离散小波变换与框架
————对连续小波的完全离散化
对连续小波的离散化处理：
连续小波离散化后的问题：
分析：
函数可以被其“小波系数”完全表征。
分析：
我们希望的重构方法是：
分析：
为了保证“重构”方法的稳定性，我们需要某种“稳定性”条件。
框架的定义：
定理：
定理的证明思想：
算子T有如下特点：
1. T是连续算子。
2. T是一一映射。
3. T－1也是连续算子。
定理的证明思想：
对定理的进一步讨论：
对定理的进一步讨论：
对定理的进一步讨论：
定理：
一些注释：
若ψ是一个框架，则它必是一个二进小波。
今后，通常取b0=1.
一些注释：
在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的办法有两种。
加强框架的生成条件。（例如：正交，半正交条件）
近似。
对正交与半正交小波的讨论：
（以下我们讨论的小波被限制在ψ生成的框架是Riesz基的条件下。）
正交与半正交小波的定义：
正交小波的自对偶性：
判断小波是否具有正交性的方法：
证明：
半正交小波的对偶：
证明：
关于定理的进一步讨论：
定理的证明过程中隐含了把一个半正交小波变为正交小波的方法。
关于定理的进一步讨论：
对非半正交小波，上述“正交化”过程是不能成立的。
关于定理的进一步讨论：
R_小波的定义：
关于连续小波变换的离散化：
定理：
关于连续小波变换的离散化：
