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基于粒子群的多目标优化演化算法#
陈建国，宋中山，赵帆*
基金项目：国家自然科学基金（60803095）
作者简介：陈建国（1987-），男，硕士生，主要研究方向：演化计算及数据挖掘
（中南民族大学计算机科学学院，武汉 430074）
摘要：针对当前大部分多目标优化演化算法在处理多目标问题时算法设计复杂，耗时巨大，
取得的近似 Pareto前沿点不够多，分布不均匀，覆盖不完整等这些问题，本文提出了一种新
的多目标优化演化算法—基于粒子群和几何 Pareto 选择算法的多目标优化算法 Particle
Swarm Geometrical Pareto Selection(PSGPS)。该算法采用了粒子群优化算法 Particle Swarm
Optimization(PSO)作为个体生成策略，采用几何 Pareto 选择算法 Geometrical Pareto
Selection(GPS)作为文档算法。经过多个测试问题的实验结果表明：该算法使用较低的时间
消耗，但在前沿点个数，前沿点分布均匀性，覆盖完整度等性能指标上都优于当前流行的多
目标优化算法:NSGA2, SPEA2,PESA等算法。
关键词： 演化算法；多目标优化；粒子群优化；文档算法
中图分类号：
Multi-objective Optimization Evolutionary Algorithm Based
On Particle Swarm
CHEN Jianguo, SONG Zhongshan, ZHAO fan
(South-central University for Nationalities College of Computer Science, Wuhan 430074)
Abstract: Currently, most of multi-objective optimization evolutionary algorithms are complex,
time-consuming in dealing with multi-objective problem, at the same time, the approximate Pareto
fronts of these algorithms may not have enough points, with uneven in distribution and incomplete
coverage. This paper presents a new multi-objective optimization evolutionary algorithm, which is
based on Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm and Geometric Pareto selection (GPS)
algorithm, denoted as Particle Swarm Geometrical Pareto Selection (PSGPS). This algorithm uses PSO
as an individual generation strategy to search good solutions and GPS as an archiving algorithm to
store the elitist individuals. The experimental results on nine widely used test-problems show that the
performance indicators, including the numbers of front points, the uniformity, the complete of coverage
and so on, are better than the compared popular multi-objective optimization algorithm: NSGA2,
SPEA2, PESA etc. with satisfactory time consuming.
Key words: Evolutionary Algorithm;Multi-objective Optimization;Particle Swarm Optimization;
Archiving Algorithm
0 引言
演化算法是建立在自然选择和遗传变异理论之上的一种随机搜索技术[1]。近年来，关于
多目标优化演化算法的研究正在不断的升温。现有的多目标优化演化算法可分为：非 Pareto
方法阶段、非精英 Pareto 方法阶段、精英策略阶段、保证算法收敛的阶段。每个阶段的代表
算法如下： Schaffer 博士的向量评估遗传算法—VEGA[2],该算法只能够收敛到个别的
非劣解，不能够完全覆盖 Pareto 前沿。 和 Fleming 的多目标遗传算法—MOGA[3]；
