第 7 章 参数估计
引例
基金投资服务公司 FIS（Fund Investment Services）成立于 2005 年，旨在为市场基金投
资者提供专业的咨询服务和指导。货币型基金是主要投资于债券、央行票据、回购等安全性
极高的短期金融品种，流动性较好、资本安全性较高，得到市场的青睐。为了提供更好的服
务并吸引新客户，FIS 公司每日跟踪货币型基金交易数据，并做一份投资分析报告。客户经
理从目前市场上 109 种货币型基金中随机抽取了 40 种进行调查，并分别纪录了每个基金今
天和昨天的收益情况。调查数据如下表所示。其中，万份单位收益是投资 1 万元当日获利
（单位：元），反映单日收益情况；7 日年平均收益率是一周的年化收益率。在投资报告中，
客户经理将对数据进行一些初步分析，对货币型基金的收益进行估计，并比较收益变化情况。
表 7-1 货币型基金收益情况
2012-8-23 2012-8-22
序号 基金代码 基金简称
万份单位收益 7 日年平均收益率% 万份单位收益 7 日年平均收益率%
1 50003 博时现金收益货币基金
2 80011 长盛货币基金
3 90005 大成货币 A 基金
4 91005 大成货币 B 基金
5 163303 大摩货币基金
6 583001 东吴货币 A 基金
7 100028 富国天时货币 B 基金
8 482002 工银货币基金
9 20007 国泰货币基金
10 121011 国投瑞银货币 A 基金
11 240006 华宝现金宝货币 A 基金
12 240007 华宝现金宝货币 B 基金
13 410002 华富货币基金
14 460006 华泰柏瑞货币 A 基金
… …
比较各个基金收益水平最简单、最直观的计算所有样本基金的平均收益和平均收益率。
样本平均数越大意味着从平均意义上来讲，该基金的收益水平可能更高。平均数计算简单、
方便，但仅利用了非常有限的样本信息，并且可能会掩盖极端收益蕴含的投资风险。根据前
面的知识，统计数据除了集中趋势还有离中趋势，如果数据的差异大，那么平均数的代表性
降低，投资风险会增加。投资者既需要知道货币型基金的收益情况，也需要知道统计估计存
在的风险或者可能的误差。抽样估计正是建在抽样调查的基础上，利用样本资料计算样本统
计量，据以推算总体相应数量特征的一种统计分析方法。
本章小结
1.点估计和区间估计是常用的两种参数估计方法。矩估计和极大似然估计是常用的点估
计法。点估计的优良性标准主要包括无偏性、有效性和一致性。
2．区间估计是在一定概率把握程度下，构造待估参数可能的区间范围作为未知参数的
估计。与点估计相比，区间估计得到的是可能包括总体未知参数的区间，并且可以说明估计
的把握程度与精确程度。
3．区间估计常用的分布有正态分布、t 分布、 分布等。区间估计的关键在于正确构
造样本估计量并找出其分布。特别是，同一总体参数的估计在大样本和小样本条件下可能有
不同统计量和抽样分布。
