关于总体平均数的推断统计
样本平均数的抽样分布
需考虑的问题：
总体方差σ2是否已知；
总体是否正态分布；
样本为大样本还是小样本。
样本平均数的抽样分布（σ2已知）
总体方差σ2已知时
若（X1，X2，…，Xn）是抽自总体X的一个容量为n的简单随机样本，则依据样本的所有可能观察值计算出的样本均值的分布，称为样本均值的抽样分布。
样本均值的抽样分布（σ2已知）
正态总体、 σ2已知时
设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分布总体X~N(μ, σ2)的一个容量为n的简单随机样本，则其样本均值也是一个正态分布随机变量，且有
样本均值的抽样分布
－－正态总体、 σ2已知时
样本均值的抽样分布（σ2已知）
非正态总体、σ２已知时
设总体X的均值μ和σ2，当样本容量趋向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于正态分布，且样本均值的数学期望和方差分别为
样本均值的抽样分布（σ2未知）
正态总体、总体方差σ２未知时
设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分布总体X~N(μ,σ2)的一个容量为n的简单随机样本，则有
其中
t 分布
t分布(t-distribution)是一连续型分布，其密度函数为：
－∞＜ｔ＜＋∞
t分布的数学期望和方差分别为：
E(t)=0 和 D(t)=n/(n-2)
t 分布的特征
t 分布与正态分布的相似之处：
t 分布基线上的t值从－∞～＋∞；
从平均数等于0处，左侧 t 值为负，右侧 t 值为正；
曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。
区别之处在于：
t 分布的形态随自由度（df=n-1）的变化呈一簇分布形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同。
自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。
自由度
自由度(degree of freedom)是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数。
例题
从一零售商店全年的帐目中随机抽取25天的帐目，计算出这25天的平均零售额为780元，S为100元。若已知该店的日零售额服从正态分布，全年的平均日零售额为825元，问：随机抽取25天帐目，其平均零售额不到780元的概率是多少？
样本均值的抽样分布（σ2未知）
非正态总体、总体方差σ2未知时
当总体为非正态分布时，若总体方差未知，样本为大样本，可以利用 t 分布或正态分布近似求解；样本为小样本时无解。
例题
某总体总体均值为80，总体分布形式及方差未知。从该总体中抽取一容量为64的样本，得出 S = 2。问当 n = 64 时，样本均值大于的概率是多少？
样本均值的抽样分布（小结）
示意图
总体均值的区间估计
自由度df=n-1
X~N(μ,σ2)，或非正态总体、大样本，σ２未知
X~N(μ,σ2)，或非正态总体、大样本，σ２已知
μ
备注
置信区间
已知条件
待估
参数
例题
某种零件的长度服从正态分布。已知总体标准差σ=厘米。从总体中抽取200个零件组成样本，测得它们的平均长度为厘米。试估计在95%置信水平下，全部零件平均长度的置信区间。
例题
上例中，若已知该批零件共有2000件，抽样方式采用不放回抽样，求该批零件平均长度的置信水平为95%的置信区间。
例题
为了制订高中生体锻标准，某区教育局在该区高中生中随机抽取36名男生测验100米短跑成绩。结果这些男生的平均成绩为秒，S为秒。试估计在95%置信水平下，全区高中生100米跑的平均成绩。
总体均值的假设检验
|Z|≥Zα/2
H0:μ＝μ0
H1:μ≠μ0
X~N(μ,σ2)，或非正态总体、大样本，σ２已知
t≥tα
H0:μ≤μ0
H1:μ＞μ0
t≤－tα
H0:μ≥μ0
H1:μ＜μ0
|t|≥tα/2
自由度df= n-1
H0:μ＝μ0
H1:μ≠μ0
X~N(μ,σ2)，或非正态总体、大样本，σ２未知
Z≥Zα
H0:μ≤μ0
H1:μ＞μ0
Z≤－Zα
H0:μ≥μ0
H1:μ＜μ0
H0的拒绝域
检验统计量
假设
已知条件
双侧检验与单侧检验
双侧检验（two-tailed test，two-sided test）：零假设为无显著差异的情况；
左侧检验（left-tailed test）：零假设为大于等于的情况；
右侧检验（right-tailed test） ：零假设为小于等于的情况。
例题
某车间生产的铜丝的折断力服从正态分布，其平均折断力为570公斤，标准差为8公斤。
现由于原料更换，虽然认为标准差不会有什么变化，但不知道平均折断力是否与原先一样。
从新生产的铜丝中抽取16个样品，测得其平均折断力为574公斤。
问：能否认为平均折断力无显著变化？
例题
某区初三英语测验平均分数为65，该区某校25份试卷的平均分数和标准差分别为70和10。问该校初三英语平均分数与全区是否一样？
例题
某市调查大学生在家期间平均每天用于家务劳动的时间。某教授认为不超过2小时。随机抽取100名学生进行调查的结果为：平均时间小时，方差。问：调查结果是否支持该教授的看法？
β错误的概率
若真实的总体平均数μ＜μ0，拒绝区域在左侧时β错误的概率
β错误的概率
若真实的总体平均数μ＜μ0，拒绝区域(region for rejection)在双侧时β错误的概率
β错误的概率
若真实的总体平均数μ＜μ0，拒绝区域在右侧时β错误的概率
