第六章
协方差分析
第一节
概述
【引例】 ：测试一种合成纤维的抗拉强度．
三台不同的机器为纺织公司生产单丝纤维.研究者感兴趣于决定三台机器生产的纤维的抗断强度是否有差异。但是纤维的强度也受它的粗细大小影响，从每台机器上选取五根纤维样品的随机样本。每一样品的纤维强度（y ）和对应的直径（x）数据如表所示：
15
32
28
44
32
49
21
34
30
45
25
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26
42
22
39
24
39
23
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28
48
25
41
21
35
22
40
20
36
X
y
x
y
x
y
机器三
机器二
机器一
纤维的抗拉强度数据
在这里响应变量是抗拉强度（y），协变量是纤维直径（x），x 虽不能被控制，但可以随 y 被测到，纤维直径与抗拉强度的关系可以通过散点图予以描绘：
通过图可以看出，抗拉强度与纤维直径有着很强的线性关系当检验三台机器的强度差异时，协方差可用来消除粗细度（x）对强度（ y）的效应
第二节
一个协变量的单因
素试验协方差分析
固定效应单因素等重复实验数学模型
一个协变量单因素的实验的统计模型
Yij 是在单因素第i种水平下取得的响应变量的第 j 个观察值
Xij 是对应yij 的协变量上的度量
是第i种水平的效应
是xij 的平均值
是线性回归系数,表示 yij 对 xij 的依赖性
是试验随机误差分量
假定误差是服从正态分布 的,斜率 yij与 xij的真实关系是线性的,对每种处理,回归系数是相等的,处理效应之和为零 ,协变量xij 不受处理的影响
从上式可以看出,协方差分析模型是方差分析和回归分析所用的线性模型的组合,即有单因素方差分析的处理效应 和回归分析的回归系数
记号
X、Y分别表示协变量观察值和响应变量观察值的总和
记号
分别表示在单因素的第i 种水平下取得的响应变量观察值的和与平均值
与
分别表示在单因素的第i 种水平下取得的协变量观察值的和与平均值
与
符号S，T以及E分别用来表示总的、处理的以及误差的平方和与交叉积和
具体有：
一般
如何用协方差分析来对协变量的效应调节响应变量
利用最小二乘法可求得 的最小二乘估计是
对于线性模型
单因素模型
该模型的误差平方和
该模型的
误差平方和
其自由度为: an-a-1
所以:
假设不存在处理效应,即所有
则模型:
将是:
利用最小二乘法可求得 的最小二乘估计是
该模型的误差平方和
其自由度为: an-2
模型:
该模型的误差平方和
由于处理效应 而在平方和中的减少量
其自由度为: (an-2)-(an-a-1)=a-1
检验统计量:
若原假设成立,它服从F( a-1,an-a-1)分布,当F0＞ Fa( a-1,an-a-1) 时,以a显著水平否定
检验统计量:
若原假设成立,它服从F( 1,an-a-1)分布,当F ＞ Fa( a-1,an-a-1) 时,以a显著水平否定
可用下面统计量检验回归系数 的显著性
“调节”的方差分析的协方差分析
an-1
总和
an-a-1
误差
a-1
处理
1
回归
F 值
均方
自由度
平方和
方差来源
【引例】 ：测试一种合成纤维的抗拉强度．
三台不同的机器为纺织公司生产单丝纤维.研究者感兴趣于决定三台机器生产的纤维的抗断强度是否有差异。但是纤维的强度也受它的粗细大小影响，从每台机器上选取五根纤维样品的随机样本。每一样品的纤维强度（y ）和对应的直径（x）数据如表所示：
15
32
28
44
32
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21
34
30
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39
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40
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X
y
x
y
x
y
机器三
机器二
机器一
纤维的抗拉强度数据
假定抗断强度与直径之间是一线性关系是恰当的,则模型
不能否定零假设。即没有强有力的证据证明三台机器所生产的纤维的抗断强度有差异
假设
检验统计量
因为：
因此，抗断强度和直径之间存在线性关系，必需用协方差分析提供调节
计算已调节的的处理平均值：
从已经调整的各处理均值看，数值非常接近，说明协方差分析是必需的