Hore，Nafpliotis 等的一个基于非劣解概念的多目标遗传算法—NPGA[4]；Srinivas 和 Deb 的
非劣排序遗传算法—NSGA[5]，该时期算法主要是采用 Rank 技术+Niching 技术来保证所得
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到的 Pareto前沿分布均匀，近似程度好，但有可能出现收敛速度慢或者是不能够收敛到 Pareto
前沿的情况。 和他的学生提出的改进的 NSGA—NSGA2[6]；Zitzler 和 Thiele 的强 Pareto
演化算法—SPEA 及其改进型 SPEA2[7]，该时期算法采用了文档来保存精英解，使用聚类等
方法来保持种群的多样性。4.适用性网格算法 AGA[8]和 2006 年郑波尽博士提出的几何 Pareto
选择算法—GPS[9]等，该阶段的算法保留了第三个阶段算法的优点而且能够保证算法的收敛，
算法简单，快捷，得到的点分布均匀。
目前，在多目标演化优化算法的研究中，基于 Pareto 和精英策略的演化算法占据了主流
位置，其基本模式为：个体生成器策略+文档策略。在个体生成器策略中本文采用了 PSO，
该算法没有使用交叉及变异操作，同遗传算法比较，具有以下优点：简单容易；实现需要调
整的参数少；收敛快速。由于其收敛速度快，这样很容易出现早熟现象，为解决这一问题，
本文对 PSO 进行了改进。文档策略本文采用了郑波尽博士的快速文档处理算法—GPS，采
用该算法的多目标优化演化算法具有以下优点：能以概率 1 强收敛[10]到射线 Pareto 前沿；
前沿点分布均匀；前沿点个数足够；时间复杂度仅为 O(M)(M 为目标数)。鉴于以上两个算
法的优越性，本文将 PSO 和 GSP 相结合来解决多目标演化优化问题。通过选取多个有代表
性的多目标问题进行实验，并将本算法与现有算法进行比较，实验表明：该算法与 NSGA2，
SPEA2，PESA 相比具有运行时间少，前沿点个数多，分布均匀，覆盖完整等优越性。
1 算法介绍
粒子群优化算法
粒子群优化算法是一种基于群智能的演化计算技术，该算法于 1995 年由 Eberhart 博士
和 kennedy 博士提出[11]。其基本思想是：初始化一群随机解作为随机粒子，然后通过迭代找
到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个"极值"来更新自己，第一个就是粒子本身所
找到的最优解，这个解叫做个体极值 pBest，另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这
个极值是全局极值 gBest。
在找到 pBest 和 gBest，粒子根据公式（1）、（2）来更新自己的速度和新的位置：
V[i]=w*v[i] +c1*rand()*(pbest[i]-present[i]) +c2*rand()*(gbest[i]-present[i])(1) (1)
Present[i]=present[i] +v[i] (2)
v[i]是粒子 i 的速度，w 是惯性权重，present[i]是当前粒子 i 的位置，rand()是介于（0，
1）之间的随机数，c1，c2是学习因子。
几何 Pareto 选择算法
郑波尽博士的几何 Pareto 选择算法是一种基于采样模式的文档算法[12]。该算法和适应
性网格算法(Adaptive Grid Algorithm—AGA)都是采用采样模式，但是该算法更简单、快速且
空间复杂度。用文档来保存最优解，即获得了 Pareto 前沿点的采样，几何 Pareto 选择算法是
目前最先进的保存最优解的算法。
该算法的基本思想如下：
对于给定的多目标问题，在这里假设为二目标问题，首先将每个目标函数做
F'i(x)=arctan(Fi(x))的函数变换，将每个目标的取值范围限定在 [-π/2，π/2]。这样采样的间距
被转化成了一个角度，且角度可以通过射线的斜率计算出来。根据采样点的个数将 Pareto
前沿等分，选择一个远离 Pareto 前沿的辅助点，计算新个体与该辅助点之间的连线的斜率，
根据斜率定位该新个体属于哪个精英空间，并计算新个体与该辅助点之间的距离，根据精英
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空间中精英个体与辅助点的距离和当前新个体与辅助点之间的距离的比较结果，来判断是否
将新个体替换原精英个体。
具体算法如下：
1）为了使得到的近似 Pareto 前沿更加均匀，我们采用如下公式对目标函数进行变换，
使目标的取值范围限定在[-π/2，π/2]。Baseline 和 Scale 分别是 Pareto 前沿点中的各个目标的
最小值和最大值。
i i i
i
i
Objective -Baseline -ScaleFitness = arctan
2 Scale
i = 1, 2, m
π
…
（ ）
，
（3）
2）选择一个辅助点 P(Xp,Yp)。由于 Xp,Yp 的值设置越大，可以得到更加近似的 Pareto
