第4卷第2期
2001年 4月
管 理 科 学 学 报
JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA
vo1．4No．2
Apr．，2001
房地产市场的生存均衡。
赵胜民，王春峰，李光泉
(天津大学，天津 300072)
摘要：研究房地产市场的Walras均衡问题．首先建立了房地产市场的静态模型，定义了房地产
市场的可生存 Walras均衡 ，并证明了其存在性．其次，给 出了房地产市场的微分 包含形式的动
态演化模型，利用生存理论证 明了在一定条件下房地产市场的可生存动态均衡是存在 的．最
后，对我国房地产市场的发展状况进行了分析，井提 出了一些建议．
美蕾词：房地产市场；生存均衡；微分 包含；生存理论
中田分类号：F019．1；F293．30 文献标识码：A 文章编号：1007—9807(2001)02—0052—06
0 引 言
一 般经济均衡问题是现代经济学的核心和基
础问题之一_1 ]，而房地产市场具有其自身的特殊
性，同时房地产市场在国民经济中占有特别重要
地位 ]，因此房地产市场的一般均衡问题研究
具有重要理论意义和应用价值．
传统的研究方法在研究类似问题时，主要是
通过Arrow—Debreu一般经济均衡模型证明市场
一 般均衡价格的存在性．均衡价格使供需保持平
衡，在该平衡条件下，消费者教用达到最大，生产
者利润达到最大，实现社会福利最大化 ．但传
统方法存在一个重要缺陷就是，传统均衡模型是
在价格空间中建模，这样在价格调整的过程中(即
均衡价格的形成过程中)，市场的供需是不平衡
的，从而得到的市场轨线是“不可生存轨线”——
非时时满足供需平衡条件 ]．
Aubin在处理类似问题时，从可生存性出发，
选择在商品空间中建模，保证了供需的时时均衡
(可生存性)，具有动态合理性．但在Aubin的模型
中，只考虑交换经济，即仅考虑消费者的行为，而
不考虑生产者的行为，市场中的均衡价格定义为
① 收稿 日期 r2000-03-23I佳订 日期：2001 03 06
基金项 目，国家白鼎科学基金赍助项 目(79300012)
作者倚介 赵胜民(1967-)，男t黑龙江人，博士．讲师
使需求不超出供给的价格体系：lOtl1]这种模型虽
然给出了一些有益的结论，但模型没有考虑到生
产者的因素，无法真正刻画现实市场均衡的本质．
在房地产市场模型中引入生产者，并改进了
Aubin模型的一些假设条件，如 Aubin假定房地
产是一个封闭的子系统，购房收入来自于系统内
部，这显然与实际不符．房地产市场模型假定房地
产系统是一个开放的子系统，消费者的购房费用
来自外部收入或系统内部．
首先建立房地产市场的静态模型，并给出了
生存 Wakas均衡定义和具有现实意义的卢水平
生存 Wakas均衡定义，证明在一定条件下房地产
市场的卢水平生存 Walras均衡是存在的，并对影
响房地产业发展的各方面因紊进行讨论}其次，通
过引入瞬时生产和消费函数、Walras瞬时准则，
建立房地产市场的微分包含形式的动态演化模
型，利用生存理论，证明房地产市场可生存动态
Walras均衡的存在性．
对于向量 一 [ — ]∈ ，称 >
(≥) 是指V i都有 > (≥) 成立；V P，q∈R ，
(户，g>表示向量P，q的内积；毋 表示以非负实数
为元紊的n维向量的集合．
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第 2期 赵胜民等：房地产市场的生存均衡 53
1 房地产市场的静态模型
假设房地产市场中有^个消费者， 个生产
者，z种房地产．z种房地产的数量用z维向量 z=
( ， 一， )来表示，即第 种房地产的数量为
丑，i=1，2，⋯， ．房地产市场的价格体系记为P一
(户]，P ，⋯，P )，它表示第i种房地产的价格为P ，i
一 1，2，⋯，z；第 个生产者在价格体系P下，所生
产的房地产数量为 (户)∈ ；而对于第 个消
费者来说，在价格体系P下，可用于购房的总收人
为 时，他的需求为 = (户，ri)， 一1，2，⋯，^．
对于第 i个消费者来说，其收入来源于两方面：一
