第!"卷 第!期 运 筹 与 管 理 #$%&!"，’$&!
"(()年"月 *+,-./0*’1-,1,.-23.’45.’.6,5,’/120,’2, 789&，"(()
收稿日期："((":(;:"<
作者简介：李梅霞（!<=(:），女，讲师，硕士，主要研究方向：决策分析。
.3+中计算排序向量的优势度矩阵法
李梅霞
（潍坊学院 数学系，山东 潍坊";!(>!）
摘 要：本文将优势度矩阵与最小夹角法（?.5）和相对熵方法（-,5）相结合，提出了两种新的计算排序向量的
方法———优势度最小夹角法（4?.5）和优势度相对熵方法（4-,5），并讨论了它们的性质。理论研究和算例分
析都表明，这是两种比较好的计算排序向量的方法。
关键词：优势度矩阵；排序向量；优势度最小夹角法；优势度相对熵方法
中图分类号：*"") 文章标识码：. 文章编号：!((=:)""!（"(()）(!:(("":(;
!"#$%&%’()&*+$,)(*-"./"+0&1’21&*$%34+$"+$*56(’*"+$%784
?058@:A@B
（!"#$%&"#’()*%+",#&%-#，.%’/"-01233%0%，.%’/"-0";!(>!，1$’-"）
79:*+&’*：/C@DEBE8FEF$E$D8DGH$I8HJ8GC$KDL$FMB%MN%BG@IOEF@$F@GPQ8MG$F———4$J@IBIM8?8BDG0IM%NK8K
.IO%8D58GC$K（4?.5）BIK4$J@IBIM8-8%BG@Q8,IGF$EP58GC$K（4-,5）GCF$NOCM$J9@I@IOK$J@IBIM8
JBGF@AH@GCGC8?8BDG0IM%%8D58GC$K（?.5）BIKGC8-8%BG@Q8,IGF$EP58GC$K（-,5）&/C8I@GK@D:
MNDD8DGC8@FEF$E8FG@8D&/C8$F8G@MB%DGNK@8DBIK8ABJE%8BIB%PD8DB%%DC$HGCBGGC8D8BF8GH$98GG8FJ8GC$KD
L$FMB%MN%BG@IOEF@$F@GPQ8MG$FGCBI?.5BIK-,5&
;(5<"+.:：K$J@IBIM8JBGF@A；EF@$F@GPQ8MG$F；K$J@IBIM8%8BDG@IM%NK8KBIO%8DJ8GC$K；K$J@IBIM8F8%BG@Q8
8IGF$EPJ8GC$K
( 引言
层次分析法（.3+）是一种实用的多准则决策方法，自七十年代提出以来，已在社会、经济、管理等领
域得到了广泛应用。它是由专家给出判断向量，然后计算排序向量。目前计算排序向量的方法已有二十
多种。特征根方法以其具有极限累计优势度，从而具有很好的保序性而成为一种比较好的计算排序向量
的方法。本文考虑了优势度矩阵对排序向量的影响，又吸收了优化问题的思想，将优势度矩阵与最小夹角
法和相对熵方法相结合，提出了两种新的计算排序向量的方法———优势度最小夹角法（4?.5）和优势度
相对熵方法（4-,5），并且证明了这两种方法均具有强条件下的保序性、相容性和置换不变性。最后给出
了算例分析。
! 基本定义及定理
为以后叙述方便，记!R｛!，"，⋯，-｝。
在［!］中有如下定义：
万方数据
定义! 设!!（"#$）是一个%阶矩阵，如果"#$!"，"$#!
#
"#$
，"#，$#!，则称!为正互反矩阵。
全体%阶正互反矩阵的集合记为&$’%。
定义" 设!!（"#$）#&$’%，如果对"#，$，(#!，有"#$"$(!"#(，则称!为一致性矩阵。
全体%阶一致性矩阵的集合记为&)%。
定义# 设矩阵!#&$’%，记!的* 次幂为!