前沿点，所以考虑到计算机的计算精度和求解的需要，这里 Xp,Yp 都设定为 100000。
3）计算最大和最小斜率。
Y - / 2M in im um S lope
X / 2
Y + / 2M in im um S lope
X - / 2
p
p
p
p
π
π
π
π
= +
=
（4）
4）计算斜率间隔 κ。这里 κ是一个弧度常数，假设获取 NumPn 个前沿点，它将 Pareto
前沿均匀的划分为 NumPn 等份。
MaximumSlope-MinimumSlope=
NumPn + 1
κ （5）
5）创建一个数组 A，其大小为 NumPn，用这个数组作为文档来保存当前最优解。
6)当新个体需要插入到文档中时，使用如下规则：
计算新个体到辅助点之间的斜率。
xx
yy
−
−=
1
1α (6)
计算新个体到辅助点之间的距离。
2
1
2
1 )()( xxyydis −+−= (7)
计算新个体在精英空间中的位置。
MinimumSlopepos α κ
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ (8)
修改精英空间。
N(x1, y1), if dis>A[pos].dis
A[pos] :=
A[pos], if dis A[pos].dis
⎧⎨ ≤⎩
(9)
GPS 算法示意图如下：
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图 1 GPS 示意图
目标范围为[0,1]，等分为 20 等份，
辅助点为[4,4]
Fig. 1 the Sketch map of GPS
The range of Target is [0, 1], divided into 20, Auxiliary point is [4, 4]
2 基于粒子群和几何 Pareto 选择算法的多目标优化算法
在 PSO 中只根据 gBest 和 pBest 给出信息给其它的粒子，这是一个单向流动的过程，即
整个的搜索更新过程是跟随当前最优解的过程，而遗传算法是通过染色体互相共享信息，使
整个种群均匀地向最优区域移动，在大多数情况下，粒子群算法比遗传算法能够更快的收敛
到最优解，虽然能够快速收敛，但是这样出现了算法使解陷入局部最优的问题。为防止早熟
问题，在新个体不能占优旧个体的情况下，加入一定概率的变异，对仍然不占优的个体，采
取杂交策略，这样就增大解的搜索范围，保证解的多样性。GPS 算法中，前沿点的分布均匀
性取决于采样点的数量，而采样点的数量由采样率保证，前沿点的近似程度取决于新个体的
质量，而精英空间中的计算速度由新个体与精英空间中已有个体的比较操作的局部性而得到
提高。对于每一个新增加的个体，GPS 的操作包括：点角度的定位，计算距离，比较。其中
点角度的定位对于 M 维目标需要计算 M-1 次，复杂度为 O(M)；计算距离不与其它点有关，
复杂度为 O(1)；由于比较只与一个个体比较，所以时间复杂度跟精英空间中个体数目无关，
复杂度为 O(1)，所以对于 M 维目标总的时间复杂度为 O(M)，对于 N 个个体插入到精英空
间中，其复杂度为 O(MN)。假设算法的代数为 G，最终的精英空间的大小为 A，则作清理
的时间为 O(MA2)，对于二目标问题可以改进到 O(MA)，在未改进的情况下算法的总体时间
复杂度为 O(GMN)+O(MA2)，对于很多的 MOEA 算法的时间复杂度，在 Jensen 的论文[13]中
都进行了讨论，对于 NSAG2 算法改进后的时间复杂度为 O(GNlogM-1N)，SPEA2 在处理二
目标问题时为 O((N+A)3/2log(N+A))，处理三维目标问题时仍是 O(GM(N+A)2)，所以采用 GPS
的多目标优化演化算法具有较高的速度。在空间复杂度上，GPS 算法的空间复杂度为
O(NM-1)，在二维和三维目标问题时并不比 SPEA2 和 NSGA2 等算法高。本文算法将粒子群
优化算法进行改进并和几何 Pareto 选择算法相结合，将同时发挥其高效的特性。
总体的算法流程如下：
Program PSGPS
Begin Procedure
Initialization population
Initialization elite space
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While (! Terminate ())
Find gBest
For i=1 to PopSize
Find pBest
Generate one new location Temp using the formula (1)and(2)
Try to insert this location into archive using the method of GPS
If Better (Temp, Indiv[i]) then Indiv[i]:=Temp;
else Mutation with the rate of
