（项目管理）项目管理单双代
号网络图
例 1 将下图所示双代号网络图改画成单代号网络图。
双代号网络图
单代号网络图
例 2 比较例 1的两张网络图，说明其主要差别在哪里？
两种网络图的主要差别有以下两点：
1. 双代号网络图中的每一项工作都由两个对应的代号来表示；而单代号网络图中的每
一项工作则由一个独立的代号来表示，每一个节点都表示一项工作。
2. 双代号网络图中，工作间的逻辑关系可借助于虚工作(虚箭号)来表示，而在单代号
网络图中，工作间的逻辑关系则用箭号来表示，因此单代号网络图中不会出现虚箭号。
一幅单代号网络图中，只会出现两个虚设的工作节点，那就是表示计划开始的虚工作
节点和表示计划结束的虚工作节点。
例 3 下图为一单号网络图， 网络图各圆圈中横线上边的数字是工作代号，横线下边的
数字是工作持续时间。试用图上计算法计算各工作的最早可能开始时间 ESi、最迟必须
开始时间 LSi、总时差 TFi和局部时差 FFi，标记出关键线路并确定总工期。
解：根据题意用图算法推算出的各工作时间参数，见上图，关键线路用粗箭号表示。
该网络图的计划总工期为 11天。
例4 某工程的单代号网络如下图所示。试用表上计算法求出网络图中各工作的ESi、EFi、
LSi、LFi、TFi、和 FFi；确定关键工作并在图上说明关键线路；确定计划总工期(注：
下图中圆圈内横线上边为工作代号，横线下边为工作持续时间)。
解：用表算法推算了各工作的时间参数见下表。该网络图的关键线路共有 3条，它们
分别为：
计划总工期为 19天。
一、网络计划技术基本概念
主要内容 细化内容 知识要点
由节点和箭线组成，表示工作流程的有向、有序网状图形
网络图
分为双代号和单代号两种
虚工作既不消耗时间，也不消耗资源
双代号网络图中，虚箭线表示虚工作
网络图
虚工作
单代号网络图中，虚工作只能出现在起点或终点节点处
生产性工作之间由工艺过程决定
工艺关系
非生产性工作之间由工作程序决定
组织关系 因组织安排或(劳动力、原材料、施工机具等)调配需要
逻辑关系
具体表现 紧前工作、紧后工作、平行工作、先行工作、后续工作
线路 定义及表示方法
总持续时间最长的线路；不只一条；
关键线路
执行过程中会发生转移
线路、关键线路
和关键工作
关键工作 关键线路上的工作称为关键工作
二、网络图的绘制：知识点总结与归纳
主要内容 细化内容 知识要点
1.按照已定的逻辑关系绘制
2.严禁出现循环回路
3.箭线应保持自左向右的方向
4.严禁出现双向箭头和无箭头的连线
5.严禁出现没有箭尾节点和没有箭头节点的箭线
6.严禁在箭线上引入或引出箭线(可采用母线绘图法)
7.尽量避免箭线交叉(采用过桥法或指向处理法)
双代号网络图绘制规则
8.只有一个起点节点和终点节点
与双代号网络图绘制规则基本相同
有多项开始工作时，应增设一项虚拟工作(S)
网络图的绘制
单代号网络图绘制规则
有多项结束工作时，应增设一项虚拟工作(F)
三、网络计划时间参数的计算
（一）、网络计划时间参数的概念
表示方法
序号 参数名称 知识要点
双 单
1 持续时间 指一项工作从开始到完成的时间 Di-j Di
2 计算工期 根据网络计划时间参数计算而得到的工期 Tc
3 要求工期 是任务委托人所提出的指令性工期 Tr
4
工期
计划工期 指根据要求工期和计算工期所确定的作为实施目标的工期 Tp
5 最早开始时间 指在其所有紧前工作全部完成后，本工作有可能开始的最早时刻 ESi-j ESi
6 最早完成时间 指在其所有紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻 EFi-j EFi
7 最迟完成时间 在不影响整个任务按期完成的前提下，本工作必须完成的最迟时刻 LFi-j LFi
8 最迟开始时间 在不影响整个任务按期完成的前提下，本工作必须开始的最迟时刻 LSi-j LSi
9 总时差 在不影响总工期的前提下，本工作可以利用的机动时间 TFi-j TFi
10 自由时差 在不影响其紧后工作最早开始时间的前提下，本工作可以利用的机动时间 FFi-j FFi
11 节点的最早时间 在双代号网络计划中，以该节点为开始节点的各项工作的最早开始时间 ETi
12 节点的最迟时间 在双代号网络计划中，以该节点为完成节点的各项工作的最迟完成时间 LTj
13 时间间隔 指本工作的最早完成时间与其紧后工作最早开始时间之间可能存在的差值 LAGi-j
（二）、双代号网络计划时间参数的计算
双代号网络计划的时间参数既可以按工作计算，也可以按节点计算。
A．按工作计算法
所谓按工作计算法，就是以网络计划中的工作为对象，直接计算各项工作的时间参数。这些时间参
数包括：工作的最早开始时间和最早完成时间、工作的最迟开始时间和最迟完成时间、工作的总时差和
自由时差。此外，还应计算网络计划的计算工期。
为了简化计算，网络计划时间参数中的开始时间和完成时间都应以时间单位的终了时刻为标准。如
第 3天开始即是指第 3天终了(下班)时刻开始，实际上是第 4天上班时刻才开始；第 5天完成即是指第 5
天终了(下班)时刻完成。
下面是按工作计算法计算时间参数的过程。
1．计算工作的最早开始时间和最早完成时间
工作最早开始时间和最早完成时间的计算应从网络计划的起点节点开始，顺着箭线方向依次进行。
其计算步骤如下：
(1)以网络计划起点节点为开始节点的工作，当未规定其最早开始时间时，其最早开始时间为零。
(2)工作的最早完成时间可利用公式(3—3)进行计算：
EFi-J=ESi-j+Di—j (3—3)
(3)其他工作的最早开始时间应等于其紧前工作最早完成时间的最大值。
