第32卷第7期重庆工商大学学报(自然科学版)2015年7月J Chongqing Technol Business Univ. (Nat Sci Ed) Vol. 32 doi: 10. 16055/ 概率方法求Gerber-Shiu折现罚金函数*肖菊霞，史建红(山西师范大学数学与计算科学学院，山西临汾0410∞)摘要:相位分布是定义为某个马氏跳过程吸收时间的分布，它在正半轴上形成了一类可以在普遍性与易处理之间的平衡点，任何正的分布都可以由相位分布无限接近;在带常利率的时间间隔为相位分布的史新风险模型下，用概率方法得出了相位分布的一些基本性质及Gerber-Shiu折现罚金函数的确切解.关键词:相位分布更新风险模型;Gerber-Shiu折现罚金函数;破产时刻;破产前瞬时盈余额;赤字中圄分类号:文献标识码:A文章编号:1672-058X( 2015) 07-0020-06 在带常利率的更新风险模型下，t时刻资产余额乌(t)满足的微分方程为dUβ(t)= cdt~β乌(t)dt-dX(t).其中常数u;;::，O是保险公司的初始盈余额;常数c>O表示保费收益率;常数β>0是常利率;X(t)表示t时刻为止的的理赔额总和;更新过程{N(t);t;;::'O}表示t时刻为止的总索赔次数;索赔额{ZJ是独立同分布随机变量，其分布函数和概率密度函数分别为F(x)和p(x);X(t)=二:1:ZK;SK表示第k次索赔发生时刻，其中5=0;0索赔时间间隔骂=5r5j-l,j;;::’ 1是独立同分布的正随机变量，其共同分布为参数为(α，B，b)的相位分布.相位分布是风险理论中最常见的分布之一，近年来人们越来越关注时间间隔为相位分布的SparreAndersen模型.例如JiandongRen ( 2008 ) [1 J研究了破产前瞬间资产余额和破产时赤字的联合分布函数;MinSong,Qingbin Meng, Rong Wu,Jiandong Ren(201O) [2J研究了Gerber-Shiu折现罚金函数.对Gerber-Shiu折现罚金函数的研究是破产理论主要研究的问题之一，它为研究破产前瞬间资产余额和破产时赤字的联合密度提供了统一的方法.对此问题的研究始于GerberandShiu( 1998) [3J ; Lin( 2003)研究了时间间隔为Erlang(2) ;李平(2013)[4]研究了双Poisson风险模型下Gerber品llU函数.常利息率更新风险模型也是现代风险理论研究的重要方面，许多人做过这方面的工作.例如SundtandTeugels( 1997) ,Rong Wu, Yuhua Lu, Ying Fang( 2008) [町，在带常利息率索赔时间间隔为相位分布的更新风险模型下，从相位的各个状态开始研究，用概率方法得出了相位分布的一些基本性质以及Gerber-Shiu折现罚金函数的确切解.1 相位分布性质若记}(t)为t时刻马氏链的状态，J(t)有n个暂态{1，2，…，叶和一个吸收态n+1. TT B =(bhl)川，b=Be= (b,b, ,bJT,e = (1,1, ,1 ) 12鸟是从暂态j跳到吸收态的密度，bi，j是从暂态i跳到暂态j的密度，其中i，j=1 ，2，…爪，则有写=T=infj t;;::’ 1 收稿日期:2014-07-03;修回日期:2014-09-09.*基金项目:山西省自然科学基金项目资助(2013011∞2-1) . 作者简介:肖菊霞(1985-) ，女，山西临汾人，助教，硕士，从事随机过程研究.
