第十一章
现代利率期限结构模型
学习目标
掌握现代利率期限结构现代理论-均衡模型
掌握现代利率期限结构理论-无套利模型
能够建立现代利率期限结构模型模拟固定收益证券价格
现代利率期限结构理论——均衡模型
单因子模型：将整条收益率曲线看作是短期利率的函数，当无风险短期利率变化时，具有不同到期时间的各种债券价格的变化是时相关的。
短期利率模型一般形式
推导零息债券的价格的方法，
利用伊藤引理推导出零息债券的价格满足的偏微分方程，使用分析或者求数值解的方法得到零息债券的价格；
基于风险中性测度的条件下，计算零息债券价格的条件期望值。
现代利率期限结构理论——均衡模型
Vasicek模型（1977）
假设短期利率的历史数据服从如下随机过程：
在风险中性测度 下，短期利率的变化过程表示为：
现代利率期限结构理论——均衡模型
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债券在 时的价格为：
Vasicek模型的参数估计
首先，将短期利率变化离散化
现代利率期限结构理论——均衡模型
到期期限 的零息票债券价格是 ,实际零息债券的价格设为 ,则 其中 是残差, 是待估参数。
考虑到 和 ，可以使用极大似然函数法估计参数，假设有N+1天的短期利率样本数据和M个第N+1天的具有相同到期日的零息债券价格数据，估计第N+2天零息债券价格。我们可以使用两类方法估计模型参数，进而估计零息债券价格。
现代利率期限结构理论——均衡模型
第一类方法：
现代利率期限结构理论——均衡模型
第二类方法：
现代利率期限结构理论——均衡模型
使用中国债券市场七日回购利率两周加权平均数据模拟短期利率动态模型，样本区间2008年6月20日-2010年4月29日，样本数据共465个。样本数据集命名为。
使用Vasieck模型的matlab代码:
function F = shortinterest(x)
[r,Txt]=xlsread('D:\\mfile\randominterest');
t=Txt(:,2);
c(2)=0;c(4)=0;c(6)=0;c(7)=0;
for i=1:464
DeltaR(i)=r(i+1)-r(i);
c(2)=c(2)-DeltaR(i)^2*365/2;
c(4)=c(4)-DeltaR(i)*r(i);
c(6)=c(6)+r(i)/365;
c(7)=c(7)-r(i)^2/(2*365);
end
c(1)=-464/2;c(3)=r(465);c(5)=-464/(2*365);
% x(1),x(2),x(3)是待估参数
F=-(c(1)*2*log(x(1))+x(1)^(-2)*(c(2)+c(3)*x(2)*x(3)+ c(4)*x(2)+c(5)*x(2)^2*x(3)^2+c(6)*x(2)^2*x(3)+c(7)*x(2)^2));
clear;
[x,fval]=ga(@shortinterest, 3,[],[],[],[],[ 0 0],[1 50 1],[],[])
现代利率期限结构理论——均衡模型
CIR模型（1985）
假设短期利率的历史数据服从如下随机过程：
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——均衡模型
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——均衡模型
CIR模型的参数估计方法和Vaseick模型的类似。
第一类方法对应的极大似然函数为
第二类方法对应的极大似然函数为
现代利率期限结构理论——均衡模型
双因子CIR模型
模型假定短期利率是两个因子之和，这两个因子服从CIR模型指定的随机过程：
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——无套利模型
Ho-Lee无套利模型（1986）
短期利率和债券价格变化符合二叉树模型，示意图如下
现代利率期限结构理论——无套利模型
模拟此二叉树过程的具体步骤：
现代利率期限结构理论——无套利模型
模拟此二叉树过程的具体步骤：
3. 最后
现代利率期限结构理论——无套利模型
Ho-Lee模型的问题：
允许负的利率出现；
短期利率的波动率是个常数，与利率水平无关；
期限结构的动态变化只受短期利率的影响。
现代利率期限结构理论——无套利模型
Hull-white（1990）模型
假定短期利率满足随机过程：
贴现债券价格满足
现代利率期限结构理论——无套利模型
构建Hull-White三叉树模型
1. 短期利率离散化
把短期利率 的微分方程转化成 满足的微分方程
进一步离散化有
现代利率期限结构理论——无套利模型
2.
现代利率期限结构理论——无套利模型
r(t)三叉树的构建
假设
现代利率期限结构理论——无套利模型
则有
