第33卷第l期辽宁科技大学学报Vo133Nol 2010年2月Feh, 2010 Joumal ofUniversity ofScience and Technology Liaoning 引入成交量变化率的马柯维茨均值方差模型唐竹青(曲阜师范大学附中，山东曲阜273165) 摘要:对马柯维茨的均值方差理论进行了推广，进一步细化原模型中的风险。把成交量变化率的方差也视为一种风险，在收益率的方差中加入成交量变化率的方差，构成一种两者线性组合的新证券组合风险。讨论在给定一定收益率和成交量变化率的条件下使得新风险最小的优化求值问题。把原模型中没有无风险证券时的前沿证券曲线从双曲线(抛物线)推广到双叶双曲面(抛物面)，把含有无风险证券时的前沿证券曲线从直线推广到圆锥面，还得到了一系列相应结论。同时对股票投资最优组合选择问题进行实证检验。关键词:M arkolV归均值方差模型;风险;收益率;成交量变化率;优化模型;中图分类号:F83Q 91: 022L 1文献标识码:A文章编号1674-1048( 2010) 01-0052-09 "当代证券投资组合"理论的创始人马柯维茨(Hany M. M ark侧itz)在1952年发表了PortfolDSelec-tDn一文[1]。第一次从风险资产收益率与风险之间关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合选择问题。马柯维茨将收益率的方差作为风险度量投资者在投资收益率和风险中寻求平衡。投资组合理论第一次把数理方法引入到金融问题研究中创立了不确定条件下的金融决策理论。但模型本身具有其自身的局限性，国内外学者对此模型进行了研究和修正。针对方差来度量风险问题，人们开始逐渐引入半方差方法、绝对离差方法、VaR方法等等。吴世龙和陈斌比较了采用马氏M-V模型、哈洛的均值半方差(M-S)模型和VaR模型进行投资组合分析时的特点，发现VaR模型的组合效率最高，其次为哈洛的半方差模型，马柯维茨模型最次;当收益率满足正态分布时，马柯维茨模型可视作哈洛模型和VaR模型的一个特例[2]。郑锦亚和迟国泰引入差异系数的概念通过增强经典的马柯维茨均值-方差模型的边界条件，利用Lagrange参数法，得到基于差异系数极小化下的投资组合决策方法[3]。为解决经典的投资组合理论计算量大的困难，国内外学者把智能优化方法(遗传算法，模拟退火算法，人工神经网络等)引入投资决策问题。丰昆仑、张强春、陈荣建立起MarkCMT itz等式约束凸规划分析模型，运用二次规划问题降维算法的原理，提出了一个求解MarkCMT itz等式约束凸规划模型的快速算法[4]。针对股票交易存在最小单位的限制，交易中交易费用的发生等情况，王春峰等引入非凹非凸的典型交易戚本函数形式，计算了投资组合模型[5]。此外，马柯维茨投资组合理论是一个静态模型，考查的证券数目为常数且仅考虑单期的投资组合问题。11吴为波和徐成贤给出了证券品种、数量增加或减少情形下有效边界的漂移方向及漂移距离公式[6]。刘海龙和樊治平应用随机最优控制的方法研究了证券买卖数量和时机选择的动态问题[7]。鉴于股市中大盘日成交量的变化率也影响着投资者的决策本文引入成交量变化率来修正期望和方差的表达式。在给定一定收益率和成交量变化率的条件下，使风险最小，即收益率和成交量变化率方差线性组合最小，进而利用优化方法求解。成交量变化率也是一个随机变量[町，所以仍用均值方差思想、建立模型。收稿日期2009-10-1&作者简介唐竹青(1983一)，女，山东省曲阜人，主要从事金融数学研究。