4．抽样平均误差是总体未知参数估计量的标准差，在给定置信水平条件下，可以通过
抽样平均误差求出抽样极限误差。必要抽样数目是为使抽样极限误差不超过给定允许范围至
少应该抽取的样本单位数，可以根据抽样极限误差和抽样数目的关系来确定。
5．单随机抽样、分层抽样、等距抽样、整群抽样和多阶段抽样是常见的几种随机抽样
组织方式。不同的抽样组织方式的抽样误差计算方法并不一样。科学设计抽样框，合理选择
抽样组织方式是减少抽样误差的重要途径。
基本知识梳理
基本知识点 含义或公式
样本量 样本所包含的个体数目 n
总体参数
（总体指标）
反映总体数量特征的指标，是抽样推断中未知的、待推断的对象。
估计量 用于估计总体参数的统计量称为估计量。
抽样误差
由于抽样的随机性而产生的估计量与被估计参数（或样本指标与相应
总体指标）之间的代表性误差。
抽样平均误差
（无偏）估计量的标准差，用以衡量所有可能样本抽样误差的平均程
度；估计量的方差称为抽样方差。
抽样极限误差
（误差范围）△
一定概率（置信度）下抽样误差的可能范围，也称允许误差。
矩估计
用样本矩替代总体矩，通过求解
，得到未知参数的矩估计。样本均值
和样本方差是总体均值和方差的矩估计量。
极大似然估计 通过似然函数最大化来得到总体参数的估计量，建立在概率最大化的
2
kgAm gkg ,...2,1,,...,ˆ 1
思想基础之上。
点估计的评判标准 无偏性、有效性和一致性。
区间估计
以一定的置信度根据样本得出的很可能包含总体参数真实值的区间
范围，估计结果是数轴上的一个区间。
置信限
置信区间的端点，包括置信下限（区间的最小值）和置信上限（区间
的最大值）。
置信度
（1－α）
在大量重复类似抽样所构造的置信区间中，有 100（1－α）%的区间
包含了总体参数，用以说明区间估计的可靠程度。
抽样框
力图包括目标总体全部抽样单位的列表或框架。它是实施抽样的基础，
影响抽样的随机性和抽样效果。主要有总体单位名单框、区域框、时
间表等形式。
重复抽样
（有放回抽样）
从总体的Ｎ个单位中抽取一个容量为 n 的样本，每次抽出一个单位后，
再将其放回总体中参加下一次抽取，这样连续抽 n 次。
不重复抽样
（不放回抽样）
抽中单位不再放回总体中，下一个样本单位只能从余下的总体单位中
抽取。
简单随机抽样
（纯随机抽样）
从总体中按随机原则抽取 n 个个体构成样本，每个个体是否被抽中是
独立的且可能性相同，所得到的样本称为简单随机样本。
分层抽样
先将总体单位按某一个标志分层，然后分别在各层中随机抽取一定数
量的个体构成样本。
等距抽样
先将总体单位按某一标志（变量）排队，然后按固定间隔距离依次抽
取 n 个单位（或样本点）构成样本。
整群抽样 先将总体划分为 R 个群，然后随机抽出 r 个群构成样本
多阶段抽样
先将总体划分为 R 个群，从群中随机抽取 群，再从 r 群中随机抽取
个子群构成下一级抽样单位，依次类推。
简单随机抽样 ;
