统计与决策 !""#年 $!月!下"
整到 !%&% 年的 &%’(!#)&’)!#*+’##$ 一%二%三产业增加值平
均增速为 )’)%,%&%’)),%&*’)+,$ 人均地区生产总值将由
!%%) 年的 &-(&- 元 .人达到 !%&% 年的 !-&*! 元 .人 & 净增
/*&( 元 .人$ 有关’十一五(时期主导产业部门的增长对国民
经济带动影响程度和各年度国民经济主要指标预测值详见
表 &%!$
!! !!"#$%&’
该模型所采用的基础数据库建立在投入产出模型数据
库之上&不仅易使不同方法中的各种模型实现系统化&也提
高了模型的实用性&保证了结合后模型的应用价值$同时&将
投入产出模型与层次分析方法及多目标规划方法有机结合
起来&使主导产业部门的选择%发展和对国民经济的带动影
响及优化问题得到了系统解决&使定量研究与定性研究达到
了较为理想的统一&有助于为政府制定中长期规划和决策科
学化提供较好的技术支持$
主导产业的选择及优化模型可根据研究问题的需要&在
投入产出模型数据库基础上设定不同层次结构模型%目标函
数和约束条件$虽然在本文利用模型对一个区域的’十一五(
规划进行了实证分析&但该方法对于研究一个国家主导产业
选择及其发展%优化问题同样适用$
参考文献!
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究RIN’数量经济技术经济研究"!%%*"(/)’
R&%N河北省统计局’!%%! 年度河北省投入产出表R]NO!%%)’
"责任编辑 .李友平#
摘 要!在初始资本金较大的场合"本文探讨了利率的波动对于保险公司盈亏状况的影响* 在索
赔来到过程为广义 L;648@ 风险过程+索赔额服从 ^4;A:5 分布"以及利息力度PU8:A;AK: H5;=AQ受到随机扩
散项的干扰下"获得了保险公司亏损概率的估计, 该结果推广了许多最新文献的相关结果"与我国保
险业的利差损实际状况相吻合,
关键词!广义 L;648@ 风险模型-破产概率-_;5Y8348 运动项-^4;A:5 分布
中图分类号‘ [!&&’& 文献标识码!W 文章编号!&%%!V#-(+"!%%#$&!V%%&!V%*
广义 L;648@模型下利率波动对保险资产的影响
江 涛"郑 飞
!南京财经大学 金融学院&南京 !&%%%*"
"! !()
在研究保险资产的盈亏状态时& 如果不考虑利率因素&
那么最为基本的模型是风险理论中的 >;4GA;VC<8BDA;@ 模
型$ 在该模型中&盈余过程的表达式为 a!:"b<c=:V
dP:Q
3 b &
!23&这
里 <e% 为保险公司的初始资本金&=e% 为保率&d!:"为时刻 :
之前来到的索赔个数&索赔来到的过程服从泊松过程 P即来
到的间隔是指数分布Q&23是索赔量& 它们是独立同分布的&
且与 dP:Q独立$ 也就是说&盈余过程为时间 : 的总资产额$ 如
果索赔来到的过程为更新过程&则 dP:Q又称为更新计数过程$
如果盈余首次为负值的话&则用风险理论的术语来说&就是
发生了破产&而相应的概率就称为破产概率P确切地&称为终
极时间的破产概率 Q&记为 !P<Q&即 !P<Qb^PaP:Qf%&存在某个
%f:fg"$ 在 >;4GA;VC<8BDA;@ 模型下&如下的结果是经典的#
!P<Qb "=
<
%
"R&VJPhQ1!P<VhQBhc "=
g
:
" R&V^PhQ1Bh$ 这就是著名的
基金项目!国家自然科学基金项目(+%-+&%+&)-国家统计局统计科学研究项目(C2%*&+)-江苏省教育厅哲社研究项目
(%-9I_#*%%%))
* $ + ,
!"
万方数据
统计与决策 !""#年 $!月!下"
关于破产概率的更新方程#可参见 %&’()* 等+,--./$ 其中 !