第l期 53. 引入成交量变化率的马柯维茨均值方差模型1模型基本假设和风险等的数学表达基本假设[9] 在建模型时假设:(1)投资收益率和成交量的变化率的概率分布是己知的。(2)投资风险用投资收益率和成交量的变化率的方差线性组合或其算术平方根来标识。(3)影响投资决策的主要因素为期望收益率，期望成交量变化率和风险。(4)投资都遵守占优原则:同一风险水平下，选择收益率较高的证券;同一收益水平下，选择风险较低的证券。风险和收益率及成交量变化率数学化假定存在N种风险证券，ωp= (ωbω2…吨)T表示相应证券在投资组合p中的权重。其中，组合中的权数可以为负。这N种风险证券，在期末时收益率向量为r= ( r J, r2，…，rN)T，组合p的收益率为飞=ωJT。期末时成交量变化率向量为R=(RJ，丸、RNjT，组合p的成交量变化率为Rp=ωJR。记N种风险证券的期望收益率向量为E(r) = [E (r)), E (r2), ..、E(rN jlT，期望成交量变化率向量为Edj=fE(El j，Ed2j，..、E(R)l，因此，组合p的期望收益率E(-"p) =吨=ωJE(fj，期望成N交量变化率为E(R= ~p =ω:E(R)。p 记N种证券的收益率协方差矩阵为v，= [ cov ( r b r) 1N咐=EI(?-E(?))(?-E什)f]，成交量j变化率的协方差矩阵为民=[cov(RoRjjlN XIV=E I(R-E (R))(R-E (R))T]，显然v"凡是对称矩阵，且为非负定的。定义组合p的方差线性组合为22 。αX 0)+ 自X0(R.) = αX var(ωJfj+ 。×var(ω;R)= W; [α良+自民l飞仇p甘或Op就作为组合p的风险的度量。其中:c\ ß为收益率方差和成交量变化率方差的相对偏好参数，α> 0 > 0。它们要根据所考虑的组合和投资者对收益率方差和成交量变化率方差的偏好而定。令v=αv，+自饵，则。ωJV飞，v也是非负定矩阵。若假设每种证券的收益率，成交量变化率具有有限方差和不等均值。且收益率是非多重共线性的成交量变化率亦是非多重共线性的即任何一种证券的收益率不能由其它证券收益率的线性组合表示成交量变化率不能由其它证券成交量变化率的线性组合表示，则轧机是正定对称矩阵，由此V也为一个正定矩阵。2不含无风险证券时的风险和收益率及成交量变化率组合不含无风险证券的投资组合模型的前沿证券组合2. 1. 1数学模型假定无摩擦市场上存在N( > 1)种风险证券，并且允许其无限制的实空。假设收益率和成交量变化率是非多重共线性的，即不存在常数川口&使得E( r) = kE ( R) + bIo其中，k不为零。此时的前沿证券组合为给定收益率和成交量变化率的风险最小的证券组合。基于以上假设，证券组合p是一个前沿证券组合，当且仅当证券组合权重向量巧是下列二次规划问题的解:1 T~. -ωνω 自1m2 ωTE(刀=吨ωTE(R) =陆ps t ωT 1 = 1
54. 辽宁科技大学学报第33卷式中:吨，~p为给定的证券组合期望收益率和期望成交量变化率[为每个分量都等于1的N维向量;每个前沿证券组合一定对应一个收益率和成交量的变化率，并体现在规划问题的约束条件中，ω无约束条件表示允许卖空。特别地:当α=自=1时。下面均假设v=v，+机。利用拉格朗日(Lagrangian)乘子法求得上述二次规划问题的唯一解，得到不含无风险证券的投资组合模型的前沿证券组合的数学表达:( ’’A) ω= g +吨h+ 1九hl2式中:2 EF -B~~ I町AB-CF ~~I时BC-AE h，=一τ~y'E(r)+一τ~y'E(R)+一τ~VIIAB -CF~~I时DF-A2~~1时AC-BD h=一-7-VE(r)+一-7VE(R)+一/':，~~y’[ 22 BC -AE ~~I时AC-BD~~I时DE-Cg=一τ-'-'-'-"-Y'E(r)+一τ~Y'E(R)+一τ~Y'[2/’:,= D (EF -B2) + (24BC -A 22 -CF) > 0 EA= lylE(刀=E(刀Tyl[B= lyIE(R) = E(R)Tyl[ C= E(RfyIE(刀=E(刀TyIE(R)D = E(刀TyIE(刀>0 E= E(RfyIE(R) > 0 F= lyl[> 0 任何前沿证券组合都可以表示成以上形式。