经 管 数 学
第七章 概率论基础
条件概率与概率乘法公式
案例
袋内有5个正品和3个次品，从袋内取出一个产品 后，不放回，再从袋内取出一个产品。求
(1) 第一次取到正品的概率；
(2) 第一次取到正品后，第二次再取到正品的概率；
(3) 第一次取到次品后，第二次再取到正品的概率。
解
记第一次取到正品的事件为A，
第二次取到正品的事件为B。
(1) 样本空间由5个正品和3个次品组成，故
§ 条件概率与概率乘法公式
（2）第一次取到正品，即事件A发生后，样
本空间改为由4个正品和3个次品组成，此时再取到正品 (此事件记为B/A) 的概率为
（3）第一次取到次品，
即事件
样本空间改为由5个正品和2个次品组成，此时再取到正品 (此事件记为 ) 的概率为
发生后，
案例
某地100名农民工中，有男工80人，女工20人；来自四川的有20人，其中男工12人，女工8人.从中任选1人
（1）求此人是来自四川的概率；
（2）此人是来自四川的男工的概率；
（3）已知此人来自四川，求此人是男工的概率.
解
设事件A={来自四川}，事件B={男工}
（1）基本事件总数为100，A含的基本事件数
为20，所以
（2）基本事件总数为100，来自四川的男
工用AB表示，事件AB含的基本事件数为
12，所以
（3）已知此人来自四川，求此人是男工的概
率，即事件A已发生的条件下求事件B发生
的概率
,
由于A事件已发生，样本空间改变，新样本空间为来自四川的农民工，基本事件总数为20， 含的基本事件数即在新的样本空间中含的男工数为12，所以
且由（1）（2）（3）可验证结论
设A, B为两个事件，P(A)≠0，在事
件A已发生的条件下事件B发生的概
率记作P(B/A)，表示事件A发生的条
件下，原样本空间改变，在新样本
空间的事件B/A发生的概率，它和原
样本空间的概率P(A)和P(AB)有如下
关系：
（）
定义
的概率乘法公式为
一般地，:关于n个事件
（）
概率乘法公式
案例
市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件
分别表示甲、乙两厂的产品，
B表示产品为合格品.
求
解
市场供应的灯泡为样本空间时，
甲厂产品的合格率是A发生的条件下，以甲厂产品为新样本空间时事件 B/A 发生的概率
乙厂产品的合格率是
以乙厂产品为新样本空间时事件
发生的条件下，
发生的概率
案例
求案例中从市场上买一个灯泡
(1)是甲厂生产的合格灯泡的概率;
(2)是乙厂生产的合格灯泡的概率；
(3)是合格灯泡的概率.
解
（1）要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产(事件A发生),又是合格灯泡的(事件B发生)概率,也就是求A与B同时发生的概率.由乘法公式,有
（2）同理
（3）买到合格灯泡的事件B，可分成两个互斥
事件的和
，即
解本题（3）用完备事件组将事件分解为几个互斥事件，再通过计算各互斥事件的概率和来求事件的全部概率的方法，称为全概率方法，在概率论中经常应用
注意：
案例
甲、乙二人参加应聘面试，若10个考签中有4个难签,2人参加抽签(不放回),每人抽1签，甲先乙后,分别求甲、乙抽到难签的概率.
解
设事件A、B分别表示甲,乙抽到难签,有
由全概率方法，乙抽到难签的事件B可用甲是否抽到难签即
构成的完备事件来分解.
故
表示事件发生条件下，即甲抽去1个难签后，样本空间变为3个难签、6个易签时乙抽到难签的概率，所以
其中
事件发生条件下，即甲抽去1个易签后，样本空间变为4个难签、5个易签时，乙抽到难签的概率
所以
因此
故甲、乙抽到难签的概率相等。
案例
【来自生活中的案例】精彩的世博会将要举行，5位观众好不容易才搞到一张入场卷，现在用抽签的方式来决定谁去.用5张同样的卡片，只有一张写有“入场卷”，其余的什么也没写，让5个人依次抽取.可他们争先恐后，唯恐被排在后面抽取.有人说：“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.” 另一人随声附合道“第一个人抽的时候，无论如何写有入场卷的卡片还在，假若它被第一个抽去了，后面的人就根本不用抽了.”.难道后抽的比先抽的确实吃亏吗？主持抽签的人出来说：“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到“入场卷”的机会都一样大。”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下每个人抽到“入场卷”的概率到底有多大？
解
用
表示第i个人抽到入场卷
则 表示第i个人未抽到入场卷”.
显然，对于第1个人而言
也就是说第一个抽到入场卷的概率是
由全概率方法，第2个抽到入场卷的事件
，但
因此
, 应用乘法公式
其中
因为在发生的条件下，第2个人在剩下的4卡片中，抽到“入场卷”的概率是
同理，第3个人抽到入场券的概率
继续做下去，就会发现每个人抽到入场卷的概率都是
因此主持人说的对“谁抽到“入场卷”的机会都一样大.”
课堂练习题
习题一、已知P(A)=,P(A|B)=,P(B|A)=,
求： (1)P(A∪B)
习题二、同时掷两颗殷于，试求：
(1)两颗殷子点数之和不超过8点的概率;
(2)两颗被子点数之差不超过2点的概率．
课堂习题答案
习题一、
[分析]从P(AB)＝P(B)P(A| B)，可得 ，
再用加法公式得P(AU B)．为求P( U B)需用到
P( B)=P(B)P( |B)=P(B)[1一P(A| B)]．
[解答] (1)因为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝
故P(AUB)＝P(A)+P(B)-P(AB)＝.
(2)由于P( )＝1—P(A)＝
从而
习题二、
【分析】设两额殷子出现的点数为(m，n)，则样本空间
Ω＝{ (m，n)| 1≤m,n≤6}，共有6x 6个基本事件．
设事件A＝ {两颗被子点数之和不超过8点}= { (m，n)|m+n≤8}，不难看出当m十n＝2、3、4、5、6、7时，
分别有1，2，3，4，5，6个基本事件，而当m+n=8时，有
5个基本事件．设事件B＝{两颗银子点数之差不超过2点}
= { (m，n)| |m-n|≤2} ，相当于m—n= -2、-1、0、1
2，分别有4，5，6，5，4个基本事件．
【解答】 (1)两颗被子点数之和不超过8点的概率为
(2)两颗银子点数之差不超过2点的概率为：
