库存控制中价格折扣问题的模型分析
内容摘要
销售商为了增加现金流、提高市场占有率或避免产品积压,有时会向零售商提供价格折扣。此时,零售商若增加价格折扣下的订货量,会享受更低的进价和订货费用,但较多的订货量同时会增加零售商的存货投资和库存费用。如何针对价格折扣,寻求各种成本总和的最大节约是零售商所面临的问题。
在库存控制模型中,一些基本的确定订货批量的公式均假设货物的单价是不变的。对于价格折扣问题,传统的EOQ模型并不实用。但是,其目标是一样的,都是使得总成本最小。因此,本文首先介绍一般的经济订货批量模型,并在此基础上,结合实际经济交往中普遍存在的批量价格优惠现象,并对“批量优惠条件下的经济订货批量模型”进行分析与应用。
关键词：库存控制、价格折扣、模型分析、零售业
Model Analysis of The Problem of Price Discounts in Inventory Control
ABSTRACT
Suppliers provide price discounts in order to increase cash flow and market share or to reduce product inventory. Coming up with this situation, retailers have to decide how to adjust order quantity to achieving their maximum benefits . Increasing order quantity with price discounts can reduce the purchase price and order fees on one hand , but on the other hand , more orders will increase retailers inventory investment and other inventory-related costs. On top of this, Seeking a variety of cost saving is the sum of the biggest problems faced by retailers.
In the inventory control model, some of the basic formula to determine the order quantities are the assumption that the price of goods is to remain quantity discounts, the traditional EOQ equation is not adequate. When quantity discounts are offered, the objective function is still to find the way to make the total cost minimum. Therefore, this article first introduces the general EOQ model, and on this basis, combined with the actual economic relations prevailing in the phenomenon of volume discounts, to establish a "volume discount under the conditions of the economic order quantity model."
KEYWORDS: stock control，price discounts，model analysis，retail
正文目录
1
第一章 引言
1
第一节 选题的意义
1
第二节 国内外库存控制发展现状
3
第二章 库存控制与价格折扣概论
3
第一节 库存控制重要性
3
一、库存的定义及影响
3
二、库存控制的定义
3
三、库存控制的意义
4
四、 库存控制原理及方法介绍
5
第二节 价格折扣对库存控制的影响
5
一、 价格折扣的概念
5
二、 价格折扣对库存控制的影响
6
三、 价格折扣下的库存控制方法
6
第三节 经济订购批量
6
一、 经济订购批量概念
6
二、 经济订货批量假设条件
7
三、确定经济订货批量原理及意义
7
四、 经济订货批量公式应用范围
7
五、 不足和缺陷
7
第四节 两类不同的价格折扣方式
8
一. 分段整体价格折扣
9
二.超额部分分段价格折扣
11
第三章 库存控制中价格折扣模型分析
11
第一节 经济订货批量的模型
11
一、经济订货批量模型的构成
11
二、经济订货批量的模型分析
13
第二节 分段整体价格折扣库存模型
13
一、模型假设与建立
16
二、模型的简单应用
16
第三节 超额部分分段价格折扣模型
17
一、模型假设与建立
19
二、模型的简单应用
21
第四章 S零售企业库存控制分析及改进
21
第一节 S零售企业背景介绍
21
第二节 S零售企业现行库存控制与改进的模型比较
21
