118 《数量经济技术经济研究))2007年第1期到易斯二元经济增长理拾筒一个数理描述徐毅(南京大学商学院国际贸易系)E摘要】本文在现代经济增长理论框架下构建了劳动力无限供给条件下的经济增长模型，重新阐释了刘易斯二元，经济增长理论的思想。本文分析表明，刘易黯二元，经济增长模型实际上是一个AK模型，这一点是以几何图示给出的刘易斯模翠所无法揭示的。另外，劳动力主眼供给所形成的微观机制上的AK类型的持续增长，也被现代经济增长理论所忽略。关键词刘易斯模型AK模型跨期决策中图分类号F061. 3 文献标识码A A Mathematical Description of Lewis’ Two-sector Economy Growth Theory Abstract: The paper constructs an economic growth model under the circum›stance of infinite labor supply which illuminates Lewis’ two-sεctor economic growth model exactly. In fact, Lewis’ economy growth model is an AK mode1 which has not been disclosed七ygeometric styled Lewis’ model. Furthermore. infi›nite labor supply leads the industry sector expand continually and therefore forms "AK" growth of industry sector in a micro sense, which is neglected by modern e›conomy theory. Key words: Lewis’ Economy Growth Model; AK Model; Intertemporal Con›sumption Decision X1J易斯增长模型CLewis，1954)描绘了二元经济下劳动力无限供给的经济增长图景。按照这一模型，经济结构自二元向一元转变过程中，由于传统部门对现代部门劳动力部持续供给，现代部门可以持续增长。这一影响广泛能模型是以几何图影的方式给出前，几街图示在表述上十分直观，却失之精确。令人费解的是，在X1J易斯增长模型诞生后的50多年里，没有对这一模型的数理描述。本文尝试在现代经济增长理论框架下结出刘易斯增长模型的数理形式，有趣的是，X1J易斯增长模型实最上是一个AK模型。??췲랽쫽뻝
119 刘易斯二元经济增长理论的一个数理描述一、理论模望1.假设(1)经济中的禀贼包括土培、劳动力L和资本K。经济中有商个部门，一个是农业部门，另一个是现代工业部门。土地仅在农业部门使用，资本仅在工业部门使用。劳动力可以在两个部门离自由移动。经济中没有技术进步。(2)由于土地供给固定和土地的特殊性景，农业部门的产出长期不变。该经济中劳动力十分丰富，工业部门尚未足够发达以吸纳足够多的劳动力，大量过剩的劳动力存在于农业部门，剩余劳动力对农业产出的贡献为00(3)随着工业部门的发展，资本和累不断增加，对劳动力的需求不新增加。由于存在大量过剩的劳动力，劳动力之坷的激烈竞争使得无论摄酶是多少，总会有大量的劳动力供给。徨劳动的报酬不可能太镜，西为剩余劳动力虽然对农业产出的贡献为0，但大量劳动力拥挤在土地上，每人都会从总产出中分~J尽管很少的一部分。可以把这种平均的收入作为藕余劳动力索取的工资。随着劳动力不断转移到工业部门，农业部门的人均收入也即索取的工资将会不断提高。如果剩余劳动力转移的速度很慢或剩余劳动力数量很大，以致于人均收入变化很小，我们可以把剩余劳动力索取的工资率看成是固定工资石。