反之，任何可以表示成以上形式的证券组合都是一个前沿证券组合。进而:2 。吨且ι丘+1\" 2且Lι4:+2吨比ρ44Z+坷，丘仨AE+ 2马AC-B且+且丘_C(2) . -"" . . 在吨-~p-Op坐标系下，取op>0部分，由式(2)得到前沿证券曲面为双叶双曲面的上半面(图1)。在吨-h-o;坐标系下式(2)表示椭圆抛物面。212证券组合前沿的有关性质性质1式(1)中的向量g是对应于均值收、益率吨=Q均值成交量变化率比p= 0的前沿证。.08句券组合，同时g+h是对应于吨=~ ~p = 0的前lJ 。、沿证券组合，g+ h是对应于吨=Q ~p = 1的前、沿证券组合。 性质2任何前沿证券组合可通过三个特殊 Pm, 前沿证券组合g、g+h、g+h再组合得到。 μ 性质3任何两个前沿证券组合的仿射组合Rp 0 仍为前沿证券组合。图l前沿证券曲面和最小方差证券组合，mvp 性质4前沿证券组合可以有任意三个不相F皂lC an b ination fnm tier port也liocurved surface 同的前沿证券组合进行再组合而得。and m in in tm variance por由liomvp 性质5考虑。p>0曲面，当E(r阳，，)= A /F, E(R阴阳)= B /F时o阴阳=I/JF最小。(A/F, B /F)为最小方差之点(记为Prnv)，最小方差为I/JF，也是图1中曲面的最低点即为最小方差证券组合。
第l期 55. 引入成交量变化率的马柯维茨均值方差模型T对所有的证券组合p(不仅限于前沿证券组合)有:ω;vωpnvωpnvVω!>nv = 1 /F 0 性质6把均值收益率大于AÆ与均值成交量的变化率大于BÆ的前沿证券组合称为有效证券组合。在图1中表示1/4的曲面。有效证券组合集是凸集。零协方差前沿证券组合前沿证券组合p的零协方差前沿证券组合p，c是指满足ωmJVω'cp = 0的前沿证券组合中方差最小的组合。Pι坐标满足:FO: A E(r，cp)=一一ιτ民+一----1:...一×ιP/ 1 -1川Jp甲Fo;-IFF o~ T? E (R,cp) =一一ι_2l-lnp +一----1:...一x""""-P/ 1 -1川JPPFt-IF_2 -o一→ι一ZCP Fo;-1 p，c的几何意义可由定理1和定理2描述。定E理里1在l吨t也』h恰与p吗p-气Op坐标系下，p, pl[E(rp,c), E(Rp,c), 0]，它是以过p和prnv的结合线在p点的切向量的方向为方向，过p点的直线与贝01卡面的交点(图2)。 、 、户、σPz i .; σP ."、』ι ] 。.002:义气，y乓FOH08 μ'p μRp μ'p μRp 图2p，ι及其几何意义(μ-1卡-0") 图3p，儿及其几何意义(叽均-O/~) F军.2ιand山geanetric m ean ing( 1鸟鸣-0") F军3p" and山geanetric m ean ing(盹·比-O/~) 定E理里2在(贝-冉1卡-咛0:)坐标系下，p, p扒I(贝p'c'冉h1卡ι札p川眈z"，c盯，创0)位于过pι川m1川J.闷AÆ，B仄/眨F~lÆ)和p(μ凡伊)，1卡严。:)直线上(图3)。非前沿证券组合q的零协方差证券组合q，c的求解为:」ωTω日1mViωj 2 ωTω= 0 s t VωT 1 = 1 利用拉格朗日乘子法求解得:H一」-HiLv4 Hjzc-1-Fo;~甲IFo;-1 F
