第八节 概率、统计中的创新性问题
高中总复习·数学
重点解读
概率统计中的创新性问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类
问题的关键是通过阅读理解题意，作出分析判断，获取关键信息；搞清各
数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为数学问
题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策.
目
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C
O
N
T
E
N
T
S
考点·分类突破01.
课时·跟踪检测02.
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PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
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概率、统计与函数的交汇问题（师生共研过关）
（2025·怀化一模）现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规
定两名运动员谁先赢 k（ k＞1， k∈N*）局，谁便赢得全部奖金a元.假设
每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1－p，且每场比赛相互
独立.在甲赢了m（m＜ k）局，乙赢了n（n＜ k）局时，比赛意外终止，
奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下
去各自赢得全部奖金的概率之比P甲∶P乙分配奖金.
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解题技法
概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，
利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二
次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以
下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量
的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所
以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，
二是实际问题中变量自身范围的限制.
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某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的
120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表：
入住房间的类型 单人间 双人间 三人间
人数 36 60 24
（1）若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随
机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入
住单人间的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
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ξ 0 1 2 3
P
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（2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2
人和入住多人间的m（m＞2且m∈N*）人组成一组，负责人从某组中任
选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组被标为Ⅰ，否则该
组被标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p.
①试用含m的代数式表示p；
②若一共询问了5组，用g（p）表示恰有3组被标为Ⅱ的概率，试求g
（p）的最大值及此时m的值.
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概率、统计与数列的交汇问题（师生共研过关）
为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明
每次试验成功的概率为p（0＜p＜1），且每次试验相互独立.
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X 0 1 2 3 4 5
P
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解题技法
概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递
推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的
“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则；
（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问
题；（3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为
等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用
相关公式.
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概率中的证明问题（师生共研过关）
最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验成功
的概率为p（0＜p＜1）.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则
试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次.记X为试验结束
时所进行的试验次数，X的数学期望为E（X）.
解： 证明：由题意，X＝1，2，3，…，8，
故P（X＝ k）＝p（1－p） k－1， k＝1，2，…，7，P（X＝8）＝（1－
p）7.
分布列如下表所示：
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X 1 2 3 4
P p p（1－p） p（1－p）2 p（1－p）3
X 5 6 7 8
P p（1－p）4 p（1－p）5 p（1－p）6 （1－p）7
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（2）某公司意向投资该产品，若p＝，每次试验的成本为a（a＞0）
元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由.
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解题技法
解决概率中的证明问题的关键是理解随机事件中互斥、对立、独立事
件的概念及相互关系，理解条件概率、全概率公式的意义及性质，掌握随
机变量的分布列、均值、方差的计算公式，掌握二项分布、超几何分布、
正态分布概率模型的特点及求解规律.会灵活运用上述定义、性质及公式
进行逻辑推理、数学运算，进而推出要证结论成立.
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（2024·潍坊一模）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称
（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.设（ξ，η）的一切
可能取值为（ai，bj）， i， j＝1，2，…，记pij表示（ai，bj）在Ω
中出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1
号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则（ξ，η）是一个二
维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；
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②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果用m，n表
示）；
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PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
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（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 23 24 25
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（2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投n（n∈N*，n≤33）个
球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投100－3n个.试问n为
何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
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2. （2024·金丽衢十二校第二次联考）某工厂生产某种元件，其质量按测
试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种
元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标 [20，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100]
元件数
（件）
12 18 36 30 4
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（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件
也为合格品的概率；
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（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
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（2）设第n（n∈N*，n≥5）次答题后游戏停止的概率为an.
①求an；
②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.
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4. （2025·菏泽模拟）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行夏季奥运
会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛
与决赛，初赛通过后才能参加决赛.
（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中
小对其中4道题，记小赛中答对的题目个数为X，求X的数学
期望以及小经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
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X 0 1 2
P
故X的分布列为：
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THANKS演示完毕 感