看或固定工资的另一个理由是，如果土地分割给若干个家庭，周每个家庭的收入是固定的，也可以把这种固定收入看成是固定工资号。从更为长期的角度来看，面定工资的假设不合理，我们将在文中放松自定工资的假设。2.模型(1)生产。工业部门的总和生产函数为C-D型=Y=KaLßα+ß=l (1) 工业部口由数量为LA的居民拥有，其崖饨农韭部门过剩的劳动力的数量L由其最大B住行为决定。产品的价格标准化为1，工业部门的最大化行为可表示为=Max 铃Ka (L十五B)ß-L(2) AWBLB 对L求一带导数并令其为0，可得1B(LA+LB户=是化筒，并令当=z，可得:豆JA1十z=(豆)l!a~(3) W LA 由(3)式可见，在满足(豆)l/af>1的条件下，就会有劳动力从农业部门流到工业部W LA 门。容易证明，这个条件等拚于在暖收剩余劳动以前工业部门的劳动边际生产力大于固定工资Wo捏工~主部门的最大化产品(2)表示为人均彭式。因为工业部门为数量为LA的居民拥有，所以人均产出为(2)式除以LAo??췲랽쫽뻝
120 《数量经济技术经济研究))2007年第1期Y ,K 。一一Cn)a(1 +z)ß一L’LA A 根据(3)式可把上式写成:y=是(豆)al卢一是(豆)lla+孟ww w y=是(丘)讪号二二十二IlP wρ 令(Jly/α号w=A，代人上式，其中y和是分别表示工业部门所有者的人均产出和资w ρ 本。上式可化需为=y=Ak十w(4) (2)跨期消费决策。工业部门的所有者追求终生的效用最大化，其行为表现为(其中p为行为人的贴现率): (5) M叫U即可t工韭部n曲投资为(假设不存在折i日): dK τ一=Y-cdt 化为人均的形式臼为工业部门的人口增长率): dk (6) JJ=(A-UK-c zu 工业部门单个所有者的问题为在(的式约束下求解(5)式，建立现值汉密尔顿函数z(7) H=U (c) +m ( (A一的是一c十w)设效用菌数为对数型，U (c) =lnc，对汉密尔顿画数分居求是和c的微分，可得=主H1一=f\(8) δc c 4些=-m() (9) dt ..-V ~ r’ 根据(8)式和〈的式可得z'前,,,,, A -d户一一n ρ' ι(10) 由(10)式可知，人均消费的增长速度是一个常数。由于消费水平始终处于增长状态，所以不存在稳定状态。为确保增长速度大子0，要求A-n-p>O，也就是工业部门的人刃增长率n不能太高，市呈必须有足够的瑞心以保证黠现率p较小。我们把注意力集中在"平费增长路径飞ep消费、资本、产出分黠以某个固定不变的速度增长。可以求出人均资本存量是的增长速度，(6)式两边民除以k:뎸??췲랽쫽뻝ꆤꆶ쎢룹秒벴통?쇮뿚놾禡⠴⠲캪犡䵡⠵릤릮ꆰ뮯죻⠶䣒⠷짨⠸摃돯⠹擃ꆮ⠱평쯹퓶뫢솿ꎡ唨?ㄲ쫽?〩뻝ꆣꩁ⦿탐캪뮡킧⠱틔ퟣ튵뎤퓶뮼䜩ァ튻솿⣀⠳짏볉캪죋뺣폃⠸ꎯ〩늻뗄믊늿싊뎤?㴨줨枡뺭⧊쪽⯃?죋뻹쏅갨몯듦퓶禡쏅죽튻슷꩐볃생?붿뿉?﮷뗄떥昩쫽붺採퓚뎤율⡁벼뗄늻뺶ꆮ쇮ꩣ⥡즰뮯톾쳹탎룶⭭캪튻洨촨횪컈쯙쫵릮춶쓜ꆱ㇖퇉볲쿖쪽쯹⠨뛔㤩ꩁꎬ뚨뛈뗨뺭뎢튻돰첫ꎬ⠱쿊캪?싊⣖폐䇒쫽쪽죋ힴꎬ볃튻맖캪룟벴퇐뷐ꎺꎹ⦣헟믖탍뿉뻹첬⠶튻뮿⦡맦폞뺿⢼뒳ꓒ?ꪹ뗄ꎬ뗃쿻ꆣ⧊ꋫꆷ⣀즣떲?ꓒ컊볉唨?뿒ꎺꎬ럑캪뛸뷁뀸⧓㈰??뿃떲쳢튻昩뗄좷붱쟒ꆢ뭁〷歺뭬억뿃캪挫㴱窡퓶놣?ㆣ뮴뇘쓪짠?쓋억퓚쪯涣뎤퓶겳ꎬ뗚䐩탫놾꾿?陸쓈⠶겶ꩉ쯙뎤㇆?폐ꆢ?쏦뭣탕쮿⧊풺뛈쯙퓓?듺?ퟣ닺??뷔뫃?쫇뛈?줩릻돶⯃죋럇볊?튻듳?쪯ꎺ뗄럖꓂﮶룶폚짏쓍뇰?헉쨩싇?뎣澣蝹ꎺ꿊쫽곒탄틔쪽쓐ﶷꆣ틔쒳ꟓ㔩횱평놣룶ꎬ쏗쪽폚튻횤만ꎬ쿻훤쳹뚨웤붨잺럑튻쿖늻꾣솢쵦쮮瀾훐싊뇤곆쿖뗄욽澣ꆻ뗄횵캢쪼곒禺ソ쯙탎몺럖훕늾ꪱ쏜ꎬ뒦췊쿐뛈춼뛻뿉폚잹ꆡ퓶훎뛙뗃퓶ꓒ즷ꏎ뎤ꨨ몯ꎺ뎤떲틃ꆣ횱웤쫽ힴ뿃잰뿉훐ꎺ첬억퇗틔ꆻꎬ쓈ꋒ쟳?쮿돶?ꚼ죋뺹꿖뻹탔ꓒ?놾냆듦떲?뿃엋陸탕?쓈쮾零荒췗?
