機率與統計抽樣華宇企管1
大綱1.機率概述與統計2.衡量表現！敘述統計量3.大數法則＆中央極限定理4.機率定義的步驟5.條件機率6.機率分配----離散型與連續型7.期望值與變異數8.變數間的相關性9.統計抽樣2
路徑圖機率基本要求1.機率值不可為負值2.樣本空間所有元素機率值總和恒等於1條件機率獨立概念貝氏定理機率離散型白努力、二項、幾何、布阿松分配連續型平均、指數、珈瑪、常態分配隨機變數統計量期望值、變異數、標準差、變異係數相關性聯合機率分配、共變異數、相關係數3
大綱1.機率概述與統計2.衡量表現！敘述統計量3.大數法則＆中央極限定理4.機率定義的步驟5.條件機率6.機率分配----離散型與連續型7.期望值與變異數8.變數間的相關性9.統計抽樣4
什麼是機率？ 對一種不確定性的數值測度。 一種對發生某項不確定事件之信心強度的測度。 一種對發生某項不確定事件的機會或是可能性的測度。 用介於0與1 (或是介於0%與100%)之間的某一個數字來測量。5
客觀或古典機率 基於期望可能發生的事件或基於事件的長期相對頻率，與個人的信仰、價值觀無關。 對所有觀察者而言皆不變(客觀的本意)。 例子：丟銅板，擲骰子，抽一張撲克牌。 主觀機率 基於個人的信仰，經驗，偏見，直覺 個人判斷。 每個觀察者都不一樣(主觀的本意)。 例子：籃球賽、選舉、介紹新產品、下雪 6
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數據的掌握衡量表現狀況：X1 X2 X3 Xn?平均數mean 「XbarmuEV」中位數median 眾數modeRange Q1 Q3集中程度變異數（方差）母體/抽樣標準差（西格碼）變異數與標準差的差異8
數據圖形分析點圖（Dot plot）盒鬚圖(Box plot)直方圖（Histogram）直方圖vs條狀圖（Bar chart）9
敘述統計與機率-1機率論的發源地是敘述統計學；明瞭敘述敘述統計學的概念，對於機率論的學習，大有助益！摘自台大教授楊維澤『機率一講』改編10
敘述統計與機率-21. 假設我擔任主管；共有50部機台，現在考慮某週生產的良率百分數成績；我們用xn代表第n號機台的成績。所以就有一堆數據：x1, x2, x3, ,xN，（此地N=50）。我們用X來代表這個統計數據。所以，事實上X是映射：，， ；不是集合{x1,x2, ,xN}；──例如，這集合的元素個數可以小於N，而且，若是看成集合，則「1 號得70 分，2 號得81 分」與「2 號得70 分，1 號得81 分」X的定義域，此地是1 到50 之自然數11
敘述統計學的最初問題 .廠長問：「這週良率怎麼樣？」我該怎麼報告？ 定性的說法：如「大體很好，差異變化不大」 定量的說法：第一台70 第二台84 第三台93 他要知道最重要卻也最起碼的兩件事：甲、大體如何？乙、是否差異不大？廠長不滿意籠統的說法，他要一個更精確（定量）的說法：平均數、變化程度。 一、如果你只想到平均數.....(那太粗略了！顯然變化程度也很重要) 二、數據本身統計才是完整的資料 過去的學者很嚴謹就是需要X這麼完整的資料， （近代的）推論統計並不肯花精力得到它。（通常是做不到，太貴或太花時間了。）12
敘述統計與機率-3如何取代表值α，及參差度β？通常採用機率論和敘述統計，幾乎完全一樣！只是一體兩面而已。想像這種情形。去年我做了完整的紀錄弄成一張張卡片，到了這一年度，我決心做個不負責的工程師或主管：若你是一批加工料，我請你抽一張卡片，就當做你的良率。這麼一來敘述統計就成了機率論了如果，去年有4 部機台良率不到50，那麼，13
敘述統計與機率-4良率不到50的相對頻率就是「相對頻率」改成「機率」，用符號P表示：P{X<50}=敘述統計學機率論如果去年有6 部機台不合規定，即相對頻率f機率Pf{X<60}=，則現在不及格的機率是，即f{X<60}= 統計數據隨機變數現在的X從「統計數據」改成了「隨機變數」，隨著機會（你的算術平均AE..M期望值.運氣）而改變；「算術平均數」，也改成（數標準差標準差.學）期望值E；如果去年全廠平均為.(X)=74 ，則（現在）期望值就是E(X)=74 . 14