56. 辽宁科技大学学报第33卷民-一_1_lJ"". + F o~ x ~ qm-1-Fo;zjZ Fo;-IF o 2 oω=局Q’l’" (Fo: -1) 式中:0;其lÆ'。q ZC的几何意义可由定理3描述。定理3在ll，-1卡-op坐标系下，q，"位于过q和prnv两证券的结合线上且在1l，Ol卡面上的投影是ql (ll,’l’" l-ln’l’"’ 0)，它是以过q和Pmv的结合线在q点的切向量的方向为方向，过q点的直线与1l，Ol卡面的交点。应注意q，"不一定是有效前沿。定E理里4在贝均4坐标系下，q, q价I(贝qz~峡1卡~'l'"创0j位于过p儿川m1川v(A，闷Æ'，B!矿F氏仄~1 ˘’ )和q肘(贝盹'fI'比po;j直线上。垂直传导性可由定理5描述。定理5对于任意的非前沿证券组合q及前沿证券组合μ两者的风险相同，即。;=。;则它们所对应的零协方差证券组合的风险也相同，即。;JOL。水平传导性可由定理6描述。ω定理6对于任意的非前沿证券组合q及前沿证券组合μ如果陀吨，比=l-ln则:vω阳=0。pq的零协方差证券组合所生成的前沿曲Fq为q的零协方差前沿证券组合:曲线Fq上的任一点(证券组合i)与q有ω:V叫=0。曲线Fq上的任一点(或一个证券组合j还具有ω丁V叫最小的特点。且由线F凡q与有效前沿曲面在点q有效曲面是Fq的包络面。因为Fq和有效曲面相切，因此q的零协方差证券组合前沿曲线Fq会沿着曲面内部进行滑动。任意证券组合定价公式定理7任意证券组合的收益率期望值，成交量变化率期望值都可以由任意一个前沿证券组合q(除Pm/l川和与其对应的零协方差前沿证券组合P，c的收益率均值和成交量变化率期望值来确定，即2 EF -B"AB -CF BC -AE c叫r"rp) + cov(R" Rp) =川ι-ll,p,"] X [吨一一一一+冉一一一一+一一一=]+/’:,. "p /’:,. /’:,. DF-A2 4主ι五互ACι立且一一一一[l札-l-lnp,"] X [l-lnpA 3含有无风险证券的证券组合前沿问题3. 1数学描述存在无风险证券情况下一般的假设条件同前。假设一共有N+l种证券，其中种是风险证券，一种是无风险证券。N种风险证券收益率，成交量的变化率也同前。假设p是所有N+l种证券的某一前沿证券组合，p是这个前沿上的点，该点所对应的期望收益率为吨，期望成交量变化率为h。此外ω(ωbω2…吨)T(表示前沿证券组合p相应风险证券投资的比重(权数)，则(l-lω'p)是投资在无风险证券的权重。由于无风险证券的成交量的变化率虽然变化，但它对整个证券组合的风险无影响，因而风险只是N种风险证券所产生。故ωp是下列规划问题的解:1 T~. -ωνω 自1mfωj 2 ωTE(~)+(I_ωTI)η=吨s t ωTE(R) + (1-ωT I)RJ =民p
第l期 57. 引入成交量变化率的马柯维茨均值方差模型其中:切RJ表示无风险证券的收益率和成交量的变化率。这个优化问题的目标函数是风险证券的收益率和成交量的变化率的方差线性组合的一半。其中，v=αv，+自民。在给定的期望收益率为μ巾和期望成交量变化率为h的条件下，要找到使方差线性之和最小的在风险证券上的投资权重飞。特别地:当α=自=1时利用拉格朗日乘子法解得:l时一一ωp = [民-η}{一一一气V'[E(r)-η1] -n TT " y2 V ’[E ( R) -R rI ]} + J J ’HK -r HK -r 一l时.一IμRp -R] (-YU:’ Y2 l-广[E(r) -rrI] + YYY:~ Y2 V ’[E (R) -RrI} } f,-. HK -r HK -r 式中:I[E(刀-ηItV[E(刀-ηI)]=H>O1 [E(R) -RJltV[E(R) -RJI] = K > 0 [E(刀-ηI]TV I [E (R) -RJI)] = ] σ。，。HK -f > 0 任何前沿证券组合都可以表示成以上形式。反之，任何可以表示成以上形式的证券组合都是一个前沿证券组合。进而得到:μ'p 亏=4V巧=图4前沿证券圆锥面2 一」二气(l七-行72+~气(lι-Rr 7-HK -T’-HK -T ..,-F军4F mn tier pOlt岛liocon ica 1 su rface 2一-L-1flt-η)(3) [l1p -Rr} L HK _ TJ J L "V 3，2几何结构在贝叫-op坐标系下，式(3)代表顶点在仆;R 0)的锥。