是他从其它经济活动中得到的收入记为r 二是
他从房地产生产者那里分得的利润份额(与房地
产相关行业的经济活动收入，如原材料生产者
们)．设他从第J个生产者那里分得的利润份额为
∈[O，1]，i一 1，2，⋯，h，J=1，2，⋯， ，这时有
^
r|一r] +∑％(户， ( )>．这样，房地产市场可以
J一 1
表示为
H = {( )，( ，r )，(％)
房地产市场H 的生存均衡定义如下．
定义 1 如果存在一个价格体系 ∈ 使
得
∑ ( )一∑ ( ，r|( ))≥0
i-1 I一1
成立，则称 ∈融 为房地产市场 H 的可生存
Walras均衡．又如果存在卢∈ (0，1]使得
^ h
∑( ， ( ))一∑( ， ( ， ( ))>则称 ∈
J 1 J— 1
为房地产市场日的卢水平上可生存Walras均
衡．
由该定义可知，在均衡价格 下，房地产市场
内^个消费者的总需求不会超过 个生产者的总
供给，即不会出现供不应求的情况．又当 为房地
产市场的卢水平上的均衡价格时，则消费者购买
的房地产的总值占生产者生产出来的房地产总值
的比例为卢，卢越大，表示生产者的积压率越小．
下面研究房地产市场H 的可生存 Walras均
衡的存在性，这里先列出非线性泛函分析中的一
个结果 ．
引埋 1 (Ky Fan不等式)设 K是一个
Banach空间中的紧凸子集，而 P是定义于K ×K
上的函数且满足
(1)V ∈K， ， )是下半连续的，
(2)V ∈ K， ， )是 凹的，
则存在i∈K使得
sup ， )≤ sup Y， )
针对房地产市场H 做如下假设：
(i)对于生产者，假设 ( 一 1，2，⋯， )为连
续函数且存在一个单增 函数 ，： +一 只+满足
limf(x)一0，limf(x)=+oo使得 V P∈月 都
有
∑( ， ( ))一f【∑p1) (”
J— l f一 1
(ii)对于消费者，假设 0=l，2，⋯，^)为连
续的且 V P∈ ，V ∈ +，i=1，2．"·，^ 都有
^ ^
∑(户， (户， >=∑ (2)
(iii)为了研究问题的简化，假设由生产者到
消费者的利润转移系数满足
^
∑％一口， =1，2．"‘， (3)
￡一1
(iv)假设房地产市场中，消费者手中的资金
可以相互流动．
定理1 在上面关于房地产市场H的假设条
件下，对常数卢∈ ( ，1]，房地产市场 H存在一个
卢水平上可生存 Walras均衡．
证明 首先由关于函数 ，假设知，一定存在
一 个常数 Co使得
^
(c。)一af(C。)+∑r ≤f(C。) (4)
￡ 1
定义集合
K={P∈雕 I∑P 一C。} (5)
J l
则K为 中的有界闭凸子集．K×K上的函数
定义为
^
户，g)一∑(g， (户．r|(户)))一
1
∑(g， (户)>
一 1
由 和 的连续性知，P关于P为连续的，并且显
然关于q为凹的．由式(1)一(4)可知 V q∈K有
g，g)=∑(g，屯(g， (g))>～
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54 管 理 科 学 学 报 2OO1年 4月
∑(q，aj(q))
∑ (q)一∑(q，aj(q))一
I一 1 I= 1
∑r“+ ∑(q， (q)>一
I一 1 ，一 1
∑(q， (q)>=
一 1
∑r．．+(a一1)f(C。)≤o
于是由引理 1知，存在某个 ∈K使得
一 (
∑(q， (≯)、 ≤
sup q，q)≤ 0
因此 由分离定理有
^
∑ ( )一∑ ( ， ( ))≥0
，= 1 I= 1
又由式(4)有
^ h ^
∑( ， ( ，^( ))>一∑rI『+ ∑( ， ( ))
I； 1 |= l r一 1
= 卢 (户， ( ))
因此 ∈K为房地产市场的一个 水平上的可生
存 Walras均衡．
由这个定理的证明过程可以看出：在考虑房
地产市场的均衡问题时，资金的均衡，即消费者所
能支付的用于购房的资金与购房所需资金的平
衡，是其中的关键问题．由此，可以得到以下一些
结论 ：
1)在居民收入一定的情况下，若房地产市场
