第九章 梁的弯曲刚度
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第九章 梁的弯曲刚度
概述
第一节 挠度和转角
第二节 挠曲线近似微分方程
第三节 用积分法求梁的位移
第四节 用叠加法求梁的位移
第五节 梁的刚度计算
第六节 简单超静定梁
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概述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的： ①对梁做刚度校核
②解超静定梁
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一、基本概念
1. 挠曲线：梁变形后，轴线变为
光滑曲线，该曲线称
为挠曲线。
2. 挠度：梁上任意横截面的形心
沿垂直于x轴线方向的线
位移，称为挠度，用y
表示。与y轴同向为正，
反向为负。
3. 转角：梁横截面相对于变形前初始位置绕中性轴所转过的角度,
称为转角，用θ表示。逆时针转角为正，反向为负。
挠曲线表示为 y=f(x)
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第一 节 挠度和转角
y
x
F
l
x
A
C
B
B′
C′
y
θ
ρ(x)
θ
二、挠度y与转角θ的关系
工程中，梁的变形很小，tanθ≈θ
即
表明：梁上任一横截面的转角等于该截面处
的挠度对x坐标的一阶导数。
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dx
dy
=
q
=
dy
dx
q
tan
y
x
F
l
x
A
C
B
B′
C′
y
θ
ρ(x)
θ
——挠曲线近似微分方程
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第二节 挠曲线近似微分方程
2
0
<
0
0
O
y
x
2
2
>
>
M
dx
y
d
2
0
<
M
dx
y
d
)
Z
EI
x
M
y
=
Þ
'
(
'
'
Z
(
y
)
EI
x
M
=
±
\
'
'
'
'
'
1
(
)
(
±
)
'
2
(
)
2
3
1
y
x
y
y
±
=
Þ
+
r
1
x
=
r
(
)
x
M
EI
Z
=
1
)
(
x
r
1
EI
M
Z
Þ
=
r
一、微分方程的积分
工程中常用等截面直梁，弯曲刚度EIZ（或简写成EI）为常量
挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIy″=M(x)
积分一次得角方程
再积分一次得挠曲线方程
C、D均为积分常数
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第三节 用积分法求梁的位移
D
Cx
dxdx
(
)
x
EIy
=
ò
ò
M
+
+
=
(
)
C
dx
x
M
EI
+
=
ò
q
EIy
'
x=0，yA=0， θA=0
二、积分常数的确定
约束条件：x=0，yA=0，x=l，yB=0
连续条件：x1=x2=xc，yc左=yc右
光滑条件： x1 =x2=xc， θc左= θc右
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例1 已知：EI、l、F求梁的最大挠度和最大转角。
解：①建立坐标系并列弯矩方程
②建立挠曲线微分方程并积分
当x=0，θA=0，yA=0， ∴C=D=0
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(
-
x
l
(
)
)
F
x
M
-
=
EIy
F
(
-
=
x
(
)
l
Fl
Fx
-
=
-
M
=
)
x
"
D
Cx
lx
F
x
F
EIy
+
+
-
=
2
3
2
6
EIy
=
'
=
EI
F
C
Flx
x
+
-
2
2
q
A
B
F
x
x
l
y
转角方程
挠曲线方程
最大转角
最大挠度
A
B
F
x
y
x
l
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Fx
EI
2
x
2
)
(
l
-
=
q
l
(
)
x
3
-
EI
Fx
y
6
2
=
B
Fl
EI
2
2
max
-
=
=
q
q
y
y
B
max
-
Fl
EI
3
3
=
=
F
y
A
C
x1
x2
x
B
FA
FB
2
l
2
l
例2 已知：F、EI、l建立梁的挠曲线方程和转角方程。
解：①建立坐标系并列弯矩方程
②分段建立挠曲线微分方程并积分
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(
)
2
F
l
l
ø
2
ö
è
æ
-
-
=
ø
ö
è
æ
-
-
=
2
2
2
2
x
F
2
2
Fx
x
F
x
x
M
A
1
1
(
)
=
=
2
1
Fx
x
F
x
M
A
=
=
2
F
F
F
A
B
D
x
1
1
1
1
C
3
1
12
Fx
EIy
+
+
=
)
1
2
Fx
(
1
x
M
1
"
EIy
=
=
1
'
1
C
2
1
4
Fx
EIy
EI
+
=
=
q
1
③确定积分常数
F
y
A
C
x1
x2
x
B
FA
FB
2
l
2
l
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2
2
2
D
x
C
+
+
2
3
2
2
l
x
2
12
3
Fx
EIy
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
6
F
-
=
x
2
2
2
4
C
2
l
2
F
2
2
Fx
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
2
EI
2
EIy
'
=
=
q
(
÷
)
2
"
2
x
M
EIy
=
=
2
x
F
ø
ö
ç
è
æ
-
-
l
2
Fx
2
2
2
0
l
2
2
1
1
0
,
;
0
,
y
x
y
x
=
=
=
=
2
1
2
1
,
y
y
x
x
=
=
=
q
2
l
1
=
,
q
代入相应方程得
0
EI
Fl
C
C
D
D
16
,
2
2
1
2
1
-
=
=
=
=
④确定挠曲线和转角方程
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ç