*!（"（*）#$ ），元素"
（*）
#$ 为第#个方案对第$个方案的累
积* 步优势度，称!* 为* 步累积优势度矩阵。
由* 步累积优势度的定义可知，* 步累积优势度实际上已包含*%#，*%&，⋯，#步优势度。因此
方案的重要性排序，将随着步数的增加而愈加明显地在累积优势度上反映出来，即"（*）#$ 比"#$更多地反映
第#个方案对第$个方案的信息。因此从!* 出发计算排序向量会得到更真实的排序的结果。
文献［&］、［’］中给出了两种计算排序向量的方法———最小夹角法（()*）和相对熵方法（+,*）。在此
基础上，本文定义了优势度矩阵，并给出两种新的计算排序向量的方法———优势度最小夹角法（-()*）和
优势度相对熵方法（-+,*）。
& 主要结果
定义$ 设判断矩阵!!（"#$）%.%，!%!（"
（%）
#$ ），称+!（,#$）%.%为!的优势度矩阵，其中,#$!
"（%）#$
%%%#
。
将优势度矩阵与最小夹角法和相对熵方法相结合，可得如下定理：
定理! 设判断矩阵!!（"#$）%.%，+!（,#$）%.%为! 的优势度矩阵，令-!（.#$）%.%，其中.#$!
,#$
$
%
#!#
,&#% $
，#，$#!，又令.$!（.#$，.&$，⋯，.%$）/，则最优化问题
/010（"）!$
%
#!#
./$"!$
%
#!#
$
%
$!#
.#$"#
2343$"&#!#，"!
&
’
( "
有唯一最优解")!（")#，")&，⋯，")%）/，其中
")# !
$
%
$!#
.#$
$
%
#!#
（$
%
$!#
.#$）%
&
，##!3
证明： 在［&］中有如下结果：设!!（"#$）%.%为判断矩阵，-!（.#$）%.%，其中.#$!
"#$
$
%
#!#
"&#% $
，#，$#
!。令.$!（.#$，.&$，⋯，.%$）/，则优化问题
/010（"）!$
%
$!#
./$"!$
%
#!#
$
%
$!#
.#$"#
2343$"&#!#，"!
&
’
( "
有唯一最优解")!（")#，")&，⋯，")%）/，其中")# !
$
%
$!#
.#$
$
%
#!#
（$
%
$!#
.#$）%
&
，##!3
由于在上述结果的证明中没有用到!的互反性，故将上述结果中的矩阵!换成矩阵+，本定理即可
得证。
’&第#期 李梅霞：)56中计算排序向量的优势度矩阵法
万方数据
将向量!!!（!!"，!!#，⋯，!!!）" 归一化，即可得到相应于判断矩阵#的排序向量，!!（!"，!#，⋯，
!!）"，其中!$!
"
!
%!"
&$%
"
!
$!"
"
!
%!"
&$%
，$，%#"$
由定理"给出的计算判断矩阵排序向量的方法我们称为优势最小夹角法，简记%&’(。
定理! 设判断矩阵#!（’$%）!)!，(!（)$%）!)!为#的优势度矩阵，则优化问题
*+,*（!）!"
!
$!"
"
!
%!"
-,!$.-,
)$%
"
!
+!"
)+
$
%
&
’%
!$
/$0$"
!
$!"
!$!"，!$(1，$#"
)
$
% $
有唯一最优解!!（!"，!#，⋯，!!）"，其中
!$!
*
!
%!"
)$%
"
!
+!"
)+
$
%
&
’%
"!!
"
!
$!"
*
!
%!"
)$%
"
!
+!"
)+
$
%
&
’%
"!!，$#"$
上式化简可得到相应于判断矩阵#的排序向量!!（!"，!#，⋯，!!）"，其中
!$!
*
!
%!"
（)$%）"!!
"
!
$!"
*
!
%!"
（)$%）"!!
，$#"$
证明： 构造拉格朗日函数,（!，#）!"
!
$!"
"
!
%!"
-,!$.-,
)$%
"
!
+!"
)+
$
%
&
’%
!$2# "
!
$!"
!$.（ ）"
其中#为拉格朗日乘子。
由+,（!，#）
+!$ !1
，$#"，可得
"
!
%!"
［（-,!$.-,
)$%
"
!
+!"
)+%
2"］2#!1
即 !-,!$."
!
%!"
-,
)$%
"
!
+!"
)+%
2!2#!1
令 -$!!."
!
%!"
-,
)$%
"
!
+!"
)+%
，则
!-,!$2-$2#!1
即 !$!..
-$2#
! ，$#" （"）
由于"
!
$!"
!$!"，所以"
!
$!"
..
-$2#
! !"
即 .
#
!!"
!
$!"
..
-$
! （#）
由（"）、（#）可得
3# 运 筹 与 管 理 #114年第"#卷
万方数据
!!! "
"
#!