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分佈與機率大數法則與預測： 當隨機變數足夠大時，其隨機變量X1,X2,X3, Xn之幾何平均數接近母體平均數。中央極限定理 任意母體分佈，當其隨機抽樣樣本n夠大時，其樣本平均數所組成的樣本空間，服從常態分配，其平均數為母體平均數，標準差為母體標準差除以抽樣數n之平方根16
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集合 感興趣的元素或物件的聚集 空集合(記作∅) 一個沒包含任一元素的集合 宇集(記作S) 一個包含所有可能元素的集合 餘集(非的概念，記作A) 集合A的餘集是一個包含不在A中所有宇集元素的集合18
某個A集合的餘集ASAA19
基本定義(A∩B) 交集(且) 一個包含所有A與B共有之元素的集合 聯集(或)(A∪B) 一個包含所有A與B擁有之元素的集合SSABABA∩BA∪B20
基本定義(續) 互斥 彼此間沒有共同元素的集合，沒有交集，它們間的交集是空集合。 分割 一組彼此互斥的集合，他們一齊包括所有可能的元素，而它們的聯集等於宇集。21
（機率）實驗 一種引發許多可能現象之一的過程*，如 丟銅板 人頭，數字* 也被稱為基本現象，基礎事件， 擲骰子或簡單事件。 1, 2, 3, 4, 5, 6 抽一張撲克牌 紅桃A，紅桃K，紅桃Q .等 引進一種新產品 成功、失敗 超過預期銷售額、符合預期銷售額、不足預期銷售額 每次嘗試某個實驗只會有一種現象結果機率被觀察到 任何一個隨機實驗的真正此現象在嘗試之前並不知道22
機率定義的步驟實驗十分鐘檢查的面板數樣本空間S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}元素機率P(1) = P(2) = P(3) = 1/12P(4) = P(5) = P(6) = 1/4事件機率P(偶數個) = P({2,4,6}) = 5/1223
機率定義的步驟定義機率的基本要求1. 任一元素s∈S，P({s}) ≥02. P(S) = 1空集合∅= {} ⇒P(∅) = 0補集：AC= {s|s∉A}例：S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, AC= {3, 4, 5, 6}24
機率定義的步驟賦予樣本空間中各元素機率的方法1. 古典方法：各元素的機率都相同2. 相對頻率方法：重覆實驗很多次，並以一個元素所出現的相對頻率（出現次數佔總實驗次數的百分比）做為該元素的機率，亦稱之為客觀方法3. 主觀方法：根據個人的經驗或直覺來定義各元素的機率25
機率定義的步驟事件的運算 聯集：A∪B⇒{s|s∈A或s∈B} 交集：A∩B⇒{s|s∈A且s∈B}互斥事件：A∩B = ∅⇒A∩AC= ∅加法律：P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)SS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}ABA = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5}A∪B= {1, 2, 3, 5}A∩B= {1, 3}26
大綱1.機率概述與統計2.衡量表現！敘述統計量3.大數法則＆中央極限定理4.機率定義的步驟5.條件機率6.機率分配----離散型與連續型7.期望值與變異數8.變數間的相關性9.統計抽樣27
條件機率在某一事件B已知有發生的條件下，另一事件A會發生的機率，表示成P(A|B)計算方式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)貝氏定理A)P(A)P(ABP(B||)=P(B|A)P(A)+PCC(B|A)P(A)28
條件機率例：A表廠商i所供應的背光板，i = 1, 2iB表某一背光板是不堪用的P(A) = , P(A) = (B|A) = , P(B|A) = (B|A)P(A)11P(A|B)1P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)