(4)网络计划的计算工期应等于以网络计划终点节点为完成节点的工作的最早完成时间的最大值。
2．确定网络计划的计划工期
网络计划的计划工期应按公式(3—1)或公式(3—2)确定。
①当已规定了要求工期时，计划工期不应超过要求工期，即：
Tp≤Tr (3—1)
②当未规定要求工期时，可令计划工期等于计算工期，即：
Tp=Tc (3—2)
3．计算工作的最迟完成时间和最迟开始时间
工作最迟完成时间和最迟开始时间的计算应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向依次进行。
其计算步骤如下：
(1)以网络计划终点节点为完成节点的工作，其最迟完成时间等于网络计划的计划工期。
LFi—n=Tp （3-6）
(2)工作的最迟开始时间可利用公式(3—7)进行计算：
LSi-j=LFi-j-Di-j （3-7）
(3)其他工作的最迟完成时间应等于其紧后工作最迟开始时间的最小值。
4．计算工作的总时差
工作的总时差等于该工作最迟完成时间与最早完成时间之差，或该工作最迟开始时间与最早开始时
间之差。
5.计算工作的自由时差
工作自由时差的计算应按以下两种情况分别考虑：
(1)对于有紧后工作的工作，其自由时差等于本工作之紧后工作最早开始时间减本工作最早完成时间
所得之差的最小值。
(2)对于无紧后工作的工作，也就是以网络计划终点节点为完成节点的工作，其自由时差等于计划工
期与本工作最早完成时间之差。
需要指出的是，对于网络计划中以终点节点为完成节点的工作，其自由时差与总时差相等。此外，
由于工作的自由时差是其总时差的构成部分，所以，当工作的总时差为零时，其自由时差必然为零，可
不必进行专门计算。
6.确定关键工作和关键线路
在网络计划中，总时差最小的工作为关键工作。特别地，当网络计划的计划工期等于计算工期时，
总时差为零的工作就是关键工作。
找出关键工作之后，将这些关键工作首尾相连，便构成从起点节点到终点节点的通路，位于该通路
上各项工作的持续时间总和最大，这条通路就是关键线路。在关键线路上可能有虚工作存在。
关键线路上各项工作的持续时间总和应等于网络计划的计算工期，这一特点也是判别关键线路是否
正确的准则。
在上述计算过程中，是将每项工作的六个时间参数均标注在图中，故称为六时标注法。
为使网络计划的图面更加简洁，在双代号网络计划中，除各项工作的持续时间以外，通常只需标注
两个最基本的时间参数——各项工作的最早开始时间和最迟开始时间即可，而工作的其他四个时间参数
均可根据工作的最早开始时间、最迟开始时间及持续时间导出。这种方法称为二时标注法。
B．按节点计算法
所谓按节点计算法，就是先计算网络计划中各个节点的最早时间和最迟时间，然后再据此计算各项
工作的时间参数和网络计划的计算工期。
下面是按节点计算法计算时间参数的过程。
1．计算节点的最早时间和最迟时间
(1)计算节点的最早时间
节点最早时间的计算应从网络计划的起点节点开始，顺着箭线方向依次进行。其计算步骤如下：
①网络计划起点节点，如未规定最早时间时，其值等于零。
②其他节点的最早时间应按公式(3—12)进行计算：
ETj=max{ETi+Di-j} (3-12)
③网络计划的计算工期等于网络计划终点节点的最早时间，即：
Tc=ETn (3—13)
ETn——网络计划终点节点 n的最早时间。
(2)确定网络计划的计划工期
网络计划的计划工期应按公式(3—1)或公式(3—2)确定。
(3)计算节点的最迟时间
节点最迟时间的计算应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向依次进行。其计算步骤如下：
①网络计划终点节点的最迟时间等于网络计划的计划工期，即；
LTn=Tp (3—15)
②其他节点的最迟时间应按公式(3—16)进行计算：
LTi=min{LTj-Di-j} (3-16)
2．根据节点的最早时间和最迟时间判定工作的六个时间参数
(1)工作的最早开始时间等于该工作开始节点的最早时间。
(2)工作的最早完成时间等于该工作开始节点的最早时间与其持续时间之和。
(3)工作的最迟完成时间等于该工作完成节点的最迟时间。即：
LFi-j=LTj (3—19)
(4)工作的最迟开始时间等于该工作完成节点的最迟时间与其持续时间之差，即：
LSi-j=LTj-Di-j (3-20)
(5)工作的总时差可根据公式(3—9)、公式(3—19)和公式(3-18)得到：
TFi-j=LFi-j-EFi-j =LTj-(ETi+Di-j) =LTj-ETi-Di-j (3-21)
由公式(3-21)可知，工作的总时差等于该工作完成节点的最迟时间减去该工作开始节点的最早时间
所得差值再减其持续时间。
(6)工作的自由时差等于该工作完成节点的最早时间减去该工作开始节点的最早时间所得差值再减
其持续时间。
特别需要注意的是，如果本工作与其各紧后工作之间存在虚工作时，其中的 ETj应为本工作紧后工
作开始节点的最早时间，而不是本工作完成节点的最早时间。
3．确定关键线路和关键工作
在双代号网络计划中，关键线路上的节点称为关键节点。关键工作两端的节点必为关键节点，但两
端为关键节点的工作不一定是关键工作。关键节点的最迟时间与最早时间的差值最小。特别地，当网络
计划的计划工期等于计算工期时，关键节点的最早时间与最迟时间必然相等。关键节点必然处在关键线
路上，但由关键节点组成的线路不一定是关键线路。
当利用关键节点判别关键线路和关键工作时，还要满足下列判别式：
ETi+Di-j=ETj 或 LTi+Di-j=LTj
如果两个关键节点之间的工作符合上述判别式，则该工作必然为关键工作，它应该在关键线路上。