Try to insert this location into archive using the method of GPS
If Better (Temp, Indiv[i]) then Indiv[i]:=Temp;
else Crossover
Try to insert this location into archive using the method of GPS
If Better (Temp,Indiv[i])then Indiv[i]:=Temp
End for
End While
Eliminate the dominated solutions from Archive
Output the non-dominated set of Archive
1) 种群的划分
本算法中将种群划分为 M+1 个子种群，M 为目标函数的个数。每个目标函数优化 1 个
子种群，自定义第 M+1 个目标优化函数，用其来优化所有的多目标函数，并将这个函数取
名为折中函数。用公式表示：
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i
i 1 1 2 3 i
G x F x
G x F x F x F x . F x /M+
=
= + + +…+⎡ ⎤⎣ ⎦ （10）
2) PSO 的极值点选取
的选取
使用 better()函数将新个体与对应旧个体进行比较，如果返回为 true，则用新个体更新对
应 pBest。
的选取
使用 better()函数将整个种群中个体与其对应目标下最优个体进行比较，如果返回为
true，则用该个体更新对应目标下的 gBest。
3) 个体更新
种群在进行个体更新时，可以采用如下策略来更新个体：1.如果新个体被文档接受，则
更新新个体。2.使用 better()函数将新个体和旧个体进行比较，如果返回为 true，则用新个体
更新旧个体。better()函数比较规则为：如果新个体的函数值比旧个体的小，则返回 true；如
果函数值相同且比较函数都是折中函数，则返回 true，否则根据折中函数进行比较，如果新
个体的折中函数值小于旧个体的折中函数值，则返回 true。
4) 演化算子
1.杂交算子，假设 X1,X2 是两个父个体，X1(x11,x12…,x1n),X2=(x21,x22…,x2n)，随机选择一
个实数 α，并且新个体 X1’满足：
'
1 1 2= X + (1- )XX α α （11）
2.变异算子，使用的是 Delta 变异算子，假设父体为 X1(x11,x12…,x1n)，随机选择一个基
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因 X1j，令：
1 1 ( , )j jx x Random β β′ = + − （12）
3 实验及结果分析
为了验证该算法的性能，我们选取了 ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、SPH2、SPH3、
KUR1、QV 这些测试函数，并将实验数据跟 SPEA2、NSGA2、PESA 所得的数据进行比较，
这些对比的数据可以从 Zitzler 的网址上下载到。实验中 c1*rand()，c2*rand()的取值范围为
(,)，w 取 1。
为了比较算法的优越性，我们引入两个指标 S 和 D 来度量超体积的多样性和近似度。
超体积即解构成的空间，它是融合了算法解收敛性、均匀性、和解的个数的度量尺度，它通
过计算近似 Pareto 前沿点所占优的超体积来决定算法的性能，显然，占优的超体积越大，则
算法的性能越好，因为占优的体积主要取决于前沿点的逼近程度，解的分布均匀性和解的个
数。S 为超体积的大小，D 用来度量超体积的差异。假设要度量算法 A 和 B，S(A)为算法 A
所得到的解的超体积，D(A,B)为 A 算法所得解的超体积占优 B 算法所得解的超体积的大小，
D(A,B)为 B 算法所得解的超体积占优 A 算法所得解的超体积的大小，则 D(A,B) = S(A+B) -
S(B)，D(B,A) = S(A+B) - S(A)，如果要比较 D(A,B)和 D(B,A)的质量则还需要定义一个指标
Q，Q 用来度量算法 A，B 所得解之间的占优比率，Q(A)表示 A 算法得到的解在 A,B 两个算
法共同最优解中的占优比率。
D(A+B)(A)
D(A+B)+D(B+A)
D(B+A)(B)
D(A+B)+D(B+A)
Q
Q
=
=
(13)
下面我们列出各问题以及对于各问题本文提出的算法一次运行的结果。
1. 问题 1：QV(维数为 100)
( )
( )
1
4
2
1
1
1
4
2
2
1
1 ( ) 10cos(2 ) 10
1 ( ) ( ) 10cos(2 ( )) 10
. . : 5 5 1, , 100
n
i i
i
n
i i
i
i
Min f X x x
n
Min f X x x
n
s t x i n n
π
π
=
=
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