等比例分层抽样 ，均值
整群抽样 ，其中
抽
样
平
均
误
差
（
标
准
误
差
）
成数
（将上述公式 中的 和方差 σ2 分别换为成数及其对应方差
P(1-P)即可
正态总体，总体方差已知
均值
正态总体，总体方差未知
样
极
限
误
差
成数 大样本
均值 置
信
区
间
成数
r
m
nnX
2
)1
2
N
n
nX
－（
nX
2
)1
2
N
n
nX
（
)1(
2
R
r
r
x
X
R
XX
i
i
X
2
2
)(
p x X
n
ZZ XX
2/2/
n
S
ntX )1(2/
n
PP
ZZ pp
)1(
2/2/
),( XX XX
),( pp pp
方差 正态总体
重复抽样
，
简单随机的必要样
本量
不重复抽样 ，
练习题
一、单项选择题（在 4 个备选答案中选出 1 个正确答案）
1.对总体参数进行抽样估计的首要前提是必须（ ）
A.事先对总体进行初步分析 B.按随机原则抽取样本单位
C.抽取大量的调查单位 D.保证调查资料的准确性、及时性
2. 抽样误差之所以产生是由于（ ）
A. 破坏了随机抽样的原则 B. 抽样取的样本不足以完全代表总体
C. 破坏了抽样的系统 D.调查人员的素质
，X2,…,Xn是来自总体的随机样本，在下列样本统计量中，总体均值的无偏估计量是（ ）
A. B. C. D.
4.使用统计量 估计总体均值置信区间的条件是（ ）
A.总体方差已知 B.总体为正态分布且总体方差已知
C.大样本 D.总体为正态分布但总体方差未知
5. 设总体 ，其中 未知，则总体均值 的置信区间长度 与
的关系是（ ）
A.当 缩小时， 缩短 B.当 缩小时， 增大
C.当 缩小时， 不变 D. 以上说法都不变
6.一定置信度下的抽样极限误差是指用样本指标估计总体指标时产生的抽样误差的（ ）
A.实际最大值 B.实际最小值 C.可能范围 D.实际范围
7. 如果总体服从正态分布，但总体均值和方差未知，样本量为n，则用于构造总体方差置信
区间的随机变量的分布是（ ）。
A. N(0，1) (μ，σ2)
）（
）（
，
1
1
)1(
)1(
2
21
2
2
2
2
n
Sn
n
Sn
2
22
2/
X
Z
n
2
2
2/ )1(
p
PPZ
n
22
2/
2
22
2/
ZN
NZ
n
X
)1(
)1(
2
2/
2
2
2/
PPZN
NPPZ
n
p
2
21 XX
2
1X
3
21 XX
3
2X
n/S
X
t
),(~ 2NX 2 L 1
1 L 1 L
1 L
C. t(n-1） D.
8.某企业最近几批产品的优质品率分别为88％、85％、91％，为了对下一批产品的优质品率
进行抽样检验，确定必要的抽样数目时,Ｐ应选（ ）
A. 85％ B. C. 88％ D .90％
9. 设总体 ，且 σ2 已知，现在以置信度 估计总体均值 μ，下列做法中一
定能使估计更精确的是( ).
A.提高置信度 ，增加样本容量 B.提高置信度 ，减少样本容量
C.降低置信度 ，增加样本容量 D.降低置信度 ，减少样本容量
10. 在整群抽样中，影响抽样平均误差的一个重要因素是（ ）
A.总方差 B.群内方差
C.群间方差 D.各群方差平均数
二、多项选择题（在 5 个备选答案中选择 2-5 个正确答案）
1. 影响抽样极限误差大小的因素有（ ）
A.调查人员的素质 B.样本容量 C.抽样推断的可靠度
D.抽样组织方式 E.总体各单位标志值的差异程度
2．若 都是总体参数θ的无偏估计量，正确说法是（ ）
A. ,
B.若 ，则 更有效
C. ,
D. a,b均为常数，且a+b=1，则( )也是θ的无偏估计量
E. 也是 θ2 的无偏估计量
3．某批产品共计有4000件，为了了解这批产品的质量，从中随机抽取200件进行质量检验，
发现其中有30件不合格。根据抽样结果进行推断，下列说法正确的有（ ）
A. n=200 B. n=30
C.总体合格率是一个估计量 D.样本合格率是一个统计量
E置信度为时，估计合格率的允许误差为％
4．计算抽样平均误差时，由于总体方差是未知的，通常用下列代替方法（ ）。
A.大样本条件下，可用未修正样本方差代替
)1(2 n
88% 85% 91%
3
),(~ 2NX 1
1 1
1 1
21 ˆˆ ，
1̂ 2ˆ
)ˆ()ˆ( 21 DD
21 ˆˆ 比
0)ˆ( 1 E 0)ˆ( 2 E
21
ˆˆ ba
2
1̂
B.小样本条件下，用样本方差代替
C.用以前同类调查的总体方差代替
D.有多个参考数值时，应取其平均数代替