條件機率獨立事件：若事件A發生的機率，不因事件B是否有發生而改變，則A和B互為獨立事件判斷方式：若P(A|B) = P(A)或P(A∩B) = P(A)P(B)，則A和B互為獨立事件若A和B互為獨立事件，則AC和B、A和BC、AC和BC亦互為獨立事件30
條件機率例：A表液晶面板有第一種瑕疵B表液晶面板有第二種瑕疵P(A) = , P(B) = (A∩B) = = P(A)×P(B)第一種瑕疵和第二種瑕疵的產生是互相獨立的，亦即沒有關聯性31
大綱1.機率概述與統計2.衡量表現！敘述統計量3.大數法則＆中央極限定理4.機率定義的步驟5.條件機率6.機率分配----離散型與連續型7.期望值與變異數8.變數間的相關性9.統計抽樣32
離散型機率分配隨機變數：將某一實驗的各種可能結果，用數字來表示；例如用X來表示員工的性別，則可用０表男性，１表女性離散型隨機變數：變數的可能值個數為有限個或可數的無限多個連續型隨機變數：變數的可能值是一個區間或多個區間中的所有值33
離散型機率分配白努力(Bernoulli)分配：一個實驗只有二種可能值，一般稱之為成功（值為１）和失敗（值為０）P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1-p即成功的機率為p，失敗的機率為1-p，其中p為給定的參數例：檢查某一產品，其結果不是良品就是不良品34
離散型機率分配二項(Binomial)分配：執行了n次相同且互相獨立的白努力測試後，所得到的成功次數n!P(X=x)=px(1−pn−x),x=0,1,2,...,nx!(n−x)!例：一個產品會有瑕疵的機率為，則檢查10個產品會有2個為瑕疵品的機率為10!P(X=2=××8)=!8!35
離散型機率分配幾何(Geometric)分配：執行一連串相同且互相獨立的白努力測試，一直到第一次成功出現為止P(X=x=−x-1)p(1p),x=1,2,3,...例：一個產品會有瑕疵的機率為，檢查了5個才看到第一個瑕疵品的機率為P(X=5)=×=
離散型機率分配布阿松(Poisson)分配：在給定的一段區間內，某一特定事件發生的次數µx−µeP(X=x)=,x=0,1,2,...x!其中µ為該區間內平均發生的次數例：一臺機器一個月平均會壞掉1次，則在一個月內該機器壞掉2次的機率為12−1eP(X=2)==!37
連續型機率分配連續型隨機變數等於某一特定值的機率恒為0連續型隨機變數的任何一個值可定義其機率密度，這個值不能為負，但可大於1連續型隨機變數介於某一區間的機率為其機率密度函數的曲線下面積根據機率基本定義，一個機率密度函數的曲線下面積總和為138
連續型機率分配平均(Uniform)分配：U(a,b)1f(x)=,a≤x≤bb−a例：完成某一件工作的時間服從U(3,6)，單位為分鐘，則會在3到5分鐘間完成這件工作的機率為f(x) = 1/3f(x)=1/(6-3)=1/3,3≤x≤6512P(3≤X≤5)=∫dx=33335639
連續型機率分配指數(Exponential)分配：Exp()xf(x)e,x0f(x)> 0為事件發生的速率0若一段區間內某一事件發生的次數服從Poisson()，則連續二個事件發生的間隔時間將會服從Exp()，反之亦然40
連續型機率分配珈瑪(Gamma)分配：Gamma(,)-x1e(x)f(x),x0(=2)> 0, > 0=3=1Gamma(,1)即為Exp()0k個互相獨立且都服從Exp()的隨機變數相加所得到隨機變數會服從Gamma(,k)41
連續型機率分配布阿松、指數和珈瑪這三個機率分配之間的關係Poisson()××××××Exp()Exp()Exp()Gamma(,3)42
連續型機率分配例：在一小時內平均有10輛運送所需物料的貨車到達，假設貨車到達的數量服從Poisson(10)，則二輛貨車到達的間隔時間會服從Exp(1/6)，即平均每六分鐘會有一輛貨車到達，若有一輛貨車剛到達，則下一輛貨車會在5分鐘內到達的機率為x551−−P(X≤5)=e6∫dx=1−e6=從現在到第四輛貨車到達之間的時間會服從Gamma(1/6,4)43