否则，该工作就不是关键工作，关键线路也就不会从此处通过。
4．关键节点的特性
在双代号网络计划中，当计划工期等于计算工期时，关键节点具有以下一些特性，掌握好这些特性，
有助于确定工作的时间参数。
(1)开始节点和完成节点均为关键节点的工作，不一定是关键工作。
(2)以关键节点为完成节点的工作，其总时差和自由时差必然相等。
(3)当两个关键节点间有多项工作，且工作间的非关键节点无其他内向箭线和外向箭线时，则两个关
键节点间各项工作的总时差均相等。在这些工作中，除以关键节点为完成的节点的工作自由时差等于总
时差外，其余工作的自由时差均为零。
(4)当两个关键节点间有多项工作，且工作间的非关键节点有外向箭线而无其他内向箭线时，则两个
关键节点间各项工作的总时差不一定相等。在这些工作中，除以关键节点为完成的节点的工作自由时差
等于总时差外，其余工作的自由时差均为零。
C．标号法
标号法是—种快速寻求网络计算工期和关键线路的方法。它利用按节点计算法的基本原理，对网络
计划中的每—个节点进行标号，然后利用标号值确定网络计划的计算工期和关键线路。
下面是标号法的计算过程。
(1)网络计划起点节点的标号值为零。
(2)其他节点的标号值应根据公式(3-25)按节点编号从小到大的顺序逐个进行计算：
bj=max{bi+Di-j} (3-25)
当计算出节点的标号值后，应该用其标号值及其源节点对该节点进行双标号。所谓源节点，就是用
来确定本节点标号值的节点。如果源节点有多个，应将所有源节点标出。
(3)网络计划的计算工期就是网络计划终点节点的标号值。
(4)关键线路应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向按源节点确定。
例题精讲
例题 1：在工程双代号网络计划中，某项工作的最早完成时间是指其( )。
A．开始节点的最早时间与工作总时差之和
B．开始节点的最早时间与工作持续时间之和
C．完成节点的最迟时间与工作持续时间之差
D．完成节点的最迟时间与工作总时差之差
E．完成节点的最迟时间与工作自由时差之差
答案：BD。
例题 2：在某工程网络计划中，工作 M的最早开始时间和最迟开始时间分别为第 12天和第 15天，其持续
时间为 5天。工作 M有 3项紧后工作，它们的最早开始时间分别为第 21天、第 24天和第 28天，则工作
M的自由时差为( )天。
A．1 B．3 C．4 D．8
答案:C。
例题 3：在某工程网络计划中，工作 M的最早开始时间和最迟开始时间分别为第 15天和第 18天，其持续
时间为 7天。工作 M有 2项紧后工作，它们的最早开始时间分别为第 24天和第 26天，则工作 M的总时
差和自由时差( )天。
A．分别为 4和 3 B．均为 3
C．分别为 3和 2 D．均为 2
答案：C。
例题 4：在某工程双代号网络计划中，工作 M的最早开始时间为第 15天，其持续时间为 7天。该工作有
两项紧后工作，它们的最早开始时间分别为第 27天和第 30天，最迟开始时间分别为第 28天和第 33天，
则工作 M的总时差和自由时差( )天。
A．均为 5 B．分别为 6和 5
C．均为 6 D．分别为 11和 6
答案：B。
双代号网络图的绘制与计算
双代号网络图的组成
在双代号网络图中工作，节点和线路是其基本组成部分。
是以箭线表示工作
节点表示工作的开始与结束及工作间的连接点
工作两端节点的编号代表一项工作的网络图
一、工作
1、定义：是指把计划任务按实际需要的粗细程度划分而成子项目，是一项要消耗一定
时间，而且大多数情况下也要消耗人力、材料等的活动，是网络计划构成的最基本单元。（也
可称活动、工序或过程）
由于所在各自工程计划的规模不同，网络计划的作用不同，工作划分的粗细不同，大小
范围也不同。
如对一个规模较大的建设项目而言，一项工作可以表示一幢建筑物或构筑物所形成的单
位工程。
一个单位工程，既可划分成若干分部工程，也可划分成基本工作，如预制砼构件由支模
板、绑钢筋、浇砼等工作组成。
2、工作的分类（三种）
第一种：实工作：指既需占用时间，又需要消耗资源的大多数工作，如支模板、浇砼、
墙面抹灰等。
第二种：技术间歇时间：这类工作仅占用时间，一般不耗费资源，如抹灰后需干燥一段
时间，砼养护时间。
第三种：虚工作：指在网络图中既不占用时间，又耗费资源的人为的虚拟的工作。
在双代号网络图中，虚工作有一种不可被替代的重要作用，它可以准确地表示相邻工作
之间相互依存，相互制约的逻辑关系。
网络图中，箭尾表示工作的开始，箭头表示工作的完成。
工作名称标注在箭线上方
从事该项的持续时间标注于箭线下方
如箭线以垂直线的形式出现：
工作名称通常标注于箭线左方
其持续时间则填写于箭线的右方
箭线的箭头和箭尾分别填上圆圈，在圆圈内填 入符全规定的数字编号，箭头和箭尾的
两端圆圈内编号即可代表这项工作。
二、节点
1、定义：节点一般是用圆圈表示箭线之间的分离与交汇的连接点，是网络图的基本组
成部分。
2、作用：节点表示工作的结束和工作开始的瞬间，具有承上启下的街接作用，它不占
用时间，也不耗费资源
3、对于一项工作而言，箭尾节点称为开始节点，箭头节点称为结束节点。
4、节点分类：
起点节点
中间节点
终点节点
（一）是网络图中的第一个节点，表示一个工程（项目）的开始，特点如下：
（1）、在网络图诸节点中的编号最小的节点
（2）、无内向箭线（箭头指向该节点的箭线称为内向箭线或指向箭线）
（3）、无任何紧前工作和先行工作，在一个网络中，只应有一个起点，如一个网络图中，
出现两个及两个以上的无内向箭线的节点是错误的。
（二）终点节点