一、S企业原始库存控制方法
22
二、改进的库存控制模型分析
24
第五章 总结
25
【参考文献】
26
致谢
第一章 引言
第一节 选题的意义
在现代企业庞大而复杂多样的生产经营投资中，库存投资所占的比重是相当大的。在生产企业中，大约占 30—50%； 在商业零售企业中， 其所占比重更大。因此， 在企业管理中，对库存控制问题的研究显得十分迫切和必要。对于一个零售企业来说，它的库存是否保持在一个最优化的水平，是决定其能否充分发挥资金的作用、 减少和杜绝浪费、 提高劳动生产率和实现利润最大化的重要因素之一。因此，加强存货管理 ,使存货保持在一个最优化的水平 ,对企业能否最经济、 合理和有效地利用存货所占用的资金具有很强的现实意义。
经典存贮管理模型隐含着用户订购批量与货物单价无关的假设, 这一假设常常与实际相悖。 在现实的货物交易过程中, 许多供货商为了鼓励客户大批量订货, 往往给予一定的价格优惠, 价格折扣是供货商的价格策略之一, 如订货批量越大, 价格折扣越多。 然而, 价格折扣方式千差万别, 既有分段整体价格优惠法(如订货量超过一定数额, 全部货物都给予价格优惠) , 又有超额部分分段价格优惠法(如超过一定数量的部分给予价格优惠)等。
针对不同的价格折扣方式，分别建立模型进行研究，并通过模型求得库存总成本最小的订货批量，对企业提高经济效益具有重要的意义。
第二节 国内外库存控制发展现状
在人类的生产、经济、贸易等社会活动中，物资的库存是不可缺少的，然而，太多的物资库存却又导致大量的浪费和流动资金占用，影响社会的再生产。因此，研究如何科学、合理地管理和控制物资库存将具有十分重要的实际价值。
库存控制理论以库存系统为研究对象，采用量化手段去研究实际中各种复杂的库存问题，为库存系统探索最优库存控制策略。具体地说，就是研究何时订货或组织生产以及订购多少货物或生产多少产品，以使得库存系统的总支出最少或总利润最多。20世纪50年代以来，日益激烈的市场竞争以及不断加速的经济全球化推动了库存控制理论研究与应用不断向前发展，尤其是近几十年来，随着供应链管理思想逐渐被企业所接受，库存控制问题引起了企业界和理论界的广泛关注。越来越多的研究者在致力于库存控制理论的研究，致使库存控制理论成为运筹学和管理科学中一个十分活跃的研究领域。现在，它与自然科学、技术科学乃至社会科学的联系越来越密切，在现代企业管理、工程技术、社会经济、物流管理等领域的应用也越来越广泛和深入。
日益成熟的库存控制理论给企业、国家乃至世界带来了客观经济效益的同时，也促进了运筹学、最优化理论、随机过程等数学基础理论的进一步发展。而如今迅猛发展的计算机经济、信息经济和网络经济又向库存控制理论提出了新的挑战，同时也为它的进一步发展提供了新的机遇。
在我国现代物流业发展形势看好的同时，对加快发展现代物流业过程中反映出的一些问题和倾向，也不能忽视。可以说，我国的物流市场已经启动，但是还没有被激活。首先，我国年物流费用支出约为当年名义GDP的％，即约2000多亿美元。而美国物流费用占GDP的比重是%，发达国家平均为10%。从中可以看出中国的经济运行效率还较低，仍然是一种粗放型的经营。通过对美国物流成本降低的研究，可以发现，降低物流成本的关键是库存的降低。如果通过物流管理的科学化把物流费用降低到世界平均的约10％的水平，则可以增加约800亿美元的社会财富。其次，中国目前产品销售价格里面包含的物流成本是20%，也就是说，尚有10%的空间来压缩成本，这10%对于一个产业来说是一个非常大的利润源，现在哪家公司恁迅速提高管理能力，帮客户降低5%的成本，同时为自己再提升5%的利润，那么这家公司的市场份额就可想而知了。
随着物流在中国的发展，物流开始在经济生活中推广运用，并引起了社会各界广泛的关注。物流已经被称为“第三利润的源泉”。物流库存控制作为物流成本管理的一个环节，对物流总成本的控制占有很重要的位置。对物流库存控制模型的研究也就是为了适应物流的发展，通过建立数学模型来确定最佳经济批量，以便达到降低物流库存成本的目的。 目前国内外研究的物流库存成本管理模型都是建立在经济批量基本模型的基础上的，包括陆续供应和陆续使用的经济批量模型、多重价格折扣的订货批量模型、价格调整的订货批量模型等
对于中国零售企业来说，和多数生产企业一样，如何面对变化的环境采取合理的库存控制策略，减小库存，降低库存费用，解决物流问题已是当务之急。
第二章 库存控制与价格折扣概论
第一节 库存控制重要性
一、库存的定义及影响
根据我国国家标准GB/T18354—2001《物流术语》
，库存是指处于存储状态的物品。通俗地说，库存是指企业在生产经营过程中为现在和将来的耗用或者销售而储备的资源。广义的库存还包括处于制造加工状态和运输状态的物品。一般情况下，企业设置库存的目的是防止物资短缺，避免供 、产 、销等经营活动的中断。适当的库存是企业生产经营过程所必备的，有利于协调需求和供给的矛盾，确保生产顺利进行。但是，库存既然是待用的资源，就会造成一定的浪费，如在存储过程中的物资丢失 、变质等，并且会增加额外的物资管理费用和库房租用费用等资金消耗。据统计，我国产品生产的直接成本只有总成本的10%，而物流成本占产品总成本的40%，其中库存成本则占物流成本的80%到90%。也就是说，库存成本占产品总成本的32%到36%，远远大于生产直接成本。另外，企业资源、资金都是有限的，用在库存上的资金多了，就会造成企业资金流通不畅，束缚企业业务的正常发展 ，还会影响企业对物资资源、人力资源等的合理配置和应用，造成浪费。所以，在现代化企业经营管理活动中，在满足正常生产的前提下，企业应力争使库存量逐步减少，甚至向零库存方向发展，以尽量减少企业的物资储备，加快资金周转，提高企业的生产效率。