連續型機率分配常態(Normal)分配：N(µ,σ2)(x−µ2)1−σ=2f=e2σ2(x),−∞<x<∞2piσσ=5-∞< µ< ∞, σ> 0標準常態分配Z ~ N(0,1)µ若隨機變數X服從N(µ,σ2)，則(X-µ)/σ會服從N(0,1)44
連續型機率分配例：令隨機變數X表某一液晶面板的壽命服從常態分配N(100002,1000)，單位為小時，則此廠牌液晶面板的壽命在9,600小時和10,400小時之間的機率為P(9,600≤X≤10,400)9,600-10,000X-10,00010,400-10,000=P(≤≤)1,0001,0001,000=P(≤Z≤)= 45
已知A公司所有男性同仁的平均身高是170cm , 標準差是8公分，而其分佈符合常態分佈標準差=8 請問超過ＡＣ180公分的機率為何？ 請問身高在150~175cm之間170的同仁有多少比率？46
大綱1.機率概述與統計2.衡量表現！敘述統計量3.大數法則＆中央極限定理4.機率定義的步驟5.條件機率6.機率分配----離散型與連續型7.期望值與變異數8.變數間的相關性9.統計抽樣47
期望值與變異數期望值(Expected value)：標示一隨機變數可能值中央位置的測度變異數(Variance)：衡量一隨機變數可能值的散佈程度，其正的平方根稱為標準差(Standard deviation)變異係數(Coefficient of variation)：標準差/期望值計算方式變數型態期望值E(X)變異數Var(X)離散型Σxp(x)Σx2p2(x)-E(X)xx連續型∫x2f(x)dx2∫xf(x)dx-E(X)48
期望值與變異數例：數假，設其隨機機率變分數佈X表為示某一液晶面板會有的壞點個期望值P與(0)變 =異 0.數8, 分P(1別)=為 , P(2) = ，則X的E(X) = 0×+1×+2× = (X)2 = 02×+12×+22×= 表示平均每個產品有個壞點；若變成P(0) = , P(1) = , P(2) = ，則E(X) = 0×+1×+2× = (X) = 02×+12×+22×= 表示產品間的壞點數變化較大49
期望值與變異數例：生產線甲每日的生產量(X)可為530, 540, 550, 580, 600，生產線乙每日的生產量(Y)可為2140, 2200, 2260, 2280, 2320，每個可能值出現的機率均等E(X) = (530+540+550+580+600)/5 = 560Var(X) = 680 =2 σXE(Y) = (2140+2200+2260+2280+2320)/5 = 2240Var(Y) = 4000 = σ2YX的變異係數= σX/E(X) = %Y的變異係數= σY/E(Y) = %生產線乙的產量較穩定50
期望值與變異數E(X+c) = E(X) + c, Var(X+c) = Var(X)：一隨機變數加上一常數c後，其期望值亦會加上c，但變異數維持不變E(cX) = cE(X), Var(cX) = c2Var(X)：一隨機變乘上一常數c後，其期望值會擴大為原來的c倍，而變異數則擴大為原來的c2倍例：總成本= 變動成本+ 固定成本= c1X + c2其中c1為製造一個產品的成本，X隨機變數表生產量，c2為固定成本E(c1X+c2) = c1E(X)+c2, Var(c1X+c2) = c21Var(X)51
期望值與變異數離散型機率分配機率分配期望值變異數適合使用對象二項分配E(X) = npn次二元測試中成功的次數，Binomial(n,p)Var(X) = np(1-p)如產品檢查幾何分配E(X) = 1/p直到觀察到第一次成功的總測Geometric(p)Var(X) = (1-p)/p2試次數，如抽檢不良品布阿松分配E(X) = µ一段區間內某事件發生的次Poisson(µ)Var(X) = µ數，如一個月內機器維修次數52
期望值與變異數連續型機率分配機率分配期望值變異數適合使用對象平均分配E(X) = (a+b)/2各個可能值的發生可能性都差不U(a,b)Var(X) = (b-a)2/12多，如運送時間指數分配E(X) = 1/λ愈小的值發生的可能性愈大，如訪Exp(λ)Var(X)客在櫃臺停留時間 = 1/λ2珈瑪分配E(X) = α/λ不是愈小的值發生的可能性就愈Gamma(λ,α)Var(X)2大，如機器壽命 = α/λ常態分配E(X) = µ發生的可能性針對期望值具對稱N(µVar(X) = σ2性，如每日生產量,σ2)53