出现供不应求的情况，则说明当时的市场价格体
系P不是均衡价格，原因在于房地产生产者所提
供的房地产的总市值低于消费者所能拿出来的用
于购房的资金额．这时市场就会通过提高房地产
市场总体的价格水平 C。的办法，使 得(1一
a)f(C。)大于居民用于购房的资金总额，并找到
新的均衡价格P ，从而解决供不应求的问题．
2)设价格体系 ∈R 为房地产市场日 的
B(B∈ (0，1])水平上可生存Walras均衡．当卢接
近 1时，可以认为房地产市场供需是基本平衡的，
而当 与 1差距较大的时候，则市场处于供大于
求的状况．这时解决问题的办法可以包括：(1)降
低房地产市场的总体价格水平 C。，使得 (1一
a)f(C。)接近居民可用于购房的资金总额f(2)增
加居民所能提供的用于购房的资金，这在居民收
入一定的情况下，可以通过提供各种购房贷款的
方法解决．
3)在前面假设购房资金可以在消费者之间
流动，这种流动需要借助各种方式，其中消费者将
手中的旧房进行买卖是一个重要方式．因此，再假
设在房地产市场中还有 7种旧房，它们的价格可
用7维向量 ∈芯 表示．假设其交易量为 (≯)，
则消费者购人这些旧房的总支出为(；， (；)>，而
卖出这些旧房的收人为(1一 )(；， (；)>，其中
为政府各部门在交易中所收的各种税费的比例．
这时消费者实际用于购买新房的资金为
●
∑r + ∑( ， ( )>一 ( ， ( ))
r一 1 r 1
由此可以看出，若 较大，就会影响消费者对新房
的购买能力，不利于实现购房资金在消费者之间
的流动，特别是在新房市场购买力不足的情况下，
这个问题就尤为突出；反之，将 降至合理的水
平，则有利于房地产市场的发展．
4)考虑房地产生产过程的成本．假设在价格
体系 P下房地产生产者的总成本为 N(户)=
j
2f(D)D ，其中D一 P ， 是由外部经济系统
i 1
活动确定的一个常数．而房地产生产者分给消费
者的利润必须大于房地产生产的成本，即N(户)
】
一 (D)DI1≥af(D)，由此得D≥÷．若P是房
地产市场日 的 水平上的可生存Walras均衡，则
^
有 flf(D)一af(D)+ ，可以推得
≤寿 +a ㈤
2 房地产市场的动态均衡
本节研究房地产市场的动态均衡问题．作为
后面研究的工具，首先介绍集值映射与生存理论
中的有关概念和结论．
定义 2 设 为线性度量空间，K为 中的
一 个子集 ，则 K在点 ∈K处的相依锥T )定
义为
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第 2期 赵胜民等：房地产市场的生存均衡
(z)一f ∈x 盟 =01
其中dx )表示点,7C到集合 的距离．
设F为由集合Kcx到线性度量空间y的集
值映射，即F在任意点 ∈K处的值F( )均为y
的子集，F的图象是指下面的集合
graph(F)一 {( ， )∈ X ×YI ∈ K，
∈ F扛)}
以c(一。。，0{x)表示从( c。，O]到x的连
续函数空间，其拓扑由紧集上的一致收敛性定义；
位移算予了1( )∈L(c( o。，4-。。；x)，C(一o。，
0 ))定义为
T(f) ( ) x(t+ ) V 5≤ 0
引理 2ll 设 K是 Hilbert空间x中的一个
闭凸子集，函数空间c( o。，0；x)中的子集 定
义为 {P∈C(一∞ ．0；x)I 0)∈K)．设 F是
从 到 的紧凸子集的具相对紧图象的上半连
续集值映射．假设
V ∈ K F( n T ( 0))≠
则对所有的9∈K，下面的微分包含系统都有解
f (f)∈ F(了1(f) ) 对几乎所有的t>1-o
【 ( )一 ) 对所有 的f< 0
且在如下的意义下生存
( )∈ K V t≥ 0
注 1 把 K理解为引理中微分包含系统的生
存域，即 ( )∈ K时表示系统是生存的，而当
( )占K时则认为系统死亡．
接下来给出房地产市场的动态描述．
为 了考虑消费者历史因素，引^如下函数集
合：C c(一 c。，0；R )，它表示从(一 o。，0]到
疋 的绝对连续函数空间，其拓扑由紧集上的一致
收敛性定义．
设房地产的使用寿命为 r．假设第 i个消费者