第7期肖菊霞，等:概率方法求Gerberδhiu折现罚金函数21 TI B b\ 0\J(t)=n+!l(j;31)，记Q=I~~. I为相位的密度矩阵，0为元素为零的n维行向量，相位的转移矩阵\ 0 0 I 为p=(pρnXn. 记pt=(p~)(肘l)x(肘1)为经过时间t的转移矩阵，即P:i=P(J(t)=j\J(O)=i)，则Bt ~(Qt)j (ee-eBte\ p’ = exp(Qt) =主7广=(-0 -1--) α=(α1 ，屿，…，U)是初始分布概率，其中U=P(X=i). nío 考虑从状态i出友，鸟的密度函数为g(t\i)，由索赔发生即为相位状态转到吸收态，故可设索赔前相位处在暂态j，则其在[t，t+dt]时间内跳到吸收态的概率为鸟巾，故而Btg(t \ i)dt = P(吧ε[t,t + dt] \ J ( 0) = i) ==三p:jbjdt=三(e) ijdt = E eBtbTdt 故g(z|i)=EzeBSbT，其中Eí为第i个位置为1，其余位置都为O的n维行向量.记g(t)=(g(t \1) ,g(t 12)，…，g(tln)户，由g(t \ i)为吃的密度函数，则T g(t) =αg(t)=;二αig(tli)= I IaJeBt)ijbjdt =αeB'b记从状态i出发，~的分布函数为G(t\i)，可知!-G(tli)表示从状态i出发，到t时刻还未到达吸收态的概率，则有l-G(tli)=P(J(t)ε{1，2，…，n} IJ(O) = i) = 三pi=;二(eBzh=Eze~故G(t 1 i) = 1 -EieBte 记G(t)=(G(tll) ，G(tI2)，…，G(tln))T，则吃的分布函数G(t 1 i)满足T 1 -G(tli) =α(e-G(t)) = IαiEieB'eαeBte 故G(tli)=l一αeBte2 主要结论期望折现函数是破产前瞬间资产余额和破产时赤字的期望折现，当初始余额为U时，定义为ß向(u) = E [ e -6Tω(UiT;)， 1 UiT ) I)I(~β〈∞)1乌(O)=u]其中Tβ为破产时刻，定义为T= inf{t:马(t)< O} p Uβ( T;)为破产前瞬间资产余额，1Uß(~β) I为破产时赤字，ω(X，叫)是破产前瞬间资产余额和破产时赤字的1非负罚金函数，折现因子δ是非负参数，I是示性函数.因为索赔发生才有可能导致破产，故而可定义从状态i出发，初始余额为U时，在第k次索赔发生后破产的期望折现罚金函数为8TJlψí.ß.k(U) = E[e-ω(Ui T;) , 1 U( T) 1 )I( T<∞)，Tß=SKIUiO)=u] 定理1对任意的u，δ;30，β>0，当k;32时(i)当β>0时
22 重庆工商大学学报(自然科学版)第32卷(" (c +βu)7ï B土In(业)TfιT优β，k(u)=lsEzeβC咖b/LαJ伊'j，ß，(卜I)(Y-x)p(x)由dyJ u (c +β~y )百+1t j~ 1 ( ii)当β=0时r’" 1业二~r>sl-二E;JL轨，β，k(U)= /ιe-'-Ee"7/ L cx(k-I)(Y -x)p(x)dxdy ijψJβJ U C b i可且有1rr ~c +βullzh{业)LTr'''11 "’-/6 EieD"ß飞c咖ib/ω(y，x-y)p(x)dxdy 当β>0时IJU (c +βy)7ï+1 Jy 伊i，ß，I(U)=~lfLFEafbTfω(川-川)由dy当β=0时证明下面考虑第一次索赔发生时叭队k(u)与伊'j，(3，(k-l)(u)之间的关系，其中k:;;:;2，j=1 ,2, ,n, i马=Sk 1 = 1u p(乓)> O，U(可)> O,j < kl n 1乌(Sk)运0，马(S;)> 01 ß即第k次索赔时破产意味着在Sk时刻之前都没破产，从而在k:;;:;2时，破产时刻Sk满足以下条件:相位从状态i出发，第一次到吸收态时没有破产，而后重新从状态j出发，经过k-l次索赔后最终破产，从而若Sk町，eβ-1 则第一次索赔发生时索赔额x::::;;ueßt+c一一，而从状态i出发，飞的密度函数g(t I i) =E ieB'bT，且由索赔额的β 密度函数为p(吟，可得当β>0时，ueßt+c生.!.曲唱、川(u)= J。内(tli)J~ß三明β(k-I)(旷+c干什川xdt= ef3t-l 。产EieB'bTJ:-.. ~αJhJueu-7-z仲)制trf j,(eLl) 令y=ueßt+c于删由tε(0月)可知ye(u∞)且=工ln{~土EZ}.dt=-Ldγβ飞c+βu} , c +βy 故Yr’" Iρ+8γ\ 土巳业rι T i，(3μ) = ’-(: : :~_l ~ _: n..EieBfjln(呻~)bI~ I cxj'P.川l)(y-x)p(x)出dy= J 0 \c +βu} c +β:y-'--J。自r~怡c+β如u)汗百ιIJ) J β→一干一了E眨iet~协/Lα凡β，(k-I)(y-x)p(x)dxdy u (c +β:y) p-+I古j~1 当β=0时，川(u)=(e-协6( e-'Ei叫令y=u+ct，则(" J 主旦2..，.sl-=.!!-LT俨ι的βk(U)= /ιe-'~Eie"7bT /主α爪，β，(卜I)(y-x)p(付出dyJO C JOj~1