大綱1.機率概述與統計2.衡量表現！敘述統計量3.大數法則＆中央極限定理4.機率定義的步驟5.條件機率6.機率分配----離散型與連續型7.期望值與變異數8.變數間的相關性9.統計抽樣54
共變異數(Covariance)與相關係數(Correlation Coefficient) 量測兩量化變數之間線性關聯程度的量數例如: 廣告次數vs. 銷售金額溫度vs. 餅乾的脆度 若佈觀，察則資表料示的兩序對(x1,y1),K,(xn,yn)呈現狹長的帶狀分關聯變數具有線性關聯，分布越集中，越有 計算公式:∑(x−µ)(y−µ)σ=ixiy 母體共變異數xy: N 樣本共變異數(x−x)(y−y)=∑ii: sxyn−1 母體相關係數σxy∑(x−µ)(y−µ)ρ==ixiy:xyσ∑−2∑−2xσy(xµ)(yµ)ixix 樣本相關係數:sxy∑(x−x)(y−y)==iirxysxsy∑x−2(x)∑(−2yy)ii55
變數間的相關性聯合機率分配：描述多個隨機變數彼此間可能值發生的機率邊際機率分配：由聯合機率分配中推導出單一變數的機率分配例：P{X = x, Y = y} = xy/9, x = 1, 2, y = 1, 2X的邊際機率分配為P{X = x} = P{X = x, Y = 1} + P{X = x, Y = 2}= x/9 + 2x/9 = x/356
變數間的相關性共變異數(Covariance)：衡量變數間的線性關係，計算式為Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y)Cov(X,Y) > 0表示X和Y為正相關，即當X的值愈大時，Y的值也愈大，反之亦然Cov(X,Y) < 0表示X和Y為負相關，即當X的值愈大時，Y的值會愈小，反之亦然Cov(X,Y) = 0表示X和Y為不相關，即X的值無法用來預測Y的值會大或小，反之亦然57
變數間的相關性例：X表一週內每日平均工作人數Y表一週內每日平均生產量f(x,y) = (x+y)/3240, 10 ≤x ≤12, 60 ≤y ≤80f(x) = (x+70)/162, f(y) = (y+11)/1620E(X) = , E(Y) = (XY) = (X,Y) = E(XY) E(X)E(Y) = 生產量與工作人數呈現正向的線性關係58
變數間的相關性若隨機變數X和Y互相獨立（即無法用X或Y的值去預測另一個變數的值會較大或較小），則E(XY) = E(X)E(Y) ⇒Cov(X,Y) = 0例：X表一週內每日平均工作人數Y表一週內每日平均生產量f(x,y) = x/440, 10 ≤x ≤12, 60 ≤y ≤80f(x) = x/22, f(y) = 1/20(f(x,y) = f(x)f(y))E(X) = 364/33, E(Y) = 70E(XY) = 25480/33 = E(X)E(Y) ⇒Cov(X,Y) = 0生產量不受工作人數多寡的影響59
變數間的相關性E(X+Y) = E(X) + E(Y)：變數相加後的期望值等於其個別的期望值相加Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)：變數間的線性關係會影響二變數相加後的變異數例：X表昨天產品的不良數Y表今天產品的不良數若這二天產品的不良數互不影響，則可每天計算後再相加，不會影響變異數的估算；但若會互相影響，則合併計算和分開計算後再合併的變異數會不相同60
變數間的相關性相關係數(correlation coefficient)：用來衡量二個變數線性關係的強度變數X和Y間的相關係數Cov(X,Y)ρxy=Var(X)var(Y)ρxy的值必介於+1和-1之間，ρxy= +1表示強烈的正相關，ρxy= -1表示強烈的負相關，ρ有線性關係xy= 0表示沒61
大綱1.機率概述與統計2.衡量表現！敘述統計量3.大數法則＆中央極限定理4.機率定義的步驟5.條件機率6.機率分配----離散型與連續型7.期望值與變異數8.變數間的相關性9.統計抽樣62
