第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量的概念与离散型随机变量
§ 随机变量的概念
为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念.
引入随机变量后,就可以用随机变量X描述事件.一般对于任意的实数集合L,{X ∈L}表示事件{e|X(e)∈L}.
通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.
§ 离散型随机变量
分布律还可以简单地表示为：
分布律具有以下性质:
例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律.
解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为
或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4.
以p=1/2代入得
.
(2)
从而
§2 0-1分布和二项分布
§2 .1 0-1分布(两点分布)
p
1-p
Pk
1
0
X
Pk
1
0
X
+
Pk
1
0
X
例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.
若定义随机变量X为
则有 P{X=0}=,P{X=1}=
若定义随机变量Y为
则有 P{Y=0}=,P{Y=1}=
从中看到X,Y都服从(0-1)分布
§ 贝努里试验和二项分布
X的概率分布表如下:
例:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀.如果从班中随机地找出5名学生,那么其中“成绩优秀的学生数”X服从二项分布X~B(5,1/4).
即
P{X=k}=C5k ()5-k
k=0,1,…,5
P
8
7
6
5
4
3
2
1
0
X
§ 0-1分布和二项分布的关系
p
1-p
Pi
1
0
X
§3 泊松分布
§ 泊松分布
易知
解
(1)
(2)
(3)
§ 二项分布的泊松逼近
泊松定理:
其中
例:设某人每次射击的命中率为.独立射击400次,试求至少击中两次的概率.
解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X,则X~B(400,).
X的分布律为
P{X=k}=C400k××-k ,k=0,1,2,…,400
于是所求概率为
P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
=-400××
直接计算上式很麻烦.
例:设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是,且一台设备的故障由一人处理.考虑两种配备维修工人的方法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.
即有 P{A1+A2+A3+A4}≥
解 按第一种方法.以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,以事件Ai={第i人维护的20台中发生故障不能及时维修}(i=1,2,3,4),则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P{A1+A2+A3+A4}≥P{A1}=P{X≥2} 而X~B(20,),这时λ=np=,故有
解 按第二种方法.以Y记80台中在同一时刻发和故障的台数.此时Y ~B(80,),λ=np=,故80台中发生故障不能及时维修的概率为
所以第二种方法较第一种方法而言,不仅节约了人力,而且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多.
例:设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是,且一台设备的故障由一人处理.考虑两种配备维修工人的方法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.
§4 随机变量的分布函数
§ 分布函数的定义
例:设随机变量X的分布律为
求X的分布函数,并求P{X≤1/2},P{3/2<X ≤5/2},P{2≤ X≤ 3}.
解:由概率的有限可加性得
即
P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4
P{3/2<X ≤5/2}
=F(5/2)-F(3/2)
=3/4 -1/4=1/2
P{2≤ X≤ 3}
= F(3)-F(2)+P{X=2}
=1-1/4+1/2=3/4
-1
1
2
3
1
x
F(x)
F(x)的示意图
§ 离散型随机变量分布函数的计算
设离散型随机变量分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x)= P{X≤x}=∑P{X≤xk}=∑pk
这里和式是对于所有满足xk≤x的k求和.
§ 分布函数的性质
解
(1)
(2)
Pk
4
2
-1
X
§5 连续型随机变量
综上所述
如果令
则有
§ 连续型随机变量的定义
由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数是一个连续函数.
设X为连续型随机变量, 则对任意的实数a<b
即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a,t=b及t轴所围面积.
因此, X取任意单点值a的概率
从而
§ 密度函数的性质
连续型随机变量的密度函数有如下性质：
解
f(x)的图形如图
从而得
解 由密度函数性质
(1)
,从而
(2)
解 任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为
(1)
(2)
例:试确定常数a,使
为某个随机变量X的概率密度,且计算事件{<X ≤2}的概率.
解 因
所以a =2.
故
从而
§6 均匀分布和指数分布
§ 均匀分布
X~U[a,b]时,分布函数为
与x的取值无关.
解 客车停靠时间T~U[12:10,12:45],其密度函数为
所求概率为
例:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900欧至1100欧.求R的概率密度及R落在950欧至1050欧的概率.
解 R的概率密度为
故有
§ 指数分布
指数分布的分布函数为
指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的寿命,随机服务系统的服务时间等都服从指数分布.
例:设随机变量X具有概率密度
试确定常数K,并求P{X>}.
解 由于
即有
解得K=3.于是X的概率密度为
解（1）
（2）
（3）
§7 正态分布
正态分布是一种最常见的随机变量,正态分布的一些性质与特点使其在概率论与数理统计理论中有特别重要的地位.
§ 正态分布的概念
§ 一般正态分布概率的计算
证
令
于是
解
解
所以
查表得
从而
解
由
知
查表得
从而
在自然现象中,大量随机变量都服从或近似服从正态分布. 在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布随机变量起着极其重要的作用.
例:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器整定在d℃,液体的温度X(以℃计)是随机变量,且X~ N(d,).
(1)若d=90,求X小于89的概率.
(2)若要求保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于,问d至少为多少?
解 (1)所求概率为
解 (2)所求的d 应满足
即Φ[(80-d)/] ≤=
故(80-d)/ ≤，即d>
例:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器整定在d℃,液体的温度X(以℃计)是随机变量,且X~N(d,).
(1)若d=90,求X小于89的概率.
(2)若要求保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于,问d至少为多少?
§8 随机变量函数的分布
如果已知随机变量X的分布,另一随机变量Y=g(X)是X的函数,如何求Y的分布.
§ 离散型随机变量函数的分布
例:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2的分布律.
解 Y所有可能取的值为0,1,4.由
P{Y=0}=P{(X-1)2 =0}=P{X=1}=
P{Y=1}=P{(X-1)2 =1}=P{{X=0}+{X=2}}
=P{X=0}+P{X=2}=
P{Y=4}=P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=
即得Y的分布律为
§连续型随机变量函数的分布
在许多实际问题中，常需要考虑随机变量函数的分布.如在一些试验中,所关心的随机变量往往不能直接测量得到,而是某个能直接测量的随机变量的函数.在本节中,我们将讨论如何由已知的随机变量X的分布去求它的函数Y=f(X)分布.
例:设X服从参数为λ的泊松分布,试求Y=f(X)的分布列.其中
解 易知Y的可能取值为-1,0,1,且有
P{Y=0}=P{X=0}=e-λ
求随机变量Y=2X+8的概率密度.
解 先求Y=2X+8的分布函数FY(y).
于是得Y=2X+8的概率密度为
例：设随机变量X具有概率密度
例:设随机变量X具有概率密度pX(x),-∞<x<∞求Y=X2的概率密度.
解 先求Y 的分布函数 FY(y) ．由于Y=X2 ≥０,故当y≤0时． FY(y)=0,当y>0时有
于是得Y的概率密度为
解 先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:
即Y~
从而
解 X的取值范围为(0,1), 从而Y的取值范围为(1,3)
当1<y<3时,Y的分布函数为
由于x<0时，
从而
因此当1<y<3时，