是网络图中最后一个节点，表示一个工程（项目）的完成，其特点如下：
（1）、无外向箭线（即箭尾自此节点发出的箭线称为外向箭线或发出箭线）
（2）、终点节点后无紧后工作和后续工作，而且其编号在整个网络图中为最大编号。
（三）中间节点
是指在一个网络图中除了起点节点和终点节点以外的其余节点，其特点如下：
（1）、节点编号小于终点节点而大于起点节点。
（2）、每个中间节点既有内向箭线又有外向箭线，既有紧前工作和先行工作，又有紧后
工和后继工作。
（3）、该种节点既表示某项工作开始的瞬间，又表示该项工作的各紧前工作结束的瞬间。
5、节点编号
在网络图中每个节点均有独自的编号，编号以阿拉伯数字编排，从起点节点开始向终点
节点从小到大集资编排。
编号的两种方法：
（1）根据节点编号的方向不同，可分为沿水平方向编号和沿垂直方向编号两种方式，
见图 3-5（P72）
（2）根据编号的数字是否连续，可分为连续编号法和辈宫续编号法。
注意：对于同一个网络图而言，不能有重复编号，对于每根箭线而言，其箭头编号一定
要大于箭尾编号，每个节点均有独自的编号。
三、线路
1、定义：网络图中的线路指的是在网络图中从起点节点沿箭线方向顺序通过一系列箭
线和节点而达到终点节点的通路。
一个完整的网络图就是若干条线路组合而成，每一条线路上各项工作都有为完成该工作
所需要的持续时间，而每条线路上各项工作的持续时间之和，也就是完成该条线路的计划工
期。
2、关键线路：是诸多线路，自始至终由关键工作组成 ，位于其上的各工作总的持续时
间最长的线路关键线路在网络图上宜用粗箭线，双箭线或彩色线较鲜明地标注，使其一目了
然。
3、次关键线路：总的持续时间短于关键线路却长于其他诸线路的线路称为次关键线路。
4、非关键线路：其余的线路均为非关键线路。
如图 3-8所示
关键线路在一个网络图上可能同时存在若干条，但至少有一条，关键线路不管有几条，
其持续时间一定相同，当然关键线路并非一成不变的，在一定条件下，关键线路和非关键线
路可以发生转化，由于技术上或组织上的原因，关键线路上各工作的总的持续时间可能提前，
或者次关键线路，乃至非关键线路上的工作可能出现较大的推迟，这就可能使关键线路产生
变化，原来的关键线路变成非关键线路，原来的非关键线路则变成关键线路。（如图 3-8）
四、其他基本术语
1、紧前工作：紧排在某工作之前的工作叫做该工作的紧前工作。
2、紧后工作：紧排在某工作之后的工作叫做该工作的紧后工作。
3、先行工作：自起点节点开始至某工作之前的同一条线路上的所有工作叫做该工作的
先行工作。
4、后继工作：自某工作之后至终点节点在同一条线路上的所有工作叫做该工作的后继
工作。
5、平行工作：可与某工作同时进行的工作叫该工作的平行工作。
§5-1 网络图的概念及其参数计算
一 网络图的基本概念：conception of network
※1 网络图：是一种表示整个计划中各道工序（或工作）的先后次序，相互逻辑关系和所需时间的网状矢线图。
从定义可以看出，网络图应该能够反映出各工序的施工顺序，相互关系。
例：现需要预制两片钢筋混凝土主梁、每片主梁的预制工作均有支模板、扎钢筋、浇混凝土三道工序，施工顺
序为：支模（a） 扎筋（b）浇混凝土（c）。将这个项目按先梁 1后梁 2的顺序绘制成网络图为：
从这个例子可以看出主梁 2的支模应在主梁 1支模完成之后，才能开工，而扎筋 2必须在扎筋 1和支模 2都完
成后，才能开始施工。表示出了支模 1、支模 2、扎筋 1和扎筋 2之间的相互逻辑关系。绘图时可用 a1、a2代
替支模 1和支模 2 。
※ 2 构成网络图的三要素：
（1）箭线（工序、工作）work
在网络图中，带箭头的线段，称箭线，可表示下列项目：
① 表示单位工程：如路线、隧道、桥梁等，绘制总网络图。
② 表示分部工程：如路线施工中的路面、路基、桥梁上、下部等，用于绘制分部网络图。
③ 表示具体工序：如墩台施工中的支模、扎筋、浇混凝土等，用于绘制局部网络图。
箭线表示的具体内容取决于网络图的祥略程度。
箭线代表整个工作的全过程，要消耗时间及各种资源，一般在网络图上表注的是消耗时间的数量。
（2）节点：前后两工作（序）的交点，表示工作的开始、结束和连接关系。是瞬间概念，不消耗时间和资源。
图中第一个节点，称始节点；最后一个节点称终节点；其它节点称中间节点。节点沿箭线由左到右从小到大。
a 一项工作中与箭尾衔接的节点，称工作的始节点。
一项工作中与箭头衔接的节点，称工作的终节点。
b 其它工作的箭头与某工作的始节点衔接，该工作称紧前工作。
其它工作的箭尾与某工作的终节点衔接，该工作称紧后工作。
①②：a为 b的紧前工作。②③b为 a的紧后工作。
图中用 i、j两个编号表示一个工作，称双代号。如用 i一个节点序号表示一项工作，则称单代号。在此先介
绍双代号网络图的绘制。
（3）线路：line
指网络图中从原始节点到结束节点之间可连通的线路。
a 两节点间的通路称线段。
b 需工作时间最长的线路，称关键线路。①②④⑤⑥
c位于关键线路上的工作称关键工作。
3虚箭线的运用：
从上面的图中大家可以看到一种虚箭线，它表示的是虚工作，是一项虚设的工作。其作用是为了正确的反映各
项工作之间的关系，虚工作即不占用时间也不消耗资源。
如上例中的虚工作仅表示扎筋 1和扎筋 2之间的关系。即扎筋 2不仅应支模 2后开始，同时也应在扎筋 1之后
才能开始。
又例：a的紧后是 c、d，b的紧后是 d。绘制网络关系图：
引入虚箭线表示 a、d的关系。同时要注意半约束关系的绘制方法
先绘制 a的紧后工序 c，b的紧后工序 d，然后运用虚箭线表示出 a和 d的关系。
两工作的前后约束关系不一样，不能画在一个始（或终）节点上。