取Op>0得到见图4，当η=A /F, RJ = B /F时，(3)式变为2 EF -Bro" A,2 DF -A 2 ro, B,2 ~AB -CF ro, A 。一---;;=-[11",) -Fr +一~[lJnp -Fr + 2一~[吨-F} [lJnp -F} 此时，上式就为(2)式的双曲面的渐进锥面(图引。当η<A /F, RJ < B /F时，式(3)表示的锥面和式(2)的双曲面相切于一条连续的曲线，这条曲线就称为切点组合曲线(图6)。其中，吨，比p满足: 0,1 CT, cr, 0 。 0 μRp μ'P 0 μ'P 图6切占配…组A阳曲MDt-ii’ph目川『扭图5渐进锥面UI hro newwL m阳t b 8 ωe nro 甘且F￥5 u Asymptotic conical surface
58. 辽宁科技大学学报第33卷2 BC -AE 11 ,AC -BD 11 且_CJRιι ι二互!!i11 Kd+HRf-2fdf …一一一一=1ι+= 鸣扎+鸣比鸣/’:, /’:, /’:, HK -r ’1’ HK -r "1’ HK -r 图6中黑色曲线为切点组合曲线。资本定价公式定理8任意证券组合q的收益率期望值，成交量变化率期望值都可以由任意一个切点证券组合p(除Pmv外j收益率均值和成交量变化率期望值和表示无风险资产的收益率和成交量的变化率予冉来确定，即2 EF -B AB -CF BC -AE ωTVω= c叫R"Rp) = [11"，-η} x川一一一一+民一一一一-+一一一一=}+ q /’:, '~"p /’:, /’:, 且L-4:+μ4主ι五互+44ι主♀l[l扎-RJ} x [l九A 此式为任意证券组合定价公式。虽然被称为任意证券组合定价公式但并没有唯一地给出任意证券组合收益率均值和成交量变化率期望值只是给出了它们之间的一种关系。实证检验[胁山]4 根据中国证券网.上海证券报报道选择2005-2006年度BBA50成长、BBA50价值"双料"股票如下:G宝能源、G驰宏、G中金、G云铜、G天戚、G宝铁、苏宁电器、小商品城、盐湖饵肥、思源电气、G开谏、G华发、双莺药业、G老害、丽江旅游、G重机、G海螺、G合力、G汾酒、G伊利。以这20个样本股从2005年1月5日至2006年3月31日共一年的收盘价、成交量数据作为研究的样本。剔除没有交易的时间(如公共假日等)，为了保证数据的准确性，仅算49周的收盘价，成交量数据为一年的。鉴于中国证券市场不允许卖空的规定采用有非负约束条件>0的改进马柯维茨模型进行分析。20只样本股的收益率、成交量变化率(对数变化率)及其标准差见表10计算出样本股的平均周收益率、成交量变化率、标准差和协方差后根据改进后的新马柯维茨模型来计算最优投资组合。采用软件MatIab7. 0进行求解。从表1可以看出，各股的平均周收益率介于，成交量变化率介于-O. 000 5 -O. 006 50因此，在运用废模型时，收益率取从o 000 市甘四等分点共五个数、成交量变化率取从 5的四等分点共五个数运算，得到不同预期收益率、成交量变化率水平下最优投资组合。剔除结果不满足的组合，找到了最小的风险(方差之和)为 303 73，对应的收益率、成交量变化率分别为 4; O. 003 40对应的技资组合为=(0. 044 3, Q O. 039 & O. 064 9, O. 044 Q Q O. 002 Q O. 059 9, O. 030 7, O. 023 1, Q O. 053 4; 3, O. 113 ~ Q Q O. 108 :4 O. 116 ~ O. 078 ~ 8)。为验证上述所得结果的正确性与有效性，仍就这20只股票，以其于2006年1月6日至2006年9月29日的周收益率共25个数据进行研究。根据运行结果得出段时间段内各股的平均周收益率、成交量的变化率及其标准差结果见上表。