的所需求的房地产数量集合为凸集Ⅳ．c雎 ，i—
l，2，⋯，h，该消费者在时刻 f之前总的消费量为
(f)，则此时他所拥有的房地产为 (f)～ O
— r)；第 个生产者的生产集合为上方有界凸集
M c瞄 ，J一1，2，⋯， ，该生产者在时刻t之前总
的生产量为 ( )，则此时他所生产出来的现存房
地产为 ( )一 ( 一 r)．假设生产者提供的房
源与消费者需求集合交集不为空集
0∈Int{∑M，一∑W，) (7)
定义函数集合如下
Ⅳ { ∈CI (O)一 (一 r)}∈ l
M { ∈ C{ (0) (一 r))∈M
又不妨假设房地产市场的价格在式(5)所定义的
集合K 中取值，则有第 z个消费者的瞬时消费为
：w ×K一 ，第 个消费者的瞬时消费为m ：
M × K 一 ．
假设 ：
(i)V i— l，2，⋯，h，" 均为有界连续的，V
∈Ⅳ，户一叫 ( ，户)为仿射的，又V ∈W ，V P∈
K都有
叫．( ，户)一 ( r)∈
了1 ( (O)一 ( r)) (8)
(ii)V J— l，2，⋯， ， ．均为有界连续的，V
∈ ，P— ，( ，户)为仿射的，又V ∈ ，V P
∈K都有
( ，户)一 (一 r)∈
( (0)一 (一 r) (9)
(iii)V ( l， ：，⋯， ) ∈Ⅱ ．，
I一 1
^
V西一( ， ，⋯， ) ∈II ，v P∈K都有
J一 】
(P，∑ ( ，户)一∑ ( ，户))≤0 (10)
|一 1 ，一 l
假设条件(8)和(9)是生存理论中的切性条
件；假设条件(10)是指消费者用于购房的瞬时支
出不能大于其瞬时收^．这个条件称为Walras瞬
时法则．
这时有下面的定理
定理 2 设在时间域(一。o，O3上消费者的
l
消费函数为 一( ，秘，⋯，椎)∈n ，，生产者
J一 1
^
生产函数为矿一(71， ，⋯， )∈n厨，，又设对
— l
任意f∈[一r，0]都有
∑P ( )一∑7：( )≤0 (1】)
I一 1 ，一 1
则在假设条件(7)——(10)下，存在h个绝对连续
函数丑(·)：R一 、 个绝对连续函数 (·)：R—
R 以及函数户(·)：R 一R 使得
f五 ( )一 t (了1( ) ．，户0))
对几乎所有的t≥0 Vi一 1，2，⋯，h (12)
L 0)一 啦0) f< 0
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56 管 理 科 学 学 报 2001年 4月
(f)一 卅 ( ( ) ，p(f))
对几乎所有的 t≥ 0 V J= 1，2，⋯， (13)
．)， (f)一 ( ) t< 0
且满足约束条件
f ．0)一 五O— )∈ W． t≥ 0 i= l，2，⋯，h
O)一 ( — )∈ M t≥ 0 一 1，2，⋯ ，
^ ^
【∑( ．0)一 ( r))一∑(M0)一．)， (f—r))≤0 f≥0
证明 对任意的 一 ( ， ，⋯， ) ∈
^ h
II ．， 一( ， ，⋯， ) ∈II厨．，定义K中
l； ． |一 l
子集 D( ， )如下，
^
D( ，审)一{P∈KI∑ ．( ，p)一
l— l
∑ ( ，户)≤0} (17)
z一 1
由假设条件(10)以及 、 ，关于 P仿射可知，
D(gr， )为非空的有界闭凸集合．再定义集值映
射
S( ， ) 一 f( ( ，p) (一 r)，⋯，
札 ( ，p) 以( r)，
( ，p) 一 ( r)，⋯ ，
(4 ，p)一 (一 r)P∈
D( ， )
记 0)= ( 10)， 20)，⋯ ， (f))
．)，(f)一 ( 10)，⋯ ，Y^ “))
考虑如下带时延的微分包含
( ( )一 0 一 r)． O)一 (t— r)) ∈
S(T(t)z， (f)．)，) 对几乎所有的 V f≥ 0 (18)
( ( )，1)，(f))= ( ( )， (f)) V t< 0 (1 9)
微分包含的左端表示每一时刻消费者房屋净增量
所处范围．该微分包含的含义是：只要该微分包含
有解，消费者拥有的房屋量就满足供需平衡．
由 ，和 ，的凸性知，对任意 的 ， )=