c的紧前工作是 a、b，d的紧前工作是 b。
总结：两工作的前约束关系不一样，不能画在一个始节点上；
两工作的后约束关系不一样，不能画在一个终节点上。
两工作的前约束关系一样画在一个始节点上；
两个工作的后约束关系一样画在一个终节点上 。
二 网络图的绘制方法：
1 绘图规则：
（1）正确反映各工序之间的先后顺序和相互逻辑关系。
（2）一个网络图只能有一个始节点，一个终节点。
（3）一对节点间只能有一条箭线
（4）网络图中不允许出现闭合回路。
（5）网络图中不允许出现双箭线。
（6）两箭线相交时，宜采用过桥式。
2 网络图的绘制步骤：
(1)认真调查研究，熟悉施工图纸；
(2)制定施工方案，确定施工顺序；
(3)确定工作名称及其内容；
(4)计算各项工作的工程量；
(5)确定劳动力和施工机械需要量；
(6)确定各项工作的持续时间；
(7)计算各项网络时间参数；
(8)绘制网络计划图
(9)网络计划的优化；
(10)网络计划的执行、修改和调整。
3 绘图示例：
（1）两阶段流水作业图：
例：设有结构尺寸相同的涵洞两座，每座分为挖槽、砌基、按管洞口四道工序。
各工序的关系为：
※2）三段以上流水作业图：
3）综合施工网络图：一个网络图表示一个建设项目。
将这里的工序用分项工程或单位工程代替，并正确地绘出其逻辑关系。
练习：四段流水作业图。
某工程组织桩基、桥台、承台、主梁的施工。每结构有支模、扎筋、浇混凝土三道工序，绘制其施工网络
图。
作业：1 什么是网络图，为什么称双代号网络图，其特点及绘制规则是什么？2绘制四道工序的流水作业
网络图。
※三 网络图的参数计算 caculation of network parameter
1 关键线路及总工期：
持续时间最长的线路为关键线路。其持续的时间称总工期。用 t表示。下面我们开始确定一个项目的总工
期。
工作代号 a b c d e f g h
紧后工作 c d e f e f g h g h h - -
工作时间 1 5 3 2 6 5 5 3
首先根据逻辑关系绘制双代号网络图
寻找从始节点①至终节点⑥的线路。
①②③④⑤⑥ t=1+3+6+3=13
①②④⑥ t=1+2+5=8
①②④⑤⑥ t=1+2+3=6
①②③④⑥ t=1+3+6+5=15
①②③⑤⑥ t=1+3+5+3=12
①③④⑥ t=5+6+5=16
①③④⑤⑥ t=5+6+3=14
①③⑤⑥ t=5+5+3=13
可以看出关键线路是①③④⑥ t=16。这是计算网络图关键线路的方法之一，即从网络图的若干条线路中
找出工作时间最长的线路。但是这种计算方法容易产生漏线、出错。而实际设计中采用计算网络图的时间
参数的方法，确定其关键线路和总工期。
2 网络图的时间参数计算：
（1）工序最早可能开工时间 esij ：
一个工序具备了一定的工作条件，资源条件后，可以开始工作的最早时间。要求：必须在其所有紧前工作
都完成的基础上才能开始。
① 规则：
a 计算 es，应从网络图的始节点开始，顺箭线方向，由左向右至终节点。
b与网络图始节点相连的工序 es=0。
c esij 等于所有紧前工序最早可能开始时间 eshi ，加上 hi工序的工作时间 t hi ，取大值。即 esij=max｛eshi
+t hi ｝
② 计算示例：计算上图的工序最早开工时间。
es12=0 es13=0 es23=es12 +t 12 =0+1=1 es24=es23=1
es34=max｛es23 +t 23 es13 +t 13 ｝=max｛ 1+3=4 ，0+5=5｝=5
es35=es34=5
es46=max｛es24 +t 24 es34 +t 34｝=max｛1+2=3 ，6+5=11｝=11
es45=es46=11
es56=max｛es45 +t 45 es35 +t 35｝=max｛11+0=11，5+5=11｝=11
t= max｛es46 +t 46 es56 +t 56｝=max｛11+5=16，11+3=14｝=16
③总结：
esij计算为什么要取大值呢？因为紧后工序的开始，应在所有紧前工序都完成的基础上才能开始。应以紧
前工序中使用工作时间最长的工序为准，否则就不具备开工条件。
（2）工序的最早可能结束时间 efij：
efij=esij +t ij
ef12=0+1=1 ef13=0+5=5 ef23=1+3=4 ef24=1+2=3
ef34=5+6=11 ef35=5+5=10 ef46=11+5=16 ef45=11+0=11
ef56=11+3=14
（3）工序最迟必须结束时间 lfij：
指该工序不影响整个网络计划按期完成的工序结束时间。
①原则：
a lfij的计算从网络图的终节点开始，逆箭线方向自右向左由终节点至始节点。
b 与终节点相连的工序，以总工期 t作为工序最迟必须完成时间。
c lfij等于所有紧后工序的最迟必须结束时间 lfjk，减去 jk工序的工作时间 tjk，取小值。即：lfij=min｛lfjk-
tjk｝
②实例：
lf56=t=16 lf46= lf56=16 lf45=lf56- t56=16-3=13
lf35= lf56=13
lf34=min｛lf45- t45 lf46- t46｝=min｛13-0，16-5｝=11
lf24= lf34=11
lf23=min｛lf34- t34 lf35- t35｝=min｛11-6，13-5｝=5
lf12=min｛lf24- t24 lf23- t23｝=min｛11-2，5-3｝=2
lf13=min｛lf34- t34 lf35- t35｝=min｛11-6，13-5｝=5