二、库存控制的定义
库存控制（Inventory Control），是对制造业或服务业生产、经营全过程的各种物品，产成品以及其他资源进行管理和控制，使其储备保持在经济合理的水平上。库存控制是使用控制库存的方法，得到更高的盈利的商业手段。
库存控制是仓储管理的一个重要组成部门。它是在满足顾客服务要求的前提下通过对企业的库存水平进行控制，力求尽可能降低库存水平、提高物流系统的效率，以提高企业的市场竞争力。
三、库存控制的意义
（1）库存
HYPERLINK "javascript:;" \t "_self" 控制的作用
主要是：在保证企业生产、经营需求的前提下，使库存量经常保持在合理的水平上；掌握库存量动态，适时、适量提出订货，避免超储或缺货；减少库存空间占用，降低库存总费用；控制库存资金占用，加速资金周转。
（2）合理的库存控制的重要性
在商店、超市等零售业，存货可能比现金更容易流失。有些商场净利润只有5－6％，但损失的存货则是销售额的4－5％。在食品业，净利润只有1％左右，这样，管理者的主要职责不仅是如何增加销售量，而且要防止存货丢失。因为，如果利润率为2％，为抵消1000元的存货丢失，需增加50000元的销售额。由此，建立存货资产控制的重要性可见一斑！
库存量过大所产生的问题：增加仓库面积和库存保管费用，从而提高了产品成本；占用大量的流动资金，造成资金呆滞，既加重了货款利息等负担，又会影响资金的时间价值和机会收益；造成产成品和原材料的有形损耗和无形损耗；造成企业资源的大量闲置，影响其合理配置和优化；掩盖了企业生产、经营全过程的各种矛盾和问题，不利于企业提高管理水平。
库存量过小所产生的问题：造成服务水平的下降，影响销售利润和企业信誉；造成生产系统原材料或其他物料供应不足，影响生产过程的正常进行；使订货间隔期缩短，订货次数增加，使订货（生产）成本提高；影响生产过程的均衡性和装配时的成套性。库存不能绝对的说多少为好多少为不好，如果仓库空着，很明显是种浪费；而如果满仓，那么成本积压太多，资本利用率降低；如果库存太少，发生意外时，比如设备损坏，就无法按期交货，造成违约。因此，不论何种情况，我们都不能把库存量绝对化，这是要根据经验和实际来进行控制的。
四、 库存控制原理及方法介绍
为了达到控制库存量的目的，由库存过程可知，可控制订货进货过程，也可控制销售出库过程。但是，控制销售出库过程，意味着限制了用户的需求，影响了社会需求。所以最好采用通过控制订货进货过程来控制库存量。这样，不但可以主动控制库存量，而且不影响社会效益。因此，本文就是通过寻求一个合理的进货批量来达到库存控制的目的。
库存控制的方法很多，传统的如ABC分类法，经济订货批量（EOQ）法等，现代的如供应商管理库存VMI，联合库存管理JMI等。ABC法技术要求不高，它定性的对企业的各类货物进行分类规划，有利于企业进行重点管理。特别适合生产规模不大，批量较小，品种较多的企业；VMI有助于实现制造商和分销商的厂商一体化。此方法的实施需要一定的技术支撑，而且是建立在制造商和供应商良好的沟通协作的基础之上。如果有条件采用这样的方法明显优于传统的库存控制方法；JMI同时满足分销商与生产商，生产商与供应商之间的两阶段库存控制需求。此种方法建立和协作的成本较高，现实过程中双方很难建立一个协调中心，因而很难运作。倘若供应链上的上下游企业都有较好的信息技术支撑，而且相互信任度、协作性高，那么采用这种方法将有效解决库存过高、牛鞭效应的问题，使得供应链上总体成本最低化。
鉴于篇幅，一些库存控制的方法在这里仅作简要的介绍，本文重点介绍经济订货批量法在库存控制中的相关应用。
第二节 价格折扣对库存控制的影响
一、 价格折扣的概念
在卖方市场下，零售商从批发商（或生产商）处购买商品，为了鼓励零售商大量购买，尽快回收成本，加快流动资金周转，减小风险，批发商经常会对经销的商品制定一定得售价标准，它随着采购批量的增大而相应减小，即有批量价格折扣问题。批量价格折扣又叫批量差价，它是同一种商品在同一时间的同一市场上，由于成交数量（或金额）不同而在不同批量商品价格之间所形成的差额。批量价格折扣是买方为了扩大销售量而采取的一种正当的公开的促销手段。它反映了由于买方购买量的增加（或减少），使卖方销售商品的速度超过（或低于）正常的销售速度，而节约（或增加）的成本费用。
有批量价格折扣问题一般可表达为：
商品一次订购量
适用单价
<
<
<
<
<
<
<
<
二、 价格折扣对库存控制的影响
对于长期的生产经营企业而言 ,库存控制是一项相当艰苦复杂的管理技术 ,深受各种相互冲突的利益与相互矛盾的因素影响。库存控制的计划与执行 ,几乎涉及所有销售、生产和采购部门 ,并对企业的财务结构与竞争地位产生重大的影响 ,甚至直接关系到对顾客的服务水准、生产成本、 利润以及营运资金的利用等。
