%的利率半年复利一次的投资是等效的。
实际年利率
对年百分比利率（APR，也称名义利率）为18%但每月复利一次的贷款，其实际利率是多少？
现在我们的贷款的月利率为1½%。
这同年利率为 %的贷款是等价的：
连续复利
某项投资在经过多个连续复利投资期后的终值，可用下述通常的公式来予以表达：
FV = C0×erT
式中，C0 为时刻0时的现金流量,r 为名义年利率, T 为年数, e 为常数，其值大约等于。
*
*
连续复利
简化公式
永续年金
一系列无限持续的恒定的现金流。
永续增长年金
能始终以某固定的增长率保持增长的一系列现金流。
年金
指一系列稳定有规律的、持续一段固定时期的现金收付活动。
增长年金
是一种在有限时期内以固定增长率保持增长的现金流。
永续年金
指一系列无限持续的恒定的现金流。
0
…
1
C
2
C
3
C
永续年金: 例
当利率为10%时，一种承诺每年支付15英镑的英国金边债券的价值为多少？
0
…
1
£15
2
£15
3
£15
永续增长年金
能始终以某固定的增长率保持增长的一系列现金流。
0
…
1
C
2
C×(1+g)
3
C ×(1+g)2
*
*
永续增长年金（Growing Perpetuity）
上述公式中，
C：现在开始一期以后收到的现金流；
g：每期的固定增长率
r：适当的贴现率
关于永续增长年金的计算公式有三点需要注意：
上述公式中的分子是现在起一期后的现金流，而不是目前的现金流
贴现率r一定要大于固定增长率g，这样永续增长年金公式才会有意义
假定现金流的收付是有规律的和确定的
通常的约定：假定现金流是在年末发生的(或者说是在期末发生的)；第0期表示现在，第1期表示从现在起1年末，依次类推
永续增长年金:例
某公司预计下年将发放股利每股美元, 且该股利预计将以5%的速度每年保持增长。
若贴现率为10%, 这一系列未来股利现金流的价值为多少？
0
…
1
$
2
$×()
3
$ ×()2
年金
一系列稳定有规律的、持续一段固定时期的现金收付活动。
0
1
C
2
C
3
C
T
C
*
*
年金现值计算的另一种思维：
年金现值可由两个永续年金现值之差求出:
从时期1开始的永续年金
减去从时期 T + 1开始的永续年金
0
1
C
2
C
3
C
T
C
*
公司理财讲义
*
年金（Annuity）
年金现值系数
是在利率为r的情况下，T年内每年获得1美元的年金的现值
年金现值系数表
年金: 例
如果你打算按揭买车，你每月能承担的月供额为400美元，则在利率为7%，贷款期为36个月的条件下，你所能购买的最高车价不能超过多少？
0
1
$400
2
$400
3
$400
36
$400
贴现率为9%，某笔年金自第2年末开始支付，持续四期，每期支付金额为100美元。这笔年金的现值为多少？
0 1 2 3 4 5
$100 $100 $100 $100
$
$
2-*
年金的类型：
--普通年金（Ordinary Annuity）
又称后付年金，每期期末收付款项的年金。
--先付年金（Annuity Due）
每期期初收付款项的年金。
--递延年金（Deferred Annuity）
距今若干期以后发生的每期期末收付款项的年金。
递延年金现值（P79）
※ 递延（延期）年金
※ 递延年金的现值
公式：PV0 = A·PVIFAi,n·PVIFAi,m
或：PV0 = A·PVIFAi,m+n - A· PVIFAi,m
先付年金的计算
（1）先付年金终值
与普通年金的区别：计算终值的时间点不同。
普通年金的终值是在最后一笔现金流发生的那一刻计算的，而先付年金的终值是在最后一笔现金流发生的那一期的期末计算的。
因此，先付年金终值比普通年金终值多计算一期。n期先付年金的终值等于相应年期普通年金终值再复利一年。
公式： FVn = A·FVIFAi,n·(1+i)
或： FVn = A·FVIFAi,n+1 –A
（2）先付年金现值
与普通年金现值的区别：
在计算普通年金现值时，现金流被认为是发生在每期期末，而计算现值的时间点在第一笔现金流量的那一期的期初；在计算先付年金现值时，现金流被认为是发生在每期的期初，而计算现值的时间点也就在第一笔现金流量发生的那一刻。
因此，可以把先付年金现值看成是普通年金现值再复利一年。
公式： V0 = A · PVIFAi,n·(1+i)
或： V0 = A · FVIFAi,n-1 + A
增长年金
具有固定到期日，保持以固定比率增长的一系列现金流。
0
1
C
2
C×(1+g)
3
C ×(1+g)2
T
C×(1+g)T-1
增长年金: 例
某退休后福利计划承诺将在你退休后连续支付40年，第一年末支付额为20 000美元，以后每年支付额再以 3%的速度固定增长。如果贴现率为10%，则这份退休后福利计划在你现在正准备退休时的价值为多少？
0
1
$20,000
2
$20,000×()
40
$20,000×()39
增长年金: 例