③总结：
lfij的计算为什么要取小值，是为了保证最早开工的紧后工序，能按时开始工作。因此以最小值为准。
（4）工序最迟必须开始时间 lsij
不影响整个网络计划按期完成的工序开始时间。
lsij= lfij – tij
ls56= t – t56 =13 ls46= t – t46 =16-5=11 ls45= lf45 – t45=13
ls35= lf35 – t35=13-5=8 ls34= lf34 – t34=11-6=5
ls24= lf24 – t24=11-2=9 ls23= lf23 – t23=5-3=2
ls12= lf12 – t12=2-1=1
（5）工序总时差 tfij ：
不影响任何一项紧后工作的最迟必须开始时间条件下，该工作所拥有的最大机动时间。
tfij =lsij-esij=lfij-efij
tf12 =1 tf13=0 tf23 =1 tf24=8 tf34 =0
tf35=3 tf46 =0 tf56=2
在上面的计算中，总时差等于零的工序为关键工序，由关键工序组成的线路为关键线路。此为确定关键线路
的第二种方法。
（6）自由时差 ffij：
在不影响后续工作的最早开始时间的条件下，工序所拥有的机动时间。
ffij=esjk-efij=esjk-esij-tij
ff12=0 ff13=0 ff23=1 ff24=8 ff34=0 ff35=1
ff46=0 ff45=0 ff56=2
在对自由时差的计算可以看出，只要总时差 tf=0的工序其自由时差 ff必然为零。而相反自由时差为零的工序
其总时差却不一定为零。这是因为，自由时差是保证紧后工序最早开工所拥有的机动时间，而总时差是保证紧
后工作最迟开始所拥有的机动时间。
在上述的计算过程中，对每一个时间参数都列出了计算公式。这样做是很麻烦的，在公式记熟后，可直接在网
络图上进行其时间参数的计算。
一 网络图时间参数的图上计算法：
1 计算公式：
esij=max｛eshi+thi｝ efij=esij+tij tfij=lfij-efij=lsij-esij
lfij=min｛lfjk-tjk｝ lsij=lfij-tij ffij=esjk-esij-tij=esjk-efij
将 tf=0的工序，用双箭线标出，获得网络计划的关键线路。
※二施工组织方法的综合运用：
例：一条公路划分为ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ四各施工段，每个施工段又分为小桥路基、路面基层、路面面层三个
施工项目。组织三个施工队流水作业。进行最优排序，并按最优顺序绘制流水进度图，计算时间参数。
施工段工序 ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ
小桥路基 a 22 15 36 24
路面基层 b 15 18 18 15
路面面层 c 30 22 26 35
解：该工程为四施工段，三工序的项目，进行工序合并，应满足条件：tiamin≥tibmax 或 ticmin≥tibmax
依表中各工序工作时间可知：t2c=ticmin =22＞t2b=tibmax =18
可按约翰逊—贝尔曼法则进行工序合并和最优排序。
ⅰ ⅱ ⅳ ⅳ
a+b 37 33 54 39
b+c 45 40 44 50
t2（a+b）=timin =33 先行工序，排在最前施工，ⅱ为①。
t1（a+b）=timin =37 先行工序，排在第二施工，ⅰ为②。
t4（a+b）=timin =37 先行工序，排在第三施工，ⅳ为③，ⅲ为④。
获得最优施工顺序：ⅱ ⅰ ⅳ ⅲ
按最优施工顺序绘制其流水网络图，计算时间参数，确定关键线路及总工期。
三 两孔石拱桥的施工组织计划：
（一）施工方案及施工方法的确定：
1 施工方案：
（1）本项目为两孔石拱桥，下部应有两桥台、一桥墩。因此下部结构可划分出三个施工段：桥台 1、
桥墩、桥台 2。每个施工段又可划分为准备、挖基、砌基、砌墩台身四道工序。
（2）桥台完工后，依次砌筑两桥台的锥坡。
（3）两桥台均完工后，做上部结构。上部结构工程包括：搭拱架，砌拱圈、养生、做拱上建筑、落拱
架、拆拱架、制栏杆、做桥面等工程。
（4）上部结构的施工方案：为保证受力均衡，两孔拱圈同时施工。即搭拱架结束后，两孔拱圈同时砌
筑，之后同时养生。主拱圈合拢 30天拆除拱架。这样拱上建筑在拆除拱架前后各工作一段时
间，可分为拱上建筑 a、b。
2 施工方法：
（1）备料、准备：依实际情况确定。
（2）挖基：机械化施工。
（3）砌基：人工施工。
（4）砌墩台身：人工施工。
（5）砌锥坡：人工施工。
（6）拱架（搭、落、拆）：人工施工。
（7）拱上建筑：人工施工。
（8） 栏杆、桥面：半机械化施工。
（二）绘制网络图。见附页。
※四 网络图绘图技巧：
例：绘制下表双代号网络图。
工作代号 a b c d e f
紧后工作 d e f d e e f — — —
绘图说明：
1 a、b、c三项工作没有约束关系，因此为同时开始的三项工作。
2 a的紧后工序为 d、e、f和后面 b、c的约束关系重复可先不画。
3 b、c的紧后工序均有 e，可先不画，而先画不重复的工序 d、f。
4 用虚箭线画出 b、c与 e的关系。
5用虚箭线画出 a与 d、e、f的约束关系。
5-3 单代号网络图的绘制与计算
一单代号网络图的构图要素：
1 节点：表示一项具体的工作，有时间和资源的消耗。工作的名称、节点的编号和工作时间都标注在圆圈内。
2 箭线：表示工作间的逻辑关系，不消耗时间和资源。
3 代号：节点的编号，一个代号表示一项工作，箭头节点编号大于箭尾节点的编号。