库存控制所用的方法很多，但实际情况中会遇到各种各样的问题。这里只考虑其中一个问题，即价格折扣。
在市场经济条件下 ,订货过程中往往有订货数量的价格折扣问题 ,因而就出现了下列的情况:如果购货厂家的欲购量大于供货厂商规定的折扣数量 ,购货厂家会接受优惠的价格折扣;但当订货量小于这一水平 ,就不能享受价格的折扣。购买者是否取得价格优惠的方法就需要分析。因为购货者争取了数量折扣时 ,一方面可以使库存的单位成本下降 ,订货费用减少 ,运输费用降低、 缺货损失减少 ,抵御涨价的能力增强;另一方面又使库存量增大 ,库存管理费用增加、流动资金周转的速度减慢、库存货物可能老化、变质等。
三、 价格折扣下的库存控制方法
目前，在我国，根据问题所涉及到收益与费用情况，来确定企业总成本最小的一次订购量。求解这类问题，目前用的最多的方法是求使得该企业用于该商品全年的购置费、储存费和管理费等三项费用之和为最小的经济订购批量，它考虑了不同批量区间的价格情况。
第三节 经济订购批量
一、 经济订购批量概念
经济订货批量（即Economic Order Quantity）是固定订货批量模型的一种，可以用来确定企业一次订货（外购或自制）的数量。当企业按照经济订货批量来订货时，可实现订货成本和储存成本之和最小化。
随着采购数量、订货时间、到货间隔时间等的不同，经济订货批量模型可以有不同的扩展和变化，但总的思想依然是根据物流管理中的“背反”规律，平衡仓储成本、进货成本，确定一个最佳的订货数量，在该数量点库存总成本最低。本文就是根据这一思想,对特殊价格奖励计划的最优采购数量进行了进一步探讨。在采购与供应决策中，采购机构经常受到价格奖励的鼓励而大量采购货物。普遍使用的价格奖励主要有两种：分段整体价格折扣和超额部分分段价格折扣。由于对应采购量的不同而在不同的采购区间享受不同的价格折扣优惠，因此，必须对其进行一定的改变，求解最优采购量。
二、 经济订货批量假设条件
理想的经济订货批量模型建立在下列假设之上：
（1） 需求量已知并且稳定不变，库存量随时间均匀连续地下降；
（2） 库存补充的过程可以在瞬间完成，即不存在一边进货一边消耗的问题；
（3） 产品的单位价格为常数，不存在批量优惠；
（4） 储存费用以平均库存为基础进行计算；
（5） 每次的订货成本及订货提前期均为常数；
（6） 对产品的任何需求都将得到满足，不存在缺货方面的问。
三、确定经济订货批量原理及意义
经济订货批量模型（Economic Order Quantity Model，EOQ）是库存管理模型中的基本模型，在企业采购和库存数量决策中经常应用。该方法主要是根据物流管理中的“背反”规律，通过平衡采购进货成本和保管仓储成本，确定一个最佳的订货数量来实现最低总库存成本。
应用经济批量原理来确定采购量的意义就在于：1.可以使得总费用最低；2.可以达到库存控制的目的。
四、 经济订货批量公式应用范围
１、公式适用于订货不受限制的情况。即什么时候想订货就能订到货，想到哪里订就到那里订。
２、公式适用于单一品种的情况。
3.公式不但适用于确定型，也适用于随机型。
五、 不足和缺陷
对经济批量的理论有许多批评，但并不是批评该方法在内容上的不足之处，而是批评那种不顾实际情况而不适当地随便使用这种方法的态度。经济订购批量法基本模型存在太多的假设前提,在现实中很难满足。在实际计算经济订购批量时还应特别注意以下问题 ：运输成本对经济订购批量的影响；数量折扣对经济订货批量的影响；批量生产对经济订货批量的影响；多产品购买对经济订货批量的影响；有限的资本对经济订货批量的影响；私人运输对经济订货批量的影响；单元化特征对经济订购批量的影响。虽然经济订购批量在理论上是最经济的，可以大幅度降低成本。但是需要全面考虑上述因数，以便真正实现经济。
经济订货批量公式表明经济订货批量与存货的每次订货成本、存货的单位存储成本（变动成本）和存货的年耗用量相关，而跟存货的单位购置价格不相关，这个结论显然与实际情况不符。因为货物的单位购置价格越高，占用资本成本就越多，经济订货批量就越小。其实很多参数会发生变化，如有价格折扣，多品种采购等。所以在上述原始EOQ模型的基础上可以有很多拓展的模型来研究具体的实际问题。
第四节 两类不同的价格折扣方式
销售批量的大小对销售者来说很重要。销售批量大，可以：
（1）减少销售时间，减轻销售劳动量；
（2）减少商品的保管费用；
（3）减少多次零售磅秤的误差积累；
（4）简化了包装装卸和检验的劳动量等；
（5）减少订货费用；
（6）提高了物资周转率和经济效益。
所以可以明显的提高经济效益。为了谋求批量销售的好处，销售者往往对于批量采购实行价格折扣。
批量采购对于买方来说也很重要，选的合适，可以节省费用；选的不合适，可能增加费用。
随着采购数量、订货时间、到货间隔时间等的不同，经济订货批量模型可以有不同的扩展和变化，但总的思想依然是根据物流管理中的“背反”规律，平衡仓储成本、进货成本，确定一个最佳的订货数量，在该数量点库存总成本最低。本节就是根据这一思想,对两类价格折扣方式的最优采购数量进行了初步探讨。
一、 分段整体价格折扣