− ≤ ≤ = =
∑
∑
"
1 KUR 有两个函数，这里选择的是其中较难的，为与另一个区分，在本文中改写为 KURS。
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图 2 QV 的比较图
Fig. 2 Comparisons on QV
2. 问题 2：ZDT1
1 1
1
2
2
( )
( ) ( ) ( ) 1
( )
( ) 1 9 * / ( 1 )
. . : 0 1 3 0
n
ii
i
M i n f X x
f XM i n f X g X
g X
g X x n
s t x n
=
=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= + −
≤ ≤ =
∑
图 3 ZDT1 的比较图
Fig. 3 Comparisons on ZDT1
3. 问题 3：ZDT2
1 1
2
1
2
1
( )
( ) ( ) ( ) 1
( )
( ) 1 9
1
. . : 0 1 3 0
n
i
i
i
M i n f X x
f XM i n f X g X
g X
x
g X
n
s t x n
=
=
⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= + −
≤ ≤ =
∑
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图 4 ZDT2 的比较图
Fig. 4 Comparisons on ZDT2
4. 问题 4：ZDT3
1 1
1 1 1
2
2
2
( )
sin(10 ) ( ) ( ) 1
( ) ( )
( ) 1 10( 1) ( 10cos(4 ))
. . : 0 1 30
n
i ii
i
Min f X x
x x xMin f X g X
g X g X
g X n x x
s t x n
π
π=
=
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
= + − + −
≤ ≤ =
∑
图 5 ZDT3 的比较图
Fig. 5 Comparisons on ZDT3
5. 问题 5：ZDT4
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1 1
1
2
2
2
1
( )
( ) ( ) ( ) 1
( )
( ) 1 10 * ( 1) ( 10 cos(4 ))
. . : 0 1 , 5 5 30
n
i i
i
i
M in f X x
f XM in f X g X
g X
g X m x x
s t x x n
π
=
=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= + − + −
≤ ≤ − ≤ ≤ =
∑
图 6 ZDT4 的比较图
Fig. 6 Comparisons on ZDT4
6. 问题 6：ZDT6
6
1 1 1
2
1
2
0 . 2 5
2
( ) 1 e x p ( 4 ) s i n ( 6 )
( ) ( ) ( ) 1
( )
( ) 1 9
1
. . : 0 1 1 , . . . , ( 1 0 0 )
n
ii
i
M i n f X x x
f XM i n f X g X
g X
x
g X
n
s t x i n n
π
=
= − −
⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⎜ ⎟−⎝ ⎠
≤ ≤ = =
∑
图 7 ZDT6 的比较图
Fig. 7 Comparisons on ZDT6
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7. 问题 7：SPH2 (维数为 100)
2 2
1 0
1
2 2 2
2 0 1
2
( ) ( 1)
( ) ( 1)
. . : 0 1 0 , , 9 9
n
i
i
n
i
i
i
M in f X x x
M in f X x x x
s t x i
=
=
= − +
= + − +
≤ ≤ =
∑
∑
"
图 8 SPH2 的比较图
Fig. 8 Comparisons on SPH2
8. 问题 8：SPH3(维数为 100)
2 2
1 0
1
2 2 2
2 0 1
2
2 2 2 2
2 0 1 2
3
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
. . : 0 1 0 , , 9 9
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
M i n f X x x
M i n f X x x x
M i n f X x x x x
s t x i
=
=
=
= − +
= + − +
= + + − +