^
( ， ，⋯，“，Y ，Y ，⋯， )∈D—IIW Ⅱ
l一 】 ，一 】
都有
^
。( ，．)，)一Ⅱ ( ．)Ⅱn，(M)
t 1 l一 1
这样由(8)(9)，利用引理 2可知，存在h个绝
对连续函数 五(·)：R一 融 、 个绝对连续函数
(·)；R一雎 以及函数户(·)；R+一R 为微分包
(14)
(15)
(16)
含(18)(19)的解且满足条件(14)、(15)，并且对
几乎所有的t> 0都有
p(t)∈ D( ( ) ， ( )．)，) (2O)
又 由(¨ )、(1 7)、(20)显然条件(1 6)成立．证毕．
注 2
^
(1)定理中的 一(n， ，⋯，能)∈Ⅱ 和
一1
矿一(仉， ，⋯， )∈Ⅱ厨 分别被视为消费者和
— I
生产者的初始消费和初始生产；
(2)定理中条件(11)是指历史上瞬时消费需
求小于瞬时生产；
(3)条件(14)称为消费者生存性条件；这里
．[R 表示第i个消费者为保证其正常的生活
所必须的房地产数量集合，如果某时刻他所拥有
的房地产数量 ．( )一丑( 一r)跑出这个集合，就
表示他的正常生活受到了影响，这时我们认为房
地产系统不再生存}而条件(8)保证；当这个消费
者所拥有的房地产数量 t(f)一xi(t—r)处于 ．
c 上时，五(f)一 ．( 一r)的变化方向是指向
． 内部的．
(4)条件(15)为生产者生存条件，而条件(9)
与条件(8)作用类似{
(5)定理结论中的式(1 6)保证在每一时刻社
会上现存的房地产总量大于消费者所需的房地产
总量，这也是保证房地产市场正常运行的必要条
件；
(6)称 满足 (14)一 (1 6)的( (·)， (·)，
p(·))为房地产市场的可生存动态均衡；
(7)式(2O)表明，在动态房地产市场的演化
过程中，市场的价格 户( )起着反馈控制的作用．
定理的结论说明 在一定条件下存在房地产
市场的可生存动态均衡．一个价格函数 p(t)使得
(12)、(13)有解满足生存性条件(14— 16)．
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第 2期 赵胜民等：房地产市场的生存均衡 57
3 我国房地产市场发展状况分析
我国房地产市场形成以来一直处于供大于求
的状况，究其原因包括以下几点：(1)政府部门各
种名目的税费过多，房地产生产者的赢利期望过
高，从而导致房地产市场 H中的Ct过低，致使房
地产市场的总体价格水平居高不下；(2)旧房市
场的税费过高，阻碍购房资金在消费者之间合理
的流动；(3)消费者的收人有限，又得不到金融部
门的支持．这样房地产市场就不可能存在较高水
平的可生存 Walras均衡(参见式(6))，势必处于
严重的供大于求的状况．
我国政府为了解决房地产市场供大于求的局
面，促进房地产业的发展，采取了一系列的措施 ，
如降低了房地产开发中的一些收费，大幅降低了
旧房交易中的税费比例，出台了个人住房消费贷
款政策．这些举措收到了良好的效果，目前房地产
市场变得十分活跃，与历史同期相比产销均有大
幅增长，表现出良好的发展势头．
但也应该看到，目前我国房地产市场的价格
水平仍没有明显下降，与消费者的收人之比还远
远高于世界平均水平 ；而金融部门对消费者购房
参 考 文 献
的支持力度也比其他国家尤其是发达国家小得
多．为促进房地产业的发展，还需要逐步降低房地
产开发中的各种税费，去掉不合理的收费项目，促
使房地产价格水平降到比较合理的水平，同时也
要加大金融部门对消费者购房的支持力度．
由于历史原因，我国消费者的住房水平还很
低，因此房地产市场的潜在需求是巨大的．只要能
够采取适当的财政政策和金融手段，就可以将房
地产市场的潜在需求变成有效需求，促使我国房
地产业健康稳定地发展，带动国民经济的增长．
4 结束语
本文研究房地产市场的均衡问题．首先建立
了房地产市场的静态模型，并给出了生存均衡的
定义，证明了在一定条件下房地产市场的生存均
衡是存在的，由此对影响房地产业发展的各方面
因素进行了讨论．其次，建立了房地产市场的微分
包含形式的动态演化模型，利用生存理论，证明了