分段整体价格折扣又称普通数量折扣价格奖励计划（Inclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan），是指随着购买量的增大,供应商会降低适用于所有定购产品的报价。这在消费品采购及平常的教材中很常见,即一般教材中所讲的“有折扣的订货批量模型”。供应商为了吸引顾客一次购买更多的商品,往往规定对于购买数量达到或超过某一数量标准时给予顾客价格上的优惠，这个事先规定的数量标准称为折扣点。在数量折扣的条件下,折扣之前的单位购买价格与折扣之后的单位购买价格不同,由于它是对于大于等于某个采购数量的所有产品适用某一折扣价格,所以认为这是一种“全量”的优惠。
设需求量为D,每次订货费为S,单位货物的保管费用为C,原来的价格为P,一般用户在这种价格水平下采取按经济订货的策略，记求得的经济订购批量为Q*。若供应商规定当订货量大于等于Q时，价格取折扣t,即价格为（1-t）P,则这时用户需要确定，是接受折扣，按Q订货，还是不接受折扣按原来的经济订货批量订货。这就是这里所要讨论的问题。
下面介绍两种简单的方法：
1．节约比较法：比较折扣前后的费用
(1)折扣后，订货费用的降低：
折扣前，
=DS/ Q*
折扣后，
=DS/Q
折扣后，订货费用的降低：
= DS/ Q*- DS/Q
(2)折扣后，购买费用（记为M）的降低：
折扣前，M=PD
折扣后，M=P(1-t)D
折扣后，购买费用的降低：
= PD- P(1-t)D=tPD
(3)折扣后，保管费用(记为
)的增加：
折扣前，
= Q*C/2
折扣后，
=QC/2
折扣后保管费用的增加：
=(Q-Q*)C/2
对于购买者来说，一个合适的价格策略应当保证三项结合起来，当节省的费用大于增加的费用时，就可以接受价格折扣。即当：
+
EMBED
EMBED ，即DS/ Q*- DS/Q+ tPD
(Q-Q*)C/2时，接受价格折扣。否者，不接受折扣，仍按Q*订货。
2.成本比较法：即比较折扣前后的总费用TC
折扣前：TC=PD+ DS/ Q*+ Q*C/2
折扣后：TC= P(1-t)D+ DS/Q+ QC/2
然后比较两者大小，若前者大，则接受价格折扣；否则，不接受。
二、超额部分分段价格折扣
与普通数量折扣价格奖励计划相对应，超额部分分段价格折扣也称特殊数量折扣价格奖励计划（Noninclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan），指所降低的报价或者优惠的价格仅仅适用于数量折扣范围内的产品。因为这种优惠仅仅是对于超过某一数量或价格的超过量而言，所以认为这是一种“增量”的优惠。对于这种“增量”优惠采购模型，由于不同的数量所采用的价格不同，使用通常的求解经济采购批量的方法是不可行的。因此必须予以改进。
对于这种情况下订购批量的确定，将在下一章进行具体深入的探讨，这里先介绍一个较为粗超的用以比较的方法，即反复试算法。
一个分解点问题求解的反复试算法：
为了方便分析，首先设该问题下只有一个折扣分界点。那么该折扣分解点将采购区间分割为两个区间：如果采购量位于第一个采购区间，即：采购量Q ∈(0,
)时，则采购价格为
；
如果采购量位于第二个采购区间，即：采购量Q ∈[
,+ ∞]时，则可以根据采购价格的不同，将采购量可以分为两部分：（1）对于采购量
，采购价格为
；（2）对于采购量=(Q-
)，采购价格为
。则对于采购量为Q的产品而言，其平均采购价格为：
（2-1）
由于
、
和
是已知的常量，所以可得：当采购量大于折扣点采购数量时，平均价格是采购数量的函数，即：
＝f(Q)。同时，可知：随着Q 的增加，平均采购价格是递减的。
设全年购买量不变，为常量D。每次采购成本为K，单位货物的年库存成本为C。如果每次采购数量为Q，根据总成本公式可知：购入成本为
Q；采购成本为DK/Q；库存成本为QC/2 。那么，随着Q 的增加，购入成本递减，采购成本递减，而库存成本递增，这体现了物流成本的悖反规律。
根据物流总成本最小的原则，可以通过“反复试算法” (TrialAnd Errors)来找到问题的答案。对于不同的采购批量
,总成本为:
（2-2）
如果单位货物的年库存成本和采购价格为线性关系，设单位货物的年库存成本率为f，即C=P ×f，则库存成本为
。那么，上式可以写成：
（2-3）
然后通过求出对应于不同采购量的平均价格，继而求出对应的总成本，使总成本最小的采购量就是选择的最佳的订购量。但是这种算法存在一个很大的缺点，在选择不同的采购量以计算各自的总成本时具有一定的盲目性，在复杂的实际运用中往往计算很复杂，而且较为粗糙，不够精确，因此可行性不高。反复试算法的应用举例请看第四章。
第三章 库存控制中价格折扣模型分析
为了比较全面了解库存控制中价格折扣问题的模型，本章从经济批量一般公式入手，进而逐一讨论两种价格折扣方式的模型：一、分段整体价格折扣库存模型；二、超额部分分段价格折扣库存模型。并对传统的经济批量模型的假设条件作相应的调整。
第一节 经济订货批量的模型
一、经济订货批量模型的构成
经济订货批量是能使企业在存货上所花费的总成本最低的每次订货批量。也就是说 ,每次订货批量高于或低于经济订货批量都会导致在存货上的总成本升高。企业在存货上的总成本 ,究竟包括哪些内容呢 ?