≤ ≤ =
∑
∑
∑
"
图 9 SPH3 的比较图
Fig. 9 Comparisons on SPH3
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9. 问题 9：KURS ( )
( )
[ ]
2 2
1
1
1 1
3
2 1
( ) 1
( ) | | 5sin
. .: 5 , 5 , 1,...,100
i in x x
i
n
i ii
i
Minimize f X e
Minimize f X x x
s t x i
+− − +
=
=
= −
= + +
∈ − =
∑
∑
图 10 KURS 的比较图
Fig. 10 Comparisons on KURS
从以上各个问题的对比图形可以看出，该算法在求解 ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、SPH2
问题时所得到的解完全占优于其它对比算法的解，仅在求解 KURS、QV 和 ZDT6 问题时不
能完全占优，将 KURS、QV 和 ZDT63 问题的各个指标列举出如下，分别为表 1，表 2，表
3。P，C 分别表示 PSOGPS 算法和对比算法，其中 S(P)表示本算法的 S 指标，S(C)表示对比
算法的 S 指标，D(PC)表示 D(P，C)，D(CP)表示 D(C，P)。
表 1 QV 问题的各个对比结果
Tab1 Comparison Results on QV
QV SPEA2 PESA NSGA2
S(P)
D(PC)
S(C)
D(CP) 0
(P) % % 100%
表 2 KURS 问题的各个对比结果
Tab2 Comparison Results on KURS
KURS SPEA2 PESA NSGA2
S(P)
D(PC)
S(C)
D(CP)
Q(P) % % %
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表 3 ZDT6 问题的各个对比结果
Tab3 Comparison Results on ZDT6
ZDT6 SPEA2 PESA NSGA2
S(P)
D(PC)
S(C)
D(CP) -07 -07 -06
Q(P) % % %
经计算，上述三个问题的占优比（Q 测度值）都高于 99%，在另外的问题上更达到了
100%。这证明了该算法在结果的近似程度上远优于对比算法。
由于本文算法中的生成策略将种群分为 M+1 个子种群，自定义了 1 个目标函数，即折
中函数。在二目标下，粒子很快可以收敛到两个函数极值点和折中函数的极值点。虽说种群
更新中引入了一定概率的杂交和变异，仍可能出现两个邻近目标之间的区域不能够充分收敛
到 Pareto 前沿，经过分析，如果我们在原有的 M 个目标下引入更多的折中函数，上述现象
就会得到解决。
该算法在速度方面也具有良好的性能，下面将各个问题的运行时间列出如下表 4。
在 Intel 双核处理器主频 的机器上以单线程运行，时间单位为毫秒。
表 4 各个问题的运行时间
Tab4. Computational Time
问题 ZDT1 ZDT2 ZDT3 ZDT4 ZDT6 QV SPH2 SPH3 KURS
平均时间 82402s 66044s 71895s 155694s 106950s 536095s 315189s 439656s 2306714s
时间标
准差 898
通过实验结果可得出：该算法得到的解更加接近真实 Pareto 前沿，且从图形中解的分布
来看，该算法能够得到足够多的解且解分布均匀，远远优于所对比的著名算法。
4 结论和展望
在本文中作者受 PSO 和 GPS 两种算法的启发，提出了一种高效的多目标演化优化算法，
经实验证明，这个算法比当前主流的著名算法—SPEA2，PESA，NSGA2 等算法都要优越。
在实验中，这个算法的一次运行生成的解，无论是在数量上还是在均匀性上，都要比对比算
法运行 30 次生成的解之和要好。在覆盖完整性上，其它算法在处理 QV 和 KURS 问题时都
无法实现解的完全覆盖，而本算法做到了这一点，此外，本算法在时间复杂度上比其它算法
要低。该算法在处理二目标和三目标时表现了良好的效果，在以后的工作中将希望解决三目
标以上问题的解决。本算法中采用的是数组存储精英解，但是当维数增加时，该算法需要更
多的存储空间，如果采用其它的一些数据结构来存储精英解，有可能降低存储的空间。在
QV、KURS 和 ZDT6 中存在不能占优的解，如何采用更多的折中函数来使所得解能够完全
占优，这些问题都有待作者的进一步研究。
致谢
本文作者感谢舒万能的讨论与帮助。全体作者感谢国家自然科学基金项目（编号：
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60803095）和国家重点基础研究发展计划（973 计划）（编号：2007CB310804）资助。特
此致谢。
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