第7期肖菊霞，等:概率方法求Gerber-Shiu折现罚金函数23 在刊破产，意味着第一跳就破产，从而第一次索赔如归于故部>0时，f∞r∞eβt _ 1 eβ-1\ \ t t 叭队I(U)= 1_ e- tg(t I i) 1 .. . <_’w! ue+ c一τ~,x -!u e+ c ~ I I p (x ) dxdt J 0 J u. <+Ł’- ’fj fj " 令y=u~+c芋，可得("'{(c+酌)\- l 1比(业)LT (’" zβ1( u) = 1 I一一一一|一一-E:eDßml，~咱~)b’ 1ω(y ,x -y) p ( x ) dxdy }u\(c+βu) J c +β'y-'--}y r (:c +βu)仰日(业)LT(" [β!b'/ω(y，x -y)p(x)dxdy u (c +卢:y)仰+1-'--Jy 当β=0时，’Pi. .1 (中fe- tg(t I i) f+户+叩-(u + ct) )内)dxdt令y=u训，则r~ J 三江三2.’" I1-二丘T (~ 轨，βI(u) = 1主ec Eze c b lω(y，x -y)p(x)dxdy J u C J Y 推论1对任意的u，δ注0，β>0，当k二~2时if(c +βu)仰B~ln(业),. T1俨 |αeμ\，+ßul b1. 'P8.卜Jy-x)p(x)dxdy，当β>0时IJ(c +βy)仰+1---J""8 u O伊(μ)= ~ I (∞1 -δ(y -u) R巳T俨1ll 7e C mn丁bJ。伊仲1(y -x) p ( x) dxdy ，当β=0时且有(f∞(c+βu)仰ιInl业)L T r~ 11 dlB+飞+ßulb’ 1ω(y，y -x)p(x)dxdy，当β>0时IJ(c +β:y) /p+’ -J y u 伊(U)=~I r∞ -δ(y -u) ，;:.二丘T r∞ 1llM7e L 缸片bJy ω(y，y -x)p(x)d功当β=0时证明若记φ'ß.k(U) = (伊I.ß.k(U)，轨，β.k(u) ，…，轨，β.k(U))T则白.k(u) =αφβ.k( u) 由定理1可知，当β>0时，(~ (c +βu)仰B土In("地T7n向-k(u)=ZqlEe p c咖bTjLαJ钙，β(k-l)(y-x)p(x)dxdy = J u (c +β:y)仰+Iz i jzl f/c +βu)仰主仲比(业Tjι响)bj、αJ伊'i.ß.(k-l)(y-x)p(x)dxdy = u (c +βy)仰+1zzlijt1f∞ (υc + β御u)仰:1二α矶iEi卢y川e♂/乒B由冲ι川β冉土冲h扭咖.:;;Jν川bTl二l;α吨Jψ刷k-1门)(付y-x付)沛P以μ(叫x)d由x兀d句y=u (c +β'y)仰+严ILJ=1f(c +βu)仰阳业)LT( \'+ßu1b11_αφβ.(k-l)(Y -x)p(x)dxdy = u (c +β:y)且伊1---J 0 f∞ (υc + βßu) 仰ð/lβ乒ι白In(~ lB+ αe 飞\+~ß咖uib'lψ白qP怡β队.(k←价-1η)(付y-x叫)以p(叫x)d由比叫d句y 帆声J也(c +β:y)ð/) 0 T P
24 重庆工商大学学报(自然科学版)第32卷("Jc +βu)附E，e土时血B)I..r~ T 白，1(u)=Zq|ep c响b1ω(y，x -y)p(x)dxdy = J u (c +βy)UF1z Jy rfc +如)师三αzEzeIl业TJ∞ω(川-y)p(X)制y=u (c +β:y) IJI +I t1 r∞ (υc + βßu)严附工1ι的叫lnlM丰αe β 飞\~咖曲!bI ω(y，x -川y)μp(叫x)d由x句dy u (c +βy)附+1-J y 同理可得到β=0的情况.注1在推论1中，令z=y啡，则ijm(c +如)仰B-!cln(~)1.. T r’ |nteWI白，k-1(Z)P(y一z)dzdy，当β>0时IJ(C+ßy)仰+1---JOT"fi u 仇.k(U)=~俨I(~1 -δ(y -u) 1P’,T( l1. ~e二的~bTJo的，k-I(咐(y-z)由dy，当β=0时if(c +βu)仰l乒In(~)1..Tf11 \’" fJu 1W牛lω(y，-Z)p(y -z)dzdy，当β>0时IJu (C +βy)叩J-伊B，I(U)=~1’,’ _. I r~ 1 -δ(y -u) #-二~LT (0 l l-e ymC b |ω( y, -z) p (y -z) dzdy ，当ß=O时推论2对任意的u，s二;!:O，卢>O，k;::.2，当β>0时，如(中f叫出k(队-lfh1J:dYIf E((c +队1)飞eBtln(~在~)扩P(Yi-zJ)αβ啡、TX f=1\(c+β民)伽f(c +βu)附川，P(Yk-Zk)ω(YI' -ZI )dz1 (c +βY k ) lfi+ l’ --. 