从理论上讲 ,可分为以下四类:
1．采购成本
由商品材料物资的买价和运杂费所构成的成本 ,是采购单价和数量的乘积。
2．订货成本
企业为组织订货业务而发生的成本 ,包括邮资、 验收、 付款、 差旅费等与订货次数成正比的属于变动成本性质的订货成本和采购部门的管理费、 采购人员的工资等与订货次数无关的属于固定成本性质的订货成本。
3．储存成本
企业为持有存货而发生的成本 ,包括存货占用资金应计利息、仓储费用、 保险费用、 存货残损霉变损失等与存货量成正比的属于变动成本性质的储存成本和仓库折旧费、 仓库职工固定月工资等与储存量无关的属于固定成本性质的储存成本。
4．缺货成本
由于未能保持足够存货而给企业的生产和销售带来的一切损失 ,往往是由于企业过度需求或延期到货造成的。
而从经济订货批量的假设条件可知，总的库存成本不包括缺货成本。
二、经济订货批量的模型分析
经济批量订货的模型如图3-1所示，该模型实际上反映了库存量和时间之间的一个关系。通常，以产品成本、采购成本和储存成本的总和来表示总成本，即：
总成本=产品成本＋采购成本+储存成本
图3-1 经济批量订货模型
设D为年需求量，P为物料单价，S为一次订货的业务成本，H为单位存货的年成本,则每年的定购次数可以用年需求量除以每次订货的批量得到，即为:D/Q。其中：
产品成本＝产品单价×需求量=
采购成本＝每次采购成本×该期的采购次数=
储存成本＝平均库存量×该期单位储存成本=
由此可以计算每年总成本,以TC表示，TC 为：
TC=+ （3-1）
按照使总成本最小的原则，计算订购批量。方法是对上式以Q为变量的表达式求导，并设其一阶导数为零。具体计算过程如下：
则最佳批量
（3-2）
例1：某生产企业对物料A的年需求量为D=2500单位，订购成本S=80元/次，存储成本H=12元/单位.年，提前期T=7天，单价P=120元，求经济订购批量。
解：
年总成本为：
第二节 分段整体价格折扣库存模型
以往我们讨论供应商、 零售商的定价问题时通常假设货物单价是常量, 得出的存贮策略都与货物单价无关。现在介绍货物单价随订购 ( 或生产) 数量而变化时的存贮策略。 我们常看到一种商品有所谓零售价、 批发价和出厂价, 购买同一种商品的数量不同, 商品单价也不同。 一般情况下购买数量越多, 商品单价越低。本节将介绍分段整体价格折扣的库存模型。
一、模型假设与建立
与经济订货批量的EOQ公式假设条件不同，这里的货物单价是本模型的一个重要参数，另外，为便于理解，方便计算，作如下假设：
(1) 当存贮降至零时, 可以立即得到补充 ( 即生产时间或拖后时间很短, 可以近似看作零) ;
(2)不允许缺货;
(3) 需求是连续的、均匀的, 设需求速度 R ( 单位时间的需求量) 为常数, 则 t 时间的需求量为 Rt;
(4) 每次订货量不变, 订购费不变 ( 每次生产量不变, 装配费不变)；
(5)单位存贮费不变。
假定每隔 t 时间补充一次存贮, 那订货量必须满足 t 时间的需求 Rt, 即订货量为 Q, Q=Rt, 订购费为
, 货物单价K(Q) , 单位存贮费用为
,t 时间内总的平均费用为 C(Q)。
此时, 货物单价不再是一个恒定不变的常数, 而是随订货量的变化而变化, 一般情况下 K(Q)并不是连续函数(因为这时生产商不好定价) , 所以我们把 K(Q)定义为分阶段函数(如图3-2)。
SHAPE \* MERGEFORMAT
当订购量为 Q 时, 一个周期内所需费用为:
其中，平均每单位货物所需费用为 :
其中Q
(0,
) （3-3）
其中Q
（3-4）
其中Q
。 （3-5）
如图3-3所示：
SHAPE \* MERGEFORMAT
设最佳订购批量为 Q*, 下面给出价格所有折扣情况下, 求解步骤:
( 1)对
(Q)(不考虑定义域)求得极值点为
。这里需要特别注意的是订货价格是不连续的。在这种情况下对于不连续的费用曲线求一阶导数所得的极值,可能并不是得到的成本最低点,它的成本最低点可能在某段连续曲线的经济订货批量(简称 EOQ)点上,也可能在批量折扣的价格突变点上。因此要计算各点上的库存总成本值,然后选取其中成本最低点所对应
的订货量作为订货点。
( 2)若
<
, 计算
由 min{
(
),
(
),
(
)}得到单位货物最小费用的订购批量 Q*。例如:
min{
(
),
(
),
(
)}=
(
), 则取 Q*=
。
( 3) 若
≤
<
, 计算
(
)、
(
), 由 min{
(
),
(
)}决定 Q*
( 4)若
≤
, 则取 Q*=
以上步骤易于推广到单价折扣分 m 个等级的情况。比如说定购量为 Q, 其单价为 K(Q),则
对应的平均单位货物所需费用为：
，其中j=1,2,
,m （3-6）
对
(Q) 求得极值点为
。若
≤
<
, 求min{
(
),
(
),…,
(
)},设从此式得到的最小值为
(
),则取 Q*=
。
二、模型的简单应用
例 某厂每年需某种元件 5 000 个, 每次订购费
=50元, 保管费每件每年 C1=1 元, 不允许缺货。元件单价 K随采购数量不同而有变化。
解：利用EOQ公式计算
(个)
=（元/个）
=（元/个）
所以最佳订购量Q=1000。
第三节 超额部分分段价格折扣模型
上一节对分段价格折扣库存控制模型作了较为深入的分析，本节将对经济订货批量假设作了进一步改进, 重点研究仓库容量无限下具有超额部分分段价格优惠的存贮管理模型问题, 对模型进行了求解, 给出相应的最优存贮策略, 并通过实例说明了模型应用。 该模型的建立, 使库存管理问题的研究更符合实际。
一、模型假设与建立
为了建立仓库容量无限且具有超额部分分段价格优惠的存贮管理模型, 本文作了如下假设:
(1)需求速率是连续、均匀的, 记为R ;
(2)单位产品单位时间内的存贮费用记为
, 每次订货费为
;
(3)所购货物的交货是及时的, 同时不允许缺货;
(4)仓库容量足够大;
(5)所购货物单价与订购批量有关, 价格折扣方式为超额部分分段计价优惠法, 即: 当订货量Q<q时, 货物单价为
; 当订货量Q
q时，其中的数量q 以价格
计价, 超额部分Q-q 以价格
计价, 且
>
, q为参数, 并将货物单价记作K(Q).