$
!
$
!!#
""
#!
$
!
"
$
%!#
&!%
!
$
’!
#
$
%
&
#
#!$
&’%
!
$
’!#
"
$
%!#
&’%
!
$
!!
#
$
%
&
#
#!$
&!%
$ （%）
将（%）式化简，可得
!!!
"
$
%!#
（&!%）#!$
!
$
!!#
"
$
%!#
（&!%）#!$
，!’"$
由定理&中的最优化问题求得判断矩阵排序向量的方法我们称为优势度相对熵方法，简记为
’()*。
下面讨论优势度最小夹角法和优势度相对熵方法的几种优良性质。
定义! 设判断矩阵(!（)!%）$+$，*（·）是一种排序方法。若由)!’()%’（)’’"），可得*（(）!!
!（!#，!&，⋯，!$）* 中!!(!%，则称排序方法*（·）是强条件下保序的。
定义" 设判断矩阵(!（)!%）$+$，*（·）是一种排序方法。若( 是一致性矩阵，可得*（(）!!!
（!#，!&，⋯，!$）*，且使)!%!
!!
!%
（)!，%’"），则称排序方法*（·）是相容的。
定义# 设判断矩阵(!（)!%）$+$，*（·）是一种排序方法。若对任意置换矩阵+，均有+!!*
（+(+*），则称排序方法*（·）是置换不变的。
定义$ 正互反矩阵(!（)!%）$+$称为是序传递的，如果)!%(#，则对所有的’，有)!’()%’；如果)!%!
#，则或者对所有的’，有)!’()%’，或者对所有的’，有)!’*)%’。
定理% ’,-*，’()*都是强条件下保序的。
证明 设判断矩阵(!（)!%）$+$，且对)’’"，有)!’()%’，,!（&!%）$+$为(的优势度矩阵。由)
（$）
!’
!!
$
!#!#
!
$
!&!#
⋯!
$
!$"#!#
)!!#)!#!&⋯)!$"#’可得)
（$）
!’ ()
（$）
%’ ，从而&!’(&%’。又由-!%!
&!%
!
$
!!#
&&!+ %
，!，%’" 得-!’(
-%’，所以!
$
’!#
-!’(!
$
’!#
-%’。而!
$
!!#
!
$
’!#
-!’!!
$
%!#
!
$
’!#
-%’，由定理#知!!(!%。当)!’!)%’时，显然!!!!%。
故’,-*是强条件下保序的。
同理可证，’()*也是强条件下保序的。
定理& 对于具有序传递的判断矩阵(!（)!%）$+$，)*，’,-*，’()*给出相同的方案排序。
证明 设(!（)!%）$+$是具有序传递的判断矩阵，则对)’’"，有)!’()%’或者)!’,)%’，又因为)*，
’,-*，’()*是强条件下保序的，所以!!(!%或者!!!!%，即)*，’,-*，’()*给出相同的方案排
序。
定理! ’,-*，’()*均具有相容性和置换不变性。
证明： 下面仅对’,-*证明，对’()*同理可证。
（.）若(为一致性矩阵，则)（$）!% !$$"#)!%，而,!
)（$）!%
$$（ ）"# $+$，故,!(。从而,.(/（(）!.(/（(）
!!!（!#，!&，⋯，!$）*，由,-*是相容的，可得)!%!
!!
!%
，)!，%’"，所以’,-*是相容的。
（..）设+为任意$阶置换矩阵0!（#!%）$+$!+(+*，,!（&!%）$+$，1!（2!%）$+$分别为(，0的优势度
矩阵，令3!（-!%）$+$，4!（"!%）$+$，其中
-!%!
&!%
!
$
!!#
&&!+ %
，"!%!
2!%
!
$
!!#
2&!+ %
，!，%’"$
/&第#期 李梅霞：-01中计算排序向量的优势度矩阵法
万方数据
显然有!!"#"$。
假设经置换后%的第&行成为’的第(行，则相应地#的第&行成为!的第(行。设!!)*%+
（%），"!)*%+（’），则
!&!
!
,
-!"
.&-
"
,
&!"
!
,
-!"
.&-
!
"
,
-!"
/(-
"
,
(!"
"
,
-!"