二 绘图规则：
1 在网络图的开始和结束需增加虚拟的始节点和终节点。
2 不出现闭合回路。
3 不出现重复的编号，且后续编号要大于前导的编号。
4 除始节点和终节点外，其余各中间节点必须有向内和向外的箭线。
三 绘图步骤
1 列出逻辑关系。 2 计算相关参数。 3 绘制网络图。
绘图示例
工作代号 a b c d e f
紧后工作 d d、e e、f e - -
工作时间 3 2 2 2 4 6
四 时间参数的计算
1 工序的最早可能开工时间： esj=max{efi}
j工序的最早可能开工时间为，其紧前工序的最早可能完成时间的最大值。
2 工序的最早可能完成时间：efi=esi+ti
3 工序的最迟必须完成时间：
lfi=min{lsj}
i工序的最迟必须完成时间等于其后续工序的最迟必须开始时间的最小值。
4 工序的最迟必须开始时间：
lsi=lfi-ti
终节点的最迟必须完成时间为计划的总工期t。
5 工序总时差 tfi ：
不影响任何一项紧后工作的最迟必须开始时间条件下，该工作所拥有的最大机动时间。
tfi = lsi- esi
工序总时差的总结
在上面的计算中，总时差等于零的工序为关键工序，由关键工序组成的线路为关键线路。此为确定关键线路
的第二种方法。
6 自由时差 ffi：
在不影响后续工作的最早开始时间的条件下，工序所拥有的机动时间。
ffi= esj - efi
工自由时差的总结
在对自由时差的计算可以看出，只要总时差tf=0的工序其自由时差ff必然为零。而相反自由时差为零的工序其
总时差却不一定为零。这是因为，自由时差是保证紧后工序最早开工所拥有的机动时间，而总时差是保证紧后
工作最迟开始所拥有的机动时间。
工作代号 a b c d e f
紧后工作 c、d c、e d、e、f f f -
工作时间 2 4 5 4 6 3
§5-4 网络计划优化的概念
网络计划中用关键线路控制工期，利用时差进行网络计划的优化。
网络计划的优化：通过利用时差，不断改善网络计划的初始方案，在满足既定的条件下，按某一衡量指标（如
时间、成本、物资）来寻求最优方案。
类型：时间优化 时间—费用优化 资源优化
一 网络计划的时间优化：
如果通过对网络图时间参数的计算发现，网络计划的工期不能满足合同规定工期的要求，就要对网络计划进行
时间优化。同时时间是一种特殊的资源，为了使一个公路工程项目的投资能够早日发挥效益，尽可能的缩短其
建设周期，或者符合指令工期的要求，这是很重要的。
网络计划时间优化：调整初始网络计划，以缩短工期的过程。
在网络计划中，关键线路控制着任务的总工期，因此缩短工期的着眼点应是关键线路。但是采用硬性压缩关键
工作的持续时间的方法并不是好方法。在网络计划的时间优化中，缩短工期主要是通过调整工作组织措施来实
现的。
1将串联工作调整为平行工作。
如 ： 挖 基 a、 砌 基 备 料 b、 砌 基 c三 工 作 原 为 串 联 ， 可 调 整 为 a、 b 平 行 串 接 c。
2将串联工作调整为交叉工作。
如：某工程三个施工段，每个施工段分 a、b、c三道工序，原安排为：
t=60天
若要求 40天完成，则可将原串联的三工作交叉进行。
3 相应地推迟非关键工作的开始时间。
如：若某项目的原始计划安排如下：
但若上图中规定工期为 16天，可考虑将非关键工作 a的人员，转移至 b工作上来，使 b工作由原来的 15人干
10天，变成 45人干 4天。而 a工作在 b工作之后开始，由原来的 30人干 6天，变成 45人干 4天。调整后的
关键线路发生了变化，但总工期 t=16天，满足规定要求。
4相应地延长非关键线路中工作的工作时间。
如仍为上例，采用延长非关键线路上工序工作时间，将人力转移至关键线路上的关键工作中。以缩短总工期，
满足合同规定。可将 a工序的 30人抽 15人到 b工序，使 b工序由原来的 15人干 10天，变成 30人干 5天。a
工序由原来的 30人干 6天变成 15人干 12天。
5 从计划外增加资源。
从计划外增加资源供应，以加快关键工作，缩短总工期。
6循环法：步骤
（1） 确定初始网络计划的计划工期和关键线路。
（2） 将计划工期与指令工期比较，求出需要缩短的时间。
（3） 采用适当的优化措施压缩关键线路的长度，并求出网络计划新的关键线路和工期。
（4） 若调整后的工期符合规定要求，则优化结束，否则重复（3）直到符合要求为止。
某网络计划如图 4-27，规定工期 28天，用循环法进行优化。各工序可压缩的时间见表 4-8，表中未列的
工序均不能压缩。
表 4-8
工序 e f g h i j m
可压缩时间 1 2 1 3 2 1 1
解：1）对图 4-27进行计算知 b-e-h–k-m构成关键线路，工期为 33天。
图 4-27
压缩关键线路上可压缩的工序：h压缩 3天，e、m压缩 1天。原关键线路的工期变为 28天。
2）重新计算 4-27图，发现关键线路发生了变化，b-f-g-k-m成为了关键线路。工期为 31天，如图 4-28。
图 4-28
压缩关键线路上可压缩的工序：f压缩 2天，g压缩 1天。原关键线路的工期变为 28天。
3）重新计算 4-28图，发现关键线路发生了变化，b-e-i-m成为了关键线路。工期为 30天，如图 4-29。
图 4-29
压缩关键线路上可压缩的工序：i压缩 2天。原关键线路的工期变为 28天。
4）重新计算 4-29图，发现关键线路发生了变化，b-e-j-l成为了关键线路。工期为 29天，如图 4-30。
图 4-30
压缩关键线路上可压缩的工序：j压缩 1天。原关键线路的工期变为 28天。