刘易斯二元经济增长理论的一个数理描述 121 FIf---2··A-d 二是'走A 十-›响H定(11) 观察(11)式右边最后一项7，当人均资本不断增加时，这一项将趋于0，并且在平衡增长路径上云是一常数，班以人均资本存量是的增长速度在平衡增长路径上保持不变。(3)小结。①当资本权累不断增加时，可以得到出7=0，根据〈ω和(11)式可得云=p，平衡增长路径上的储蓄率为:f一盈L圭生二旦二2(12) -y A 从(12)式可以看出，人口增长率租贴现率培与储蓄率负相关。百资本的边际生产力A与储蓄率正相关。②在平衡增长路径上人均消费、人均资本存量以及人均产出以相同速度增长:g=A-n-p 表示为储蓄率的函数:g二=As(13) ③在该模型中不存在过搜动态。这一点可以通过求解关于C和聋的微分方程组看出，我们省略了这一过程。④还可以得到劳动力转移数量的路径。根据(3)式可得z字=(主〉陆学al W al 两边同除以Z，并豆因为lim+=O，可以得到z的增长率为zt-= k Il--i h--a A Z 一n ρs (14) 可晃，在平衡增长路径上，已经转移的剩余劳动力存量与工业部门所有者存量的比例不新增加，并豆以固定的速度增长。3.蜀定工资假设的放松在以上的分析中，我们维持剩余劳动力索取固定工资的假设。现在假设工资可变，剩余劳动力索取工资以其在农业部门的收入为标准。农业部门的总产出长期不变，但人均收入因为劳动力不断转移到工盘部n币不断提高。也就是说，剩余劳动力的工资与工盘部门暖收的剩余劳动力的数量成正比。最设工资满足(其中百和Woj:专为营数): 一-/Wo W二W一(15) LB ??췲랽쫽뻝
122 《数量经济技术经济研究>>2007年第1期重复。)式至(4)式的求解过程，可得z叫-w A 十’R y ---L(16) 比较(16)式与(4)式，生产函数的基本结构并没有改变，只是多出了一项不新减小的手。容易证明，这样的变化对平衡增长路径上的浩费没有影畴，了自费的增长速度被然由LA (10)式表示。表示资本变化的(11)式变为2dk I "';"-lk=A-n一一÷一十卫生L(17) dt I'~ . ~ .. k . k 'L是A当资本积累不断增加，可以得到lim~十旦J07=0，同样可以获得稳定的增长速度。比z→∞是L是A较(11)和(17)式可以发现，工资可变情况下，需要更多曲资本积累才能使走向稳定速度逼近。但并不改变固定工资情彭下的基本结论。4.开或经济的简单讨论工业部门吸收剩余劳动力是受其利踊最大化行为的驱使，与没有剩余劳动力梧比，显然提高了工业部门的利擂。因为完全竞争，工业部门的利润为0，~号自润最大化等价子产出的最大化。具有固定工资的剩余劳动力的坦人，降抵了产出中的工资部分，但提高了资本的收益，总产出会因此而提高。发达富家工资水平较高，把资本转移到具有较纸工资本平的发展中国家，资本的枝益将增加。把资本转移到劳动力无限供给的发展中昌家，资本将获得更高的收益。在我们的模型中由于规模报酬不变，并且AK类型的生产函数是微观意义上的，因此，对于实物资本意义的FDI同样适用，无暇供给的劳动力因此是FDI持续流人的重要动因。FDI持续流人是资本逐利的结果，同时也如速了藉余劳动力转移的速度。当然，FDI的流人带来的产出在其收入分配上有别于国内资本。不过，进行深入的讨论将远离我们的主题。5.刘易斯增长模型的再阐释(1)劳动力无限供给意味着给定任街的劳动工资，需求方都能获得需要的劳动力。在不存在劳动力的自由流动的清况下，工业部门存在自身的劳动边际生产力，这一劳动边际生产力会随着资本积累的增加不断提高。当这个劳动边际生产力高于农业藕余劳动力索取的工资时，并旦劳动力可以在部门闻自由流动时，工业部门的最统决策是雇铝更多的劳动力，使劳动要素的边际生产力下降到剩余劳动力索取的固定工资。工业部门只付给剩余劳动力望定工资，形成微观上的线性的AK型的生产函数。这一微观扭制上的生产函数决定经济增长路径，即经济不断增长，在平衡增长路径上保持不变的增长率。(2)此外，在放松固定工资假设后，该模型的结梅并没有受到太多影响，只是一些变量的运动轨迹发生了细微的变化。工资可变情况下，需要更多的资本积累才能使h自稳定速度逼近，即经济依然可以保持持续的增长，但剩余劳动力索取工资的提高将减少工业对剩余劳动力的吸纳力，需要更长时间才能逼近平衡增长路径。工业部门劳动边际生产力与剩余劳动力索取工资的差距是工业部门吸收剩余劳动力速度的关键。??췲랽쫽뻝