/(-
!"(
即#$%&是置换不变的。
由’&，#$%&，#(’&的相容性可得如下定理：
定理! 若%为一致性矩阵，则’&，#$%&，#(’&给出相同的排序向量。
) 算例分析
为了更好的比较优势度最小夹角法、优势度相对熵方法与右主特征向量法、最小夹角法、相对熵算法
的优劣，本节特举几例，分别用以上算法求出判断矩阵的排序向量，并以列表的形式进行比较。
设
%!
" * + "
"!* " , "!-
"!+ "!, " "!.
#
$
%
&" - . "
#!
" " , +
" " , +
"!, "!, " )
"!+ "!+ "!
#
$
%
&) "
’!
" "!+ "!, "!/ .
+ " , " .
, "!, " " .
/ " " " .
"!. "!. "!. "!
#
$
%
&. "
)!
" * ) "!. "
"!* " "!. "!. "!+
"!) . " " "!)
. . " " )
" + ) "!
#
$
%
&) "
则相应于各判断矩阵的排序向量分别为：
表" 相应于矩阵%的排序向量
01234" 054678978:;<4=:979>?1:78@%
’& $%& (’& #$%& #(’&
ABC,-* ABC,/A ABC)C- ABC,-" ABC,-*
ABA*+* ABA-"A ABA*C) ABA*+* ABA*+*
ABA+,+ ABA+.. ABA+"C ABA+,+ ABA+,+
ABC)," ABC,C. ABC,/. ABC)," ABC),"
表# 相应于矩阵#的排序向量
01234, 054678978:;<4=:979>?1:78@D
’& $%& (’& #$%& #(’&
AB)*.A AB)*.A AB)*.A AB)*.A AB)*.A
AB)*.A AB)*.A AB)*.A AB)*.A AB)*.A
AB"-*. AB"-*. AB"-*. AB"-*. AB"-*.
ABA+,. ABA+,. ABA+,. ABA+,. ABA+,.
+, 运 筹 与 管 理 ,AA)年第",卷
万方数据
表! 相应于矩阵!的排序向量
!"#$%& !’%()*+)*,-.%/,+)+01",)*23
45 675 845 9675 9845
:;:<=& :;>:?& :;:<>= :;:<=& :;:<=&
:;&?<@ :;&?A@ :;&B&& :;&?<@ :;&?<@
:;>=<& :;?>:@ :;?:<= :;>=<& :;>=<&
:;&B>& :;&>&> :;&?B> :;&B>& :;&B>&
:;:B?B :;:B@? :;:B>< :;:B?B :;:B?B
表" 相应于矩阵"的排序向量
!"#$%B !’%()*+)*,-.%/,+)+01",)*29
45 675 845 9675 9845
:;?:&B :;?>C> :;?>?B :;?:&& :;?:&&
:;:&A: :;:&<= :;:&=@ :;:&C= :;:&C=
:;>B<= :;>A=> :;>B>@ :;>B<< :;>B<<
:;B:C& :;&A>& :;&@<> :;B:CC :;B:CC
:;?:AC :;?>CA :;??<> :;?:AB :;?:AB
B 结论
通过以上的理论分析和数据结果可以看出，9675，9845在计算判断矩阵的排序向量时，得到了与
特征根方法更为相似的结果，且计算简单，计算量小。因此，从保序性、累积优势度、计算量等角度都说明
9675，9845是两种比较好的计算判断矩阵排序向量的方法。
参考文献
［>］王莲芬，许树柏D层次分析法引论［5］D北京：中国人民大学出版社，>==:D
［?］杜之韩D7EF中排序向量的675算法［G］D系统工程，>==C，>>（A）：A?HACD
［&］雷功炎D关于将相对熵用于层次分析的简单注记［G］D系统工程理论与实践，>==C，&（&）：ACHA<D
［B］贾兰香，陈宝谦D层次分析决策方法排序问题的一般性质［G］D南开大学学报，>==?，A（?）：>=H?<D
［C］章志敏，魏翠萍，马骏D层次分析中一种新的排序方法及其性质［G］D系统工程学报，>==@，>?（B）D
［A］I"",-!6，J")K"L6MD3+1(")*L+N+0%*K%N."$O%L，$+K")*,’1*/$%"L,LPO")%L"NQ$%"L,LPO")%Q1%,’+QL*N%L,*1",*NK)",*+L［G］D1",’%1",*/"$
1+Q%$*NK，>=<B，C：&:=H&?BD
@?第>期 李梅霞：7EF中计算排序向量的优势度矩阵法
万方数据