è
æ
£
£
0
1
ø
ö
2
l
x
x
2
1
(
)
2
1
1
3
4
48
l
EI
Fx
y
-
=
-
2
1
)
l
x
AC段
(
2
1
4
16
EI
F
=
q
ø
ö
£
£
l
x
2
ç
è
æ
l
2
(
-
)
x
)
EI
x
8
CB段
l
F
2
2
2
EI
6
3
÷
ø
ö
l
2
x
2
ç
F
è
æ
-
y
2
EI
Fx
48
2
x
3
(
l
4
2
2
2
-
=
(
)
l
4
2
2
2
-
-
F
EI
16
2
=
q
①叠加法：将梁上所加的复杂载荷分解为几种简单载荷，
然后利用位移表中的结果，分别求出各简单载荷单独作
用下梁上同一位置处的挠度和转角，再将它们的代数值
分别相加，最后得出复杂载荷作用下梁的挠度和转角。
②适用条件：力和位移的线性关系只有在小变形和弹性范
围内加载这两个前提下才成立，即为叠加法的适用条件。
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第四节 用叠加法求梁的位移
例3 用叠加法求A点转角和C点的挠度
解：①载荷分解
②查位移表求简单载荷的位移
③叠加
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,
48
3
EI
Fl
y
cF
-
=
,
384
5
4
EI
ql
y
cq
-
=
EI
Fl
AF
16
2
-
=
q
EI
ql
Aq
24
3
-
=
q
EI
Fl
EI
ql
EI
Fl
EI
ql
y
y
y
AF
Aq
A
CF
Cq
C
16
24
48
384
5
2
3
3
4
-
-
=
+
=
-
-
=
+
=
q
q
q
例4 用叠加法求最大挠度和最大转角
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y
2
y
y
C
B
+
=
2
max
y
y
y
B
1
B
B
+
=
=
2
l
2
B
.
q
B
max
2
B
1
B
q
q
q
q
+
=
=
例5 结构形式叠加（逐段刚化法）
y=y1+y2
2
l
2
l
A
B
θmax
ymax
x
y
C
q
C
y
x
y1
A
q
B
C
y
x
刚化AC段
B
q
A
C
y
x
刚化BC段
等价
等价
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B
y
x
2
l
q
F
.
=
2
8
1
ql
M
=
y2
=
F
+
l1
l2
A
B
C
刚化AC段
F
l1
l2
A
B
C
刚化BC段
等价
等价
y1
B
C
F
l2
x
y
x
A
y
F
l1
l2
B
C
y
y2
F
l1
l2
A
B
C
M
x
y
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y=y1+y2
一、梁的刚度计算
在工程设计中，对于受弯构件的刚度要求，就是
根据不同的技术需要，限制其最大挠度和转角（或特
定截面的挠度和转角）不超过规定的数值。
式中，[y]——许用挠度；[θ]——许用转角
ymax≤[ y ]
θmax≤[θ ]
刚度准则或刚度条件
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第五节 梁的刚度计算
例7 已知：q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，[σ]=118GPa
解：①按强度设计
h=2b=166mm
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试设计截面尺寸（h=26）
[y]=
250
l
（kN·m）
45
=
W
Z
3
3
2
6
2
b
bh
=
=
2
3
10
2
1
2
ql
´
´
=
2
1
max
M
=
[
]
max
2
3
s
M
b
³
得
[
]
max
max
s
s
W
M
Z
£
=
由
=83mm
M图
l
A
q
B
b
h
②按刚度计算
取b=90mm，h=180mm
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8
4
max
EI
ql
y
y
B
3
2
12
4
3
b
bh
I
=
=
=
=
根据刚度条件
]
[
有
,
max
y
y
£
250
8
4
l
EI
ql
£
b
8
2
4
´
³
E
6
.
89
=
250
3
3
´
´
ql
(mm)
M图
l
A
q
B
b
h
处理方法：变形协调方程、
物理方程与平衡方程相结合，
求全部未知力。
解：①建立静定基
确定超静定次数，用反力代替
多余约束所得的结构——静定
基。
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第六节 简单超静定梁
=
②几何方程——变形协调方程
③物理方程——变形与力的关系
④补充方程
⑤求解其它问题（反力、应
力、变形等）
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0
=
+
=
B
BR
Bq
B
y
y
y
y
Bq
l
EI
R
y
EI
ql
B
BR
B
3
;
8
3
4
=
=
l
8
3
0
3
8
3
4
ql
R
EI
R
EI
ql
B
B
=
\
=
-
例8 q，EI，EA，l 求B的反力。
解：①建立静定基
②几何方程
——变形协调方程：
RB
A
B
+
=
a
y
EA
C
l
RB
A
B
q
A
B
q
l
RB
A
B
EI
q
=
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BC
BR
Bq
B
l
y
y
y
B
D
=
+
=
③物理方程——变形与力的关系
④补充方程
⑤求解其它问题（反力、应
力、变形等）
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EA
a
R
l
EI
l
R
y
EI
ql
y
B
BC
B
BR
Bq
B
=
D
=
=
3
;
8
3
4
ø
ö
ç
è
æ
+
=
\
=
-
I
l
A
a
I
ql
R
EA
a
R
EI
l
R
EI
ql
B
B
B
3
8
3
8
3
4
3
4
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