E.对于成数，有多个参考数值时，应取其中最接近的数值来计算
5．采用重复抽样方法对总体均值作估计，当其他条件不变时 ( )
A.极限误差缩小 1/3，必要样本容量为原来的 倍
B.极限误差缩小 1/3，必要样本容量增加原来的 倍
C.极限误差扩大一倍，必要样本容量为原来的 1/4
D.总体的方差越大，所需样本容量也大
E．概率把握度越大，所需样本容量也大
三、判断分析题（判断正误，并简要说明理由）
1.以样本方差S2对正态总体方差进行区间估计时，其双侧置信区间通常不是一个以S2为中心
的对称区间。
2. ,则 是 的无偏估计量。
3．根据已往的经验，某乡农户的年收入分布曲线是一个严重偏斜的非对称曲线。现随机抽
取 25 户进行调查，他们的户均年收入为 13200 元。为了估计该乡农户的户均年收入，能否
根据上述数据求得一个置信度为 95％的置信区间？为什么？
4．参数估计的抽样误差可以计算和控制。
四 、简答题
1．何谓点估计与区间估计，它们各有哪些优缺点？
2．矩估计的理论依据是什么？如果 是总体未知参数 的矩估计量，那么 一定是
的矩估计量吗？试举例说明。
3.甲乙两个地区分别有高中一年级学生5000人，7500人，为了测试他们的视力，从甲乙两个
地区各随机抽取500名高一学生进行测试。在其他条件相同的情况下，两个地区估计结果的
精度会有较大差异吗？为什么？
4．为了解某城市巴士广告的播放效果，调查人员计划对某天乘坐巴士的乘客抽取 100 人进
行随机抽样调查，请根据学过的知识，设计抽样框，并说明用哪种抽样组织方式更恰当？
五、计算题
1 ． 设 是 从 均 值 为 ， 方 差 为 的 总 体 中 随 机 抽 出 的 样 本 ， 令 估 计 量
0)ˆ( E ̂
̂ ̂h h
nXX ,,1
2
，要求：
（1）确定 ，使得 是 的无偏估计。
（2）确定 ，使 是 的无偏并且有效估计。
2. 某企业为员工每人办理了一张信用卡，为了解该企业员工信用卡的使用情况，银行
以信用卡卡号大小为序，每隔 50 号抽取一张卡，共抽取出 200 张卡，月消费情况如下：
月消费 人数
1000 以下 15
1000~2000 60
2000~3000 85
3000~4000 30
4000 以上 10
以 %的概率分别估计员工信用卡月均消费金额和月消费在 3000 元以上的员工比
例。
3.对某地区农业劳动力在某个季节的现金收入进行抽样调查，调查人数为 400 人，样
本均值为 1200 元，样本标准差为 200 元。若根据此样本信息构造总体平均收入的一个置信
区间为（1180，1220），另一个置信区间为（1190，1210），试问这两个的置信度各有多大？
4.对某地区农户收入增长情况进行不重复的等比例分层抽样，抽样比例为 3％，按影响
收入增长的主要因素将全部农户划分为三类，各类的有关数据如下表：
类别 农户总数（户） 样本均值（元） 样本方差
甲 500 700 3240
乙 1000 900 3800
丙 1500 1200 3090
要求：（1）对该地区农户收入增长的总体均值进行点估计；
（2）求抽样平均误差。
（3）如果对该总体采用的不是等比例分层抽样，而是简单随机抽样，抽取的样
本量不变，则抽样平均误差又是多少？
六．案例分析
某公司有 A、B 两个工厂生产同样产品。某日从两个工厂各随机抽取 20 名工人进行观
察。为了提高工人的劳动效率，不久 B 厂实施了一项改革，改革后又进行了一次调查。被
调查工人的产量（单位：件）见下表（B 厂同一序号的产量是同一个工人改革前后的产
量）：
序号 A 厂 B 厂 改革后 B 厂 序号 A 厂 B 厂 改革后 B 厂
1 34 15 14 11 25 15 15
2 14 31 34 12 9 6 9
3 35 26 23 13 33 27 35
4 11 5 9 14 24 15 20
5 30 19 24 15 14 29 36
6 19 33 29 16 11 12 17
n
i
ii XaT
1
ia T
ia T
Commented [m1]: 这个区间似乎不对？
7 21 24 28 17 21 28 25
8 13 9 15 18 31 22 21
9 36 12 20 19 18 10 14
10 17 19 24 20 19 23 31
分析要求与提示：
对这两个工厂及全公司的工人劳动效率进行分析。要求分析内容至少应该包括：
（1）对样本数据进行描述性分析；
（2）利用置信区间对有关总体的情况进行推断；
（3）对 B 厂实行改革的效果作出评价。
