数理经济学
第3章
3 凹函数和拟凹函数
光滑函数和齐次函数
光滑函数的凹性
保持凹性的运算
拟凹函数
光滑函数与齐次函数
梯度的几何性质
海塞矩阵的定性
泰勒展开
齐次函数
光滑函数与齐次函数
单变量函数
梯度的几何性质
多变量函数
说明：
偏导数只能说明在所有其它变量保持不变的条件下，只改变一个变量该函数是否上升或下降。但有时我们需了解在某点沿某个方向移动函数值是否上升或下降。
泰勒定理
齐次函数
例：柯布－道格拉斯函数
说明：
当且仅当函数总是可依据它自己的偏导数与齐次性的次数写出时，这个函数是齐次性的。
光滑函数的凹性
凹性的定义
一阶条件
二阶条件
例子
上水平集
下图
说明：
对于函数图像上的每一对点，当
且仅当连结这些点的弦处在图像上或
其下边，那么该函数为凹的。
凸函数
注意：
该定理说明为检验多变量函数的凹性，应检查对于定义域中的每个点x与每个方向z，f在沿方向z，并经过x的线上取值所定义的单变量函数是凹的。
一阶条件和二阶条件
问题：怎样刻画单变量凹函数的特征？
可用两种方式刻画单变量凹函数特征：
1、二阶导数
2、一阶导数及其生成的切线
结论4反例：
例子
上水平集
注意：
一个函数的两个不同水平集不会相交，否则意味着两个不同的数对应着定义域内的同一个元素，破坏函数的定义。
下图
保持凹性的运算
非负加权之和
仿射映射的复合函数
复合函数
拟凹函数
定义
基本性质
保持拟凹性的运算
说明：
拟凹函数意味着若能在定义域内任取两点，并形成两点的凸组合，那么函数值必定不会小于这两点所取的最低函数值。
也可依据水平集描述拟凹函数
严格拟凹函数的上优集边界不包含平坦的部分。
问题：
凹函数是拟凹函数吗
拟凹函数是凹函数吗？
说明：拟凹函数不一定是凹的。
x
y
X1
X2
定理 凹性蕴含着拟凹性
一个凹函数总是拟凹的，一个严格
凹函数总是严格拟凹的。
是拟凸函数吗？
x
y
X1
X2
问题：
定理 凸性蕴含着拟凸性
一个凸函数总是拟凸的，一个严格
凸函数总是严格拟凸的。
总结：各种实值函数之间的关系。
保持拟凹性的运算