5）压缩后的网络计划见图 4-31，总工期为 28天，但存在多条关键线路。
二 网络计划的时间—费用优化
公路工程项目的总费用包括直接费和间接费，直接费随着工期的缩短而增加，间接费随着工期的缩短而减少。
因此对一个项目来说，不能简单地说缩短工期，费用就减少，延长工期费用就增加。这需要对网络计划进行时
间—费用的优化。确定最低费用的最低工期。
1 时间与直接费的关系：
（1）最高直接费：工作的直接费增加到某一限值，
此时再增加多少直接费，也不能缩短工作时间。
此费用界限值为最高直接费。cs
（2）最低工期：不能再缩短的时间界限值。ts
（3）正常工期：最低直接费对应的工期。tn
（4）最低直接费：直接费—工期曲线的最低点所对应的费用。cn
c—t关系，可简化为 ab直线表示，单位时间费用变化率 e等于：
e=cs-cn/（tn-ts）
对于不同的工序，其费用变化率是不一样的，因此进行优化时应首先压缩关键线路上单位费用变化率最小的工
序，因为这样压缩一天工期，直接费增加的最少。
2 总费用最低的最优工期：
明确了计划的时间与直接费的关系后，可以得到一条直接费曲线，如果知道了间接费曲线，则用图解法可求的
总费用曲线。总费用曲线的最低点就是项目的最优方案。
3 网络计划时间—费用优化的步骤：
（1）按正常工期编制网络计划，并计算计划的工期和完成计划的直接费。
（2）列出构成整个计划的各项工作在正常工期和最短工期时的直接费，以及缩短单位时间所增加的费用，即
单位时间费用变化率。
（3）根据费用最小原则，找出关键工作中单位时间费用变化率最小的工序首先予以压缩。这样使直接费增加
的最少。
（4）计算加快某关键工作后，计划的总工期和直接费，并重新确定关键线路。
（5）重复（3）、（4）的内容，直到网络计划中关键线路上的工序都达到最短持续时间不能再压缩为止。
（6）根据以上计算结果可以得到一条直接费曲线，如果间接费曲线已知，叠加直接费与间接费曲线得到总费
用曲线。
（7）总费用曲线上的最低点所对应的工期，就是整个项目的最优工期。
以上时间—费用优化方法，也适用于总网络图、分部网络图。
例：某网络计划，各工序直接费与工作时间如下表。间接费 c=17t。求 t=17天时，直接费优化方案和总费用
最低优化方案。
正常工期 最短工期工作
时间（天） 费用（千元） 时间（天） 费用（千元）
费用变化率千
元/天
a 4 21 3 28 7
b 8 40 6 56 8
c 6 50 4 60 5
d 9 54 7 60 3
e 4 50 1 110 20
f 5 15 4 24 9
g 3 15 3 15 不能压缩
h 7 60 6 75 15
总费用 305 428
解：被压缩工序应符号一下条件：
是关键线路上的工作；t不小于最短工期；e最小。
（1）压缩 a-c-f-h线路中 c工序 2天，直接费变为 315，总工期 t=20天。同时另外两条 a-d-h，b-f-h的工
期也为 20天即也成为关键线路。
（2）将三条关键线路上工序的单位时间费用变化率列于下表：
一 二 三
工作 e 工作 e 工作 e
a 7 a 7 b 8
c 5 d 3 f 9
f 9 h 15 h 15
h 15
（3）三条线路同时压缩
ⅰa、f、h各能压缩一天增加费用 7+9+15=31千元。
c=315+31=346千元
ⅱa压缩 1天，d压缩 2天，增加费用 7+3×2=13千元
c=315+13=3328千元
ⅲ b、f、h各压缩一条增加费用 8+9+15=32千元
c=315+32=347千元
（4）综上分析：最终压缩方案为 a、b、d、f、h各 1天，直接费为 315+7+8+9+15+3=357千元，工期为 17天
符号要求。
（5）如果把网络计划中每一道工序均压缩到最短，则直接费为
（6）357+e：3×20+b：1×18+d：1×3=428千元，总工期 t=3+4+4+6=17天（a-c-f-h）说明尽管将各工序均压缩
至最短，但工期并没有缩短，而费用却增加了。这就是说，将每一道工序都压缩至最短不一定是最优的，
同时也说明等工期压缩至一定界限时即使再投入资金工期也不会缩短了。
（7）由时间—费用关系绘制直接费—工期曲线，与间接费 c=10t叠加得到总费用曲线，由总费用曲线知当 t=20
天时总费用最低为 515千元。因而该计划的总费用最低的优化方案是 t=20天，c=515千元。
三 网络计划的资源优化：
1 资源优化的意义和目的：
(1) 意义：一项计划要按期完成往往会受到资源的限制，再实际任务的计划中，还需要考虑实现这项计划
的客观物质条件。一项好的工程计划安排，一定要合理的使用现有的资源。如果工作进度安排的不得当，就会
正在计划的某些阶段出现对资源需求的高峰。而在另一些阶段则出现资源需求低谷。这种高峰与低谷的存在是
一种资源没有得到很好利用的浪费现象。
(2) 目的：合理地安排工作进度，解决资源的供需矛盾或实现资源的均衡利用。
2 资源优化的方法：
(1) 工期限定，资源消耗均衡：
目标：在工期限定的条件下，合理安排工作进度，实现资源的均衡利用。
优化步骤如下：
① 绘制时标网络图。
② 绘制资源图。
③ 求资源高峰值 rm、平均值 r 平均、不均衡系数 k
④ 调整各工序的开竣工时间,使物资供应均衡。
⑤ 计算调整后的资源高峰值 rm、平均值 r 平均、不均衡系数 k
⑥ 绘制调整后的网络计划图。
(2)资源有限,工期最短:
目标:在资源有限的情况下,安排工作进度,力求使工期增加最少。
资源调整步骤：
绘制时标网络图；绘制资源需要量图；找出超过规定值的时间；调整相关工序的开竣工时间，使满足资源限制
的条件，而工期又为最短。绘制调整后的网络计划图。