为泊松过程的参数#0+12是索赔额的分布函数$
常数利息力度场合是对于经典 3)45()6789:;()< 模型的
直接而有意义的推广# 其盈余过程的表达式变为 = >?2@8()?A
B
8
C
!()>?6*2:*6 D>?2
E @ ,
"FG(6)>?6"G /#其中 ) 为利息力度#"G@
G
E @ ,
"#E##E 为索
赔到来的时间间隔 >H9?()64))EI4J/$ KJ8L(JJ;()< 和 M?4:?58JJ()
>$--N2在索赔来到过程为泊松过程#索赔额为帕雷托+04)(?&2
分布+即 O+82@16$7+122的场合#得到了破产概率如下的渐近等
价公式%%+82P !$) O+82
$
这里#O@$6O#O 为索赔额的分布函数#! 为泊松过程的
参数#$ 为帕雷托分布中的参数#7!1"是一慢变函数+本文的
极限过程#除非另外有说明#均为 8#Q2$ R49< +!CCS2把结果
推广到了更新过程# 得到了破产概率的渐近表达式%% +82P
T(
6)$#,
,6T(
6)$#,
O+82#其中 #,为索赔来到的时间间隔$ 当索赔来到
过程服从泊松过程时##, 就服从指数分布# 此时即 KJ8L(JJU
;()< 和 M?4:?58JJ() +,--N2的结果$
本文对于上述结果进行了实质性的推广#在更加宽泛的
条件下探讨了破产概率问题$ 在本文中#我们考虑索赔到来
的时间间隔服从广义 T)J49< 分布#即 T)J49<+9V!E$!WVE$W2分
布的情形$该分布可以看作是 9 个参数不相等的指数分布的
共同分布#其概率密度的表达式为 G+?2@
9
E @ ,
"X
9
W@,VW$E
% !W!W6!E Y!E(
6!E ?
$
当 !,@!!@&@!9时#分布就转化为 T)J49<+9V!2分布$ 广义
T)J49< 分布在理论研究和实际应用上均有十分重要的意义#
可以参见 MZ8495E9< 7E 和 [&*( \4))E:&+!CC]2等$ 众所周知#
利率在运行的过程中#往往受到许多随机因素的影响#因此#
本文研究利息力度上具有 %)&’9E49 运动项#使之更加接近现
实$在索赔额分布上#本文采用较常见的 04)(?& 分布+即 O+82@
16$7+122$ 综上所述#我们考虑的盈余过程为%
=+?2@8()?A"’+?2AB
8
C
!()+?6*A"X’+?26’+’2Y:*6 D+?2
K @ ,
"FG()+?6"G 2A"X’+?26’+"G 2Y
这里的 %)&’9E49 运动项+也称为扩散项或者波动项2’+?2
PD+CV?2+正态分布2且与其它变量相互独立’常数 " 为波动系
数$
!! !!"#$%&’()
以下引理在主要结论的证明中起着至关重要的作用$引
理的证明可见 ^(*9EBG 和 _EJJ(G(9*>,--,2$
引理 对于随机加权级数 _@
Q
9 @ ,
"#9F9!其中#F9V9&, 为
非负的帕雷托型随机变量#且为独立同分布的##9V9&, 是另
外一个非负的随机变量序列# 且两个序列是相互独立的"如
果下面的两个条件之一成立%
>,2C‘$‘, 且对于某个 &aCV有
Q
9 @ ,
"T>#9$A&A#9$6&2‘Q’
>!2,’$‘Q 且对于某个 &aCV有
Q
9 @ ,
"T>#9$A&A#9$6&2
,
$A& ‘Q$
则有%
0>_a82PO>82
Q
9 @ ,
"T#9$$
下面的定理是本文的主要结果$
定理 若索赔额服从 04)(?& 型分布#考虑一般的更新过
程#其破产概率满足如下的渐近等价公式%
%!8"PO>82 TX(
6)$#, A
$
!
"
!
! #, Y
,6TX(
6)$#, A
$
!
"
!
! #, Y
这里的 $ 为 04)(?& 分布中的参数# 且满足 )a $"
!
!
$ 当
"@C 时#即 R49< >!CCS2的结果$ 利用该定理可以得到如下的
推论$
推论 若索赔额服从 04)(?& 型分布#对于 T)J>9V!E$!WVE$
W2风险模型V 其破产概率满足如下的渐近等价公式%
%>82@O>82
9
E @ ,
% !E
$)6 $
!"!
! A!E
,6
9
E @ ,
% !E
$)6 $
!"!
! A!E
当 "@CV9@, 时#% >82P !E$) O >82V
即 KJ8L(JJ;()< 和 M?4:?U
58JJ() >,--N2相应的结果$从该结果我们还可以知道#) 越大#
亏损的概率越小’反之就越大$这是显而易见的$而利息力度
的波动系数 " 越大#亏损的概率越大$
"! !*$+,-
定理的证明如下%首先可以将破产概率改写为 0>(6$)*6"’>?28
>?2‘CV存在 C‘?‘Q2#即 %>82@0>
Q
G @ ,
"FG(6)"G 6"’>"G 2a8AB
Q
C
! (6*)6"’>*2:*2$
在 )a "
!$
!