得出院根据2005年1月5日至2006年3月31日算出的最小风险的投资组合于2006年1月6日至2006年9月29日的平均周收益为平均成交量的变化率为 111 49，风险为显然，这一投资组合的盈利较为理想。仍以这20个样本股从2005年1月5日至2006年3月31日共一年的收盘价数据来作为研究的样本，利用MarkCMT itz模型来计算最优投资组合，此时只考虑收益率。各股的平均周收益率介于 ，在运用废模型时，收益率的取从o000 3 -O. 024 7的四等分点共五个数。得到不同预期收益率水平下最优投资组合。从中找到风险最小的组合ω=(0, 0, O. 022 5, O. 056曳0，0, 0, O. 059 7,
第l期 59. 引入成交量变化率的马柯维茨均值方差模型表1样本股的收益率、成交量变化率及其标准差Tab 1 Retum rate电changerates of trading volume of anple stocks and their standard deviations 股票G中金G老窑G宝能源G~甲肥G云铜苏宁电器思;原电气丽江旅游收益率 3 6 O. 003 8 -O. 003 5 -O. 006 7 收益率标准差 6 O. 003 8 -O. 000 5 成交量变化率 1 8 3 9 成交量变化率标准差 7 3 3 7 股票双莺药业G重机G华发G小商品G宝钦G驰宏G天威G梅 螺收益率一 7 2005. 1. 5一收益率标准差 4 成交量变化率 成交量变化率标准差 1 5 股票G合力G 汾酒G 伊利G开深收益率 1 O. 009 7 -O. 005 7 收益率标准差 9 -O. 000 2 成交量变化率 7 9 成交量变化率标准差 1 股票G中金G老窑G宝能源G~甲肥G云铜苏宁电器思;原电气丽江旅游收益率一 5 3 8 1 9 收益率标准差一 5 1 O. 000 7 -O. 003 5 O. 000 3 -O. 004 9 成交量变化率 1 5 5 成交量变化率标准差 4 2 股票双莺药业G重机G华发G小商品G宝钦G驰宏G天威Gi每螺收益率O. 015 3 1 2006. 1. 6 收益率标准差一 5 1 8 4 9 3 成交量变化率 0 1 3 0 成交量变化率标准差 5 7 8 股票G合力G 汾酒G 伊利G开深收益率 7 2 O. 009 3 -O. 000 4 收益率标准差一 0 O. 004 0 -O. 004 4 成交量变化率 1 成交量变化率标准差 6 9, 9, Q 4; 7, 541, O. 009 ~ 9, 鸣。.186 & O. 173 Q 4), 对应的收益率和风险分别为 4; O. 000 177 54，再根据这20个样本股2006年1月6日至2006年9月29日的周收益率，用上述风险最小的组合算出这段时间的平均周收益率为。利用MarkCMT itz模型比本文新MarkCMT itz模型算出的平均周收益率小些。对于一般的投资者，出于追求收益最大的心理，会选择推广的Mark仰itz模型算出的投资组合。5结语根据我国的股市现状大盘日成交量的变化才真正反映了股市本质的变化。本文在MarkCMT itz的投资组合选择模型中，考虑成交量的变化率。把原模型中均值部分加入了成交量的变化率的期望，风险中加入成交量的变化率的方差，然后考虑在给定一定收益率和一定成交量的变化率的条件下，使得收益率和成交量的变化率的方差线性组合所构成的新的风险最小的优化求值问题。以改进的马柯维茨模型为理论基础，结合股市的具体数掘进行实证检验，结果表明，此方法合理可行。本文给出的未来一段时间内基于样本股的投资组合策略，对投资者的投资行为有其指导意义，可以作为投资者的参考。但股市风险莫测，股价会受到各种因素的影响，因而，投资者应按照自身需求以及其它的各种因素对投资组合进行及时调整，以期取得较高收益。
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