統計抽樣 什麽是抽樣？ 從所欲研究之現象的母體中，隨機選取一部份的資料或樣本進行調查，並以部分樣本所得的結果推論母體。 爲什麽使用它？ 由於經費、時間、人力的限制或調查具有破壞性，因此採用抽樣調查的方式。 使用相對較少量的數據資料常常，可以獲得可靠的結論 抽樣準則( Ground rules) 隨機抽樣 保持資料一致性 流程應具穩定性（控制在範圍內） 應能充分代表一個流程或一個母體63
樣本與母體的關係•在無法以普查或全檢的方式得知全貌時,以抽樣的方式來推測母體•抽樣的方式與手法會影響推測母體的精準度母體: 在所要研究的統計問題中研究的個體其可能的數值所成的集合1. 樣本是否可隨機取樣?2. 是否可能產生抽樣的錯誤?3. 樣本需要多大?樣本: 與母體具有相同特徵的一個次群組64
常用的抽樣方法MM33 資料收 資料收集集計計劃劃簡單隨機抽樣分層隨機抽樣系統抽樣叢式抽樣樣組抽樣65
簡單隨機抽樣MM33 資料收集計畫 資料收集計畫範例: 為估計某班級的平均身高，隨機選擇十位學生作為估計平均身高的樣本母體中所有個體皆有同等被抽中的機會66
分層隨機抽樣MM33 資料收集計劃 資料收集計劃範例: 為估計台北市居民的年平均所得, 我們將母體(台北市居民)依教育程度分為若干層後, 在每一層內隨機選取數個樣本高中職以下高中職大學(專)研究所以上母體被分為若干層後依隨機的方式在每個層內選取適當的樣本數67
叢式抽樣範例: 某公司為估計當年度所屬便利商店的平均存貨週轉率，財務單位將旗下3000家商店適當分為100群後，進行簡單隨機抽樣，取得某一群後進行普查。分群應注意事項::群間差異小、群內差異大68
系統抽樣範例: 某公司明年度欲全面推動周薪制，為先了解員工對此制度的看法，人資處將對公司3000名員工採用系統抽樣的方式選出300位員工進行研究。他們以員工名冊中。員工序號個位數為2者，做為進行問卷調查的對象。選取每 第nn個 項目或 固定間隔 作為研究的樣本69
樣組抽樣範例: 在生產線上每隔10分鐘抽取一個零件，檢驗並紀錄量測結果10分鐘10分鐘選取每 第nn個 項目或 固定間隔時間 作為研究的樣本70
範例練習: 哪種抽樣方式比較好?請試著比較五種抽樣方法的優缺點,簡單隨機抽樣分層抽樣叢式抽樣系統抽樣樣組抽樣71
抽樣優點缺點使用時機a.母體名冊完整時，樣本抽取a.完整母體不易取得，或成本大實行困難a.母體內樣本單b.簡單方便，方法簡單當母體樣本單位過多時，抽樣作業相對位不多,且有上不便（如名冊幾萬戶）隨機b.估計式簡單（樣本機率為定c.樣本分配分散，增加調查行政作業困難完備名冊可資抽樣值，甚至相等）（如地區住戶編號580萬戶要抽18000戶）d.當樣本單位差異大時，代表性恐有不足b.母體內樣本單位差異不大時(如估計所得，抽到高所得或偏低所得) a.分配較均勻，提高估計確度限制：a.母體內樣本單b.可以分別各層訊息，做分析a.分層變數之選取（分層特性）需多加注位之差異大時分層c.各層可採取不同之抽樣方法意b.分層後能達到抽樣d.便於尋找樣本跳動之來源（b.分層不能有重疊現象層間變異大、如調查每季每月就業、失c.分層後樣本資料之整理與估計較SRS複層內變異小業、HR調查）雜叢式可減低抽樣成本並提高樣本估a.風險較大，容易發生抽樣偏差必須群間變異抽樣計之可靠度b當群集內所含個體數不同時，會使誤差小，而群內變加大異大系統僅需抽出一個隨機起點，以後有發生抽樣偏差的可能，因為某些特別的大多用於較大規抽樣只需累加，應用上較方號碼會指定給某些特殊單位，可能使樣模之調查工作便。本中包含過多或過少的特殊單位樣組僅需抽出一個隨機時間點，以與時間性差異大時掌控困難,因為某些特大多用於如多樣抽樣後間格時間，應用上較方別的時段會使樣本中包含過多或過少的少量單純之製便。操作容易,值型度佳特殊單位或代表性造生產線72
路徑圖機率基本要求1.機率值不可為負值2.樣本空間所有元素機率值總和恒等於1條件機率獨立概念貝氏定理機率離散型白努力、二項、幾何、布阿松分配連續型平均、指數、珈瑪、常態分配隨機變數統計量期望值、變異數、標準差、變異係數相關性聯合機率分配、共變異數、相關係數73
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