当β=0时，<P ,k( u) = (叫出kcdykfI由klj:dyl生二B;13(yi-zjF jLE(Pαe-uik，的bTp(YkZk)-ZI)斗也一ω(YI'1C 证明由注1可直接推出.定理2对任意的uô;::.Oβ;::.0，，当β>0，时，仰r~ (c +βu)T O B~ln(~~)I..r咖(u)Iα'e-ß"'"bTIω(--yz) (y Z) dzdy + = 伊β-, +1--P 仰J_J u (c +βy)∞ :dyk-C1比1j:dYI(j:叫叫主响c +)仰的队1nn(~T)b咛百LE((在二、X lmpTp(Yi-ae, , -ZJ r )1 i -" 'yJIJIß+1--’" f=~\(c+βJ 师(c +βu)1-Zk)ω-zl)dz川，P(Yk,. (Yl' 11 /fi+" --(c ) ’/ + y k
第7期肖菊霞，等:概率方法求Gerber-Shiu折现罚金函数25 当β=0时，产1-δ(y -u) #-二~'-T (0 向(u)=l7eC mC b lf(y，-z)p(y-z)出dy+ 主(f叫:叫凯lfLCdylfl(Pα户的(头-Zi)) α汗的(Yk-Zk)ω(Yl' -ZJ抖1)) c 证明由于只有发生索赔时才可能发生破产，所以向(u)=二二1肉，μ)，从而由注1及推论2直接得出.参考文献:[ 1] REN J D. The Discounted Joint Distribution of the Surplus Prior to Ruin and the Deficit at Ruin in a Sparre Andersen Model [ J J. North American Actuarial Journal,2008, 11(3) :128-137 [2 J SONG M, MENG Q B, WU R, et al. The Gerber-Shiu Discounted Penalty Function in the Risk Process with Phase-type Inter-claim Times[J].Applied Mathematics and Computation,201O(216) :523-531 [3 J HANS U ,GERBER E ,SHIU S the Time Value of Ruin[JJ. North American Actuarial Journal, 1998 ,2( 1) :49-84 [4]李平.双Poisson风险模型下Gerber-Shiu函数及测度变换的研究[JJ.重庆工商大学学报:自然科学版，2013，30(6):11-15 [ 5 J WU R, LU Y H ,FA NG Y .On the Gerber-Shiu Discounted Penalty Function for the Ordinary Renewal R sk Model w th Constant Interest[ J J. North American Actuarial Journal,2007, 11 (2) : 119-134 The Gerber-Shiu Discounted Penalty Function by Probabilistic Methods XIAO Ju-Xia, SHI Jian-Hong (College of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041000, China) Abstract: Phase-type distributions, defined as the distribution of absorption times of certain Markov jump processes, constitute a class of distribution on the positive real axis which seems to strike a balance between generality and tractabi1ity. Any positive distribution can be approximated arbitrarily by phase-type distributions. Under the condition that the inter-claim times of constant interest is phase-type distribution risk model, some of their basic properties and the precise solution of Gerberδhiu discounted penalty function are obtained. Key words: the phase-type inter-claim times; Gerber-Shiu discounted penalty function; time 0 f ruin; surplus immediately before ruin; deficit