当订货量为Q 时, 存贮系统在一个周期内的总费用为:
+
+ K(Q)Q （3-7）
式中：
为一个周期内的存贮费;
为订购费用; K(Q)Q 为货物的购货成本, 其大小取决于价格折扣方式和订货量为Q 。
当Q<q时，有
+
+
EMBED （3-8）
当Q
q时，有
+
+
EMBED +
(Q-
) （3-9）
为了衡量存贮策略的优劣, 以每单位货物的平均费用为评价指标函数, 该函数可表示为:
当Q<
时，有
(3-10)
当Q
EMBED 时，有
=
(3-11)
首先, 讨论
和
曲线的形状和二者的位置关系, 这里暂不考虑订货批量Q 的定义域范围。
由于
和
的二阶导数均大于零，故
和
都是严格凹函数,因此二者都有唯一的最小值。
令
=0和
=0,求得
和
的最小值点分别为：
,
(3-12)
显然
EMBED
EMBED .
又因为
-
=(
-
)(1-
) , 所以,当Q<q时,利用
>
有
<
;当Q>q时,有
>
;而参数q是方程
=
之解, 即曲线
和
之交点。
因此, 通过上述的分析得出函数
和
在不考虑订货批量Q 的定义域范围内的图形形状以及二者位置关系(见图3-4所示)。
然后, 利用图3-4来研究本文所提出的最优存贮模型的解。 显然, 该问题的解依赖于
和
两曲线的交点所决定的q 以及
和
的最小值点
和
的大小。 今讨论如下:
〈1〉若q<
,则表明曲线
和曲线
的交点位于
曲线下降部分, 这时由图3-4(a),易得出最优订货量EOQ =
.
〈2〉 若q=
,则表明曲线
和曲线
的交点位于
曲线最低点处, 最优订货量EOQ =
.如图3-4(b)所示。
〈3〉 若
<q<
, 则表明曲线
和曲线
的交点位于
曲线上升部分, 若min{
,
}=
,则EOQ=
.图3-4(c)所示。
〈4〉 若q=
,则表明曲线
和
的交点位于
曲线的最低点处, 这时由图1易得出最优订货量EOQ =
.图3-4(d)所示。
〈5〉 若q>
,则表明曲线
和
的交点位于
曲线上升部分, 这时由图1易得出最优订货量EOQ=
.图3-4(e)所示。
综合以上分析得到仓库容量足够大且价格折扣方式为分段超额部分价格优惠的存贮管理模型的解为:
当q
EMBED 时, 最优订货量EOQ =
;当
<q<
时,最优订货量EOQ 由min{
,
}得出; 当q
时,最优订货量EOQ =
.最优订货周期
（3-13）
SHAPE \* MERGEFORMAT
二、模型的简单应用
下面通过一个例子说明模型的应用。
例 某公司采用无安全库存量的存贮策略, 每年需电感5000个,每次订购费50元, 保管费用每年每个1元,不允许缺货。 供货方给出的价格折扣方式为超额部分分段价格优惠法, 即若一次采购量少于或等于1500个,每个单价3元, 一次采购量超过1500个的, 则超过1500个的部分每个单价元, 问该公司每次采购多少个才能使总库存费用最少?
解: 已知
= 1元每年每个,
= 50元每次,
= 3元每个,
= 118元每个, q= 1500个, R = 5000个每年，利用（3-12）式得
由于Q1<q<Q2,因此需分别计算
和
(
)的值,然后通过比较以确定最优订货量。
EMBED
=
因为min{
(
),
(
)}=
(
)=,所以最优订货量EOQ=
=4301个，最优订货周期：
T=EOQ/R=4301/5000=年。
第四章 S零售企业库存控制分析及改进
第一节 S零售企业背景介绍
S零售企业创建于80年代初，是一家以发展连锁经营为特色的超市公司。经过二十多年的扩张和发展，已初具规模。其销售的产品几乎包括了所有的日常用品及各种琳琅满目的食品，此外，还有小型电器等等。2003年，其销售规模同比增长%，第七次位于中国连锁业百强的前茅。对中国而言，像沃尔玛那样零售为王的日子还远未到来。另外，随着中国兑现入世承诺，2004年中国零售业将全面对外资开放，竞争将空前激烈,零售利润也一压再压，这些都是中国零售业所面临的现实。对于这种情况，该企业的管理层认为必须有所行动。作为国内实力强大的零售企业，它正处于一个高速成长并具极大潜力的市场中。另外，更为重要的一点是，公司需要进一步认清零售业面临的挑战和现实，要转变粗放型经营的陈旧观念，摒弃旧的不好的技术与管理思想，积极引进先进的技术，寻找新的业务模式、盈利模式增长动力等等，以实现经济效益的持续稳定。
鉴于此，S企业充分考虑了零售业务的两大特性，并将其定义为感性的前台和理性的后台。前台是消费者在每一消费环境里都能感受到得氛围，每一件商品都是可选择的、可真是的触摸到，它是直观和感性的。而后台更强调零售业务的专业性。因为现实意义上的零售技术不再是简单的进、销、调、存的管理，而是利用信息化技术不断整合商业资源的过程，因此，不能简单地从一个门店的布局与陈设来判断一个零售业的实力。对S公司来说，伴随其零售业态的不断丰富和规模的不断扩张，其以采购、物流配送、信息管理、营销和生鲜经营管理五大技术为核心的技术体系正不断地提升和统一。
随着经济的飞速发展及市场经济的繁荣，S公司也充分认识到零售业要想在竞争相当激烈的环境下立于不败之地，靠丰厚的销售利润盈利的年代已成过去。于是，零售业投资者不得不急于寻找新的利润源。于是对物流的重要性的认识成为了管理的重点，而要使物流运作合理，充分压缩物流费用从而提高企业的效益，最关键的就是使库存保持一个合理的水平。
第二节 S零售企业现行库存控制与改进的模型比较
一、S企业原始库存控制方法
80年代初，该超市的管理重点是如何扩大企业规模，增大销售利润，而很少考虑到物流成本给企业经济效益带来的影响，因此当时该企业对库存的控制较为粗糙。举其中的一种商品—毛巾来说明S企业80年代初较为原始的库存控制方法。