您正在对一项能带来收益的资产做评估，这项资产能在每年年末为您带来租金。预计第一年末的租金为8 500美元，以后每年预计还能再增长7%。 如果贴现率为12%的话，这项资产在前5年中能为您带来的收益现金流的现值应当为多少？
0 1 2 3 4 5
$34,
分期摊还贷款
贷款的最简单形式是纯贴现贷款（Pure Discount Loans）。借款人当时得到贷款金额然后在未来某个时间偿还一整笔钱（包含本金和利息）给贷款人。
分期付息到期还本贷款（Interest-Only Loans）要求借款人每期支付利息，然后在贷款到期时一次性支付本金。
分期摊还贷款（Amortized Loans）要求借款人分期偿还本金和未还本金部分的应付利息。
纯贴现贷款
短期国库券就是非常典型的纯贴现贷款。本金和利息都在将来某个日期一起支付，其间不付任何利息。
如果某短期国库券承诺在12个月付你10 000美元，市场利率为7%，则这种国库券在市场中可以被卖到什么价格？
PV = 10,000 / = 9,
分期付息到期还本贷款
考虑一项5年期，分期付息到期还本的贷款，假定利率为7%，本金10 000美元，利息按年支付。
借入这笔贷款后的现金流特点是什么？
第1～4年: 每年末支付利息7%×10 000 = 700（美元）
第5年末：利息 + 本金 = 10 700美元
这种现金流特点与公司债券类似，我们在后续章节中还会详细予以讨论。
分期等本摊还贷款
考虑一笔50 000美元, 利率为8%，10年期的贷款。贷款协议要求公司每年偿还5 000美元本金和当年应计的利息。
请点击Excel图标了解摊还贷款的计算过程。
分期等额摊还贷款
此类贷款在贷款期间的每一次支付即既包括利息费用也包括本金。
考察一项4年期每年等额摊还的贷款。假定利率为8% ,贷款本金为5 000美元。
每年支付的金额应为多少?
期数N = 4
贴现率 = 8%
5 000为现值PV
计算年金额 PMT = -1
请点击Excel图标了解摊还贷款的计算过程。
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公司理财讲义
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如何确定公司价值（What Is a Firm Worth?）
从概念上说，公司的价值就是公司所产生的现金流的现值。
如何确定现金流的多少、产生的时间以及风险是容易出错的地方。
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公司理财讲义
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某公司预计在明年产生5,000美元的净现金流(现金流入减去现金流出)，在随后的五年中每年产生2,000美元的净现金流。从现在开始，七年后公司可以10,000美元售出。公司的所有者对公司期望的投资收益率为1 0％。
因此，该公司的价值为16,美元。
快速测试
单笔现金流量的终值是如何计算的?
一系列现金流量的现值是如何计算的？
什么是某项投资的净现值？
什么是实际利率（EAR）？如何计算EAR？
什么是永续年金？什么是年金？
It may be good at this point to discuss the difficulty of calculating time periods and interest rates, particularly without the help of a financial calculator.
e is a transcendental number because it transcends the real numbers.
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It is important to note to students that in this example the year 1 cash flow was given. If the current dividend were $, then we would need to multiply it by one plus the growth rate to estimate the year 1 cash flow.
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Remind students that the value of an investment is the present value of expected future cash flows.
1 N; 10,000 FV; 7 I/Y; CPT PV = -9,
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