在一定的条件下房地产市场可生存动态均衡的存
在性．最后对我国房地产市场的发展状况进行了
分析．
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Input_‘and_‘output_。oriented DEA for assessing relative efficiency
LI Guang～3
Management School，Sichuan University，Chengau 610064，China
Abstract： The previous data envelopment analysis(DEA)can only he used to measure rehtive efficiencies
of decision making unlts(DMUs)in either input orientation or output orientation，s。it is considered t。be
traditional DEA in this paper．As the result，it is unable to reflect totally the performance of DMUs in the
input—output process．0n the basis of bi—objective programming，this paper develops input—and-output-ori—
ented DEA so as to assess relative efficiencies of DM Us in both input and output orientat|0n，and further
discusses the relative efficiency of DMUs．
Key words： DEA ；DM U；relative efficiency score；mathematical programming
上接第57页)
Viability equilibrium of real estate market
ZHAO Sheng—rnin，WANG Chun—feng，L1 Guang-quan
Tianjin University，Tianjin．300072，China
Abstract： In this paper the problem of W alras equi~brium of a real estate market is considered
． First，a
static mode1 of the real estate market is established．The viabihty W alras equilibrium of the rea1 estate mar
—
ket is defined，and its existence is proved．Secondly，a dynamic evolution model。f the real estate nmrket is
developed in the form of differential inclusion． The existence of viabiHty dynami c equilibrium of the rea1 es—
tare market is proved under some assumptions by applying viability theory
． Finally，the situati0n of Chi—
nese real estate market is analyzed，and some suggestions are presented
．
Key words： real estate market；viability equilibrium ；differential inclusions}viabilkv theory
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