刘易斯二元经济增长理论的一个数理描述 123 (3)发震中蜀家对刘易斯增长模型存在错误理解。:XtJ易斯增长模型在凡何上的表述十分直观，部容易产生误解。在刘易斯模型中工业部门的扩张来自于利润的喜投资，工业部门不断扩张的再时不断吸收农业部门的莉余劳动力，二元经济结构不断得驾改变。对于发展中国家市言，刘易茹模型有足够的暖引力，因为政策制定者似乎可以通过加快工业部门的积累来加快工业的扩张从再加快二元经济结构的消除过程。然雨，这一过程意味着必须以捧低工资也就是降低消费水平为找份，消费水平降低的商时也降低了工韭部门的边露劳动生产力，黯少了与剩余劳动力索取工资的差距。这样的过程可能会提高工韭部门的发展速度，但不能提高工业部门对农业剩余劳动力的吸技速度，缺少剩余劳动力的转移，受边际报雷H递减规律的作用，工业部门的增长很快向薪吉典的稳态收敛，如果没有创新等菌素的出现，工业部门的增长将会停滞。这己为众多发展中国家和前计划经济自家的发震经盖房证实，工业有所发展程很快失去增长动力，农业没有得到很大改观。二、结论我们在现代经济增长理论在架~构建了劳动力元限供给条件下的经济增长模型，重新羁释了刘易斯二元经济增长模型的思想。茵对无限的劳动供给，经济行为人的最优跨期消费决策导致工业部门的不断扩张，从而影成工业部口微观机制上AK类型的增长。在平衡增长路径上，人均消费增长率、资本增长率和产出增长率是不变的常数。:XtJ易斯二元经济增长摸型实际上是一个AK模型，这一点是以几部图示给出的荒易斯模型所无法揭示的。另外，劳动力无限拱给所形成的AK类型的持续增长，也被现代经济增长理论所忽略①。参考文献[lJ Lewis，人，Economic Develo户mentwith Unlimited Supply of Labor CJJ, The Manchester School of Economics and Social Studies, 1954，钮，139~191. [2J Barro, R. J. , Government spending in a simple model of endogenous growth CJJ, Journal of po›litical economy, 19剖，罚，103~125. [3J Lucas, R. E. Jr. , on the mechanics of eC佣omicdeveloρment [口，Joumal of monetary econom-ics, 1988, 22, 3~42. [4J蒋中-:<<动态最住化基础>>[MJ，商务印书馆，2003。[5J袁志割、宋铮((离级宏观经济学))[MJ.复豆大学出版社.2001。[6J洪银兴<<发展经济学与中吕经济发展>>[M]，高等教育出版社.2001。〈责任编辑:啡、王宾〉① 新古典经济增长理论的基本命题是经济增长的收敛性，而一些经验研究否认了这一命题。新古典模型中收敛性产生的原因在于生产远数边际报酬递减的性质，为了解释持续的经济增长，内生经济增长理论构建一些边际报酬不递减的生产函数，比如B缸rO(1990)的单要素线性生产函数(y=A川、Lucas(l♀88)引人人力资本的生产函数(y=A是a1a(uh-))等，这一类文献在经济增长理论中被称为AK模型。在这类文献中，尚豆没有把劳动力无限供给作为持续增长的源泉而加以考虑。??췲랽쫽뻝