的条件下#利用江涛(闫海峰!!CC#"的方法#我
们可以得到%
%>82@0>
Q
G @ ,
"FG(6)"G 6"’>"G 2a8AB
Q
C
! (6*)6"’>*2:*2P0> Q
G @ ,
"FG(6)"G 6"’>"G 2a82
这是由于索赔额 FG 服从参数为$aC 的 04)(?& 分布#而
04)(?& 分布属于 7 族的#即 JE51#Q O >1A?2
O >12
$ 所以我们有%
0>
Q
G @ ,
"FG(6)"G 6"’>"G 2a8AB
Q
C
! (6*)6"’>*2:*2P0> Q
G @ ,
"FG(6)"G 6"’>"G 2a82
因此#我们只要得到 0>
Q
G @ ,
"FG(6)"G 6"’>"G 2a82的估计表达公式
即可$ 利用引理#我们有
0>
Q
G @ ,
"FG(6)"G 6"’>"G 2a8PO!8"
Q
G @ ,
"TX(6$)"G 6$"’>"G 2Y
Q
G @ ,
"T X( 6$)"G 6$"’>"G 2 Y 是一个无穷级数 $ 首先计算 TX(
$ . / 0
!"
万方数据
统计与决策 !""#年 $!月!下"
%!&"’ %!"()"’ *+得到#
,-.
%!&"’ %!"()"’ /
0,-.
%!&)"’ %"’%$ 1"’%2 /%!"-()"’ /%()"’%2 /1()"’%2 /+
0,-.
%!&#’ %!"()$’/
$.
%%&"’%2 %!"’%2 +
0 ,-.
%!&$2 1
!
!
"
!
! $2! "
’
由此可知
3
’ 0 2
#, -.%!4&%!"()"’ /+ 是一个无穷项的等比数列的
和%公比为 ,-.
%!&$2 1
!
!
"
!
! $2 +& 由假定 &5 !
!"!
!
%所以有#
&)6/78!6" ,-.
%%&$2 1
%
!
"
!
! $2 +
2%,-.
%%&$2 1
%
!
"
!
! $2 +
定理证毕&
推论的证明#如果 $27,&9:;<’=$’><=$>/分布%利用 ,&9?;@
分布的性质%我们可以把 $$改写成以下形式#
$$0
A
($1)!1’1*;
其中%*=7,BC:’=/%且*=相互独立%符号0
A
表示同分布%那么
,-.
%+&$’ 1
!
!
"
!
!
$2
+
0,-.
%:!&% !
!
"
!
! /:
*2 1*!1’1*;/
+
0,-.
%:!&% !
!
"
!
! /
*2
+$,-.
%:!&% !
!
"
!
! /
*!
+
’,-.
%:!&% !
!
"
!
! /*;+
0
;
= 0 2
% ’=
!&% !
!"!
! 1’=
代入有关的公式得#
&:6/78:6/
;
= 0 2
% ’=
!&% !
!"!
! 1’=
2%
;
= 0 2
% ’=
!&% !
!"!
! 1’=
推论证毕&
!! !!"#$%&
广义 ,&9?;@ 风险模型推广了传统的泊松过程%从而索赔
的时间间隔更具一般性%应用的险种更加广泛& 本文在利息
力度中考虑了扩散项%使之更加具有说服力& 因为在实际的
金融环境中%利率往往具有随机波动性& 本文的结果包含了
.&@ 和 FG?AGH699.&:$IIJ*及 K?;@:!""L*等的结果%并且
在更加宽泛的条件下得出结论%更具普遍性&
从上面的结论我们可以看出%在一定的范围内%波动系
数的增加将导致保险公司的亏损概率加大%也就是说%利率
波动对于保险公司的盈亏影响很大%因此%作为保险公司的
管理层%应该多从宏观的角度%密切关注利率的走向&
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G6?&=?9 NX6&;?9< !OOL<:$/P$%LM
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N6HC %f=\\64=X; (=GY TX;4G?;G ‘;G.&.4G 8X&[. -N+M a[G?
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2Q#M
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dCG=H?9 TXHE=;?G=X; X\ F.^.&?9 V.=;46&?;[. W&XG.[G=X;4 X; ?
].G.&X@.;.X64 ‘;46&?;[. WX&G\X9=X -N+M ‘;46&?;[.Pe? ?;A
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万方数据