某种毛巾每年的预计需求量稳在2600 条。采购订单的准备成本为每订单10 元，库存持有成本每年为20％。供应商提出两种报价：采购量小于500 条时，价格为5 元/ 条；如果采购量大于或等于500个，则对多于500的数量价格优惠5%。该超市在选择采购批量是综合考虑了采购成本、订货成本及库存成本，由于采购成本与订货成本随着订购量的增大而减小，而库存成本却随着订购量的增加而上升，为了平衡三项的成本，使其尽量的低，该超市以前库存控制用的是反复试算法（见第二章）。其计算方法如下：
按照公式3-1，先求出对应于不同采购量的平均价格，然后按照公式3-3求出对应的总成本。为了计算方便，从300 开始试算，并以100 为步长向前移动。可得如表4-1 所示：
表4-1
平均价格
产品成本
采购成本
储存成本
总成本
300
5
13000
150
13237
400
5
13000
65
200
13265
500
5
13000
52
250
13302
600
12896
13237
800
12766
13193
900
12714
13183
1000
12688
26
488
13202
1100
12636
13194
通过计算可知：最优采购数量为900。最小总成本为13183。反复试算法将库存问题变成了离散型的，这种方法虽然能基本解决问题，但这种解决方法是近似的。
二、改进的库存控制模型分析
然而，经济环境已发生巨大的改变，S零售企业的管理者也愈来愈感觉到这种库存订购法存在的弊端，有必要进行改进。
能不能有更精确点的方法呢？下面用超额部分分段价格折扣模型重新计算。
第一步：根据3-12，得
=228,
=838; 显然，
<q<
第二步：根据3-10，得
=; 根据3-11，得
=
第三步：因为
>
，所以应选择
第四步：根据3-9计算一个周期内的费用为；
所以总费用为
EMBED =
通过比较显然可以发现，反复试算法的计算思路较为直接，能够大致地确定费用最小的订购量，但是计算量很大，效率低，在大批量的采购中，往往会由于略微的差别，成本费用会大相径庭，甚至给企业造成巨大的损失，所以在现代物流中，这种算法在大量的采购和库存控制中已逐渐被淘汰。而为适应现代库存控制要求，针对价格折扣的库存控制模型研究也逐渐引起了广泛的关注，上述超额部分分段价格折扣模型就是其中的一类，相对于反复计算法，它对成本的控制更加严格，对采购批量的确定更加科学，为企业节省了更多的费用，继而为企业创造了更多的利润空间。
第五章 总结
目前，企业面临着不断急剧变化的市场需求及缩短交货期、提高质量、降低成本和改进服务的压力等问题，因此库存与库存控制越来越受到企业的重视。在很多中小型制造企业里库存成本，特别是原材料库存成本占用了大量的流动资金。所以减少原材料库存，降低库存成本是库存控制的关键，也是企业“第三个利润源泉”的重点所在。
如何针对不同的市场环境，有针对性地来制定企业库存控制策略对于零售企
业来说都至关重要。本文就是针对零售企业在实际库存控制中经常遇到的价格折扣问题，分别对其两类数学模型进行分析与应用，按照物流中的背反原理平衡采购费用、订货费用及储存费用，以确定实现总成本最低的采购批量。
但是，由于条件的变化，折扣价格下的最优采购数量的确定，不能直接套用基本经济订货批量模型。本文根据经济订货批量模型的求解方法，通过函数分析，确定了该种情况下最优采购数量，并通过实例进行了比较。该方法可以使得最优数量的确定更加精确，并为实际问题的求解提供了一种思路和方法。
但是，本模型仍具有较多的假设前提，仍是在理想状态下建立的。所以,在实际的运用过程中，要注意该模型与实际问题有机结合，具体问题具体分析，以免生搬硬套带来的弊端。
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订货点� EMBED ���
现有库存量
T
时间
订货批量Q
平均使用率d
平均库存量� EMBED ���
0
0
单价K(Q)
图3-2 货物单价函数图
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
0
图3-3 平均每单位货物所需费用
C(Q)
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
0
Q
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
(a)
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
Q
0
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
0
Q
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
(b)
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
0
Q
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
(c)
(d)
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
0
Q
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
� EMBED \* MERGEFORMAT ���
(e)
图3-4 单位货物平均库存费用函数图
� 吴清一. 物流管理[M].北京:中国物资出版社.第2版.60-61.
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