第三节 投入产出表的消耗系数
投入产出表作为一种模拟实际经济系统的模型，可以清晰地描述经济系统以及系统内部各部分之间的关系，具有很大的应用价值。
但是，它的更重要的价值在于从表中可以求得若干反映经济系统内部各部分之间关系的系数，然后利用这些系数建立各种经济数学模型。
最重要的系数是各种消耗系数。
⒈ 直接消耗
直接消耗包括在生产经营过程中直接的生产消耗、直接用于管理的消耗、直接用于劳动保护的消耗和直接用于中小修理的消耗等。
⒉ 直接消耗系数
⑴ 定义
第j个部门（或第j 种产品）的1个单位产出量所直接消耗的第i个部门（或第i 种产品）产出量的数量。用 aij 表示。
一、直接消耗系数
(2)计算
注意：
计算公式中分母是Xj而不是Xi，为什么？（如果分母是Xi，计算得到的aij表示什么经济意义？）
(3)性质
3、直接消耗系数矩阵
将直接消耗系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用A表示，为一 n阶方阵。
对于假想表1-2-1所表示的投入产出模型，有
对于上述1997年中国价值型投入产出表（6部门）有如下直接消耗系数矩阵
2000年中国价值型投入产出表（6部门）直接消耗系数矩阵
⒈ 完全消耗的含义
完全消耗=直接消耗 + 全部间接消耗
二、完全消耗系数
=直接消耗 + 一次间接消耗
+ 二次间接消耗
+ 三次间接消耗
+…
例：钢的生产中对电的消耗
能够揭示部门间（或产品间）的完全消耗关系，是投入产出分析所特有的功能，是投入产出分析之所以具有重要的广泛的应用价值的原因所在。
一个典型的例子：美国二战时期制造飞机。
制造飞机 铝（电解铝） 电 铜
特点：
⒉ 完全消耗系数
⑴ 定义
第j个部门（或第j 种产品）的1个单位最终使用的产出量所完全消耗第i个部门（或第i 种产品）产出量的数量。用bij表示。
注意：完全消耗系数是相对于1个单位最终使用的产出量而言的，而直接消耗系数是相对于1个单位的总产出量而言的。这是十分重要的区别。
为什么完全消耗系数只能是相对于1个单位最终使用的产出量而言？
将完全消耗系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用B表示，为一n阶方阵。
（2）完全消耗系数矩阵
3、完全消耗系数计算公式的推导
首先，j 产品的生产要直接消耗i产品，即bij中应包括 aij；
其次，计算j产品的生产中对i 产品的全部间接消耗。
①j产品在生产中可能直接消耗了n种产品（包括对j 产品自身的消耗）;
②而第k(k=1, 2…n)种产品生产过程中全部消耗的第i种产品为: bik
③因此，j产品通过第k种产品而全部间接消耗的第i种产品为: bikakj
⑤最后，将第j种产品在生产过程中直接消耗的第i种产品与全部间接消耗的第i种产品相加，即为第j种产品生产对第i种产品的完全消耗：
④于是，第j种产品生产中全部间接消耗的第i种产品为
写成矩阵形式
对于表1-2-1所表示的投入产出模型，可计算得到
同样地，对于上述1997年中国全国价值型投入产出表（6部门），其完全消耗系数矩阵为：
4、完全消耗系数的性质
①某一个完全消耗系数不能单独求得，必须同时求出所有的完全消耗系数。为什么？
④对于实物型投入产出表，求出的完全消耗系数实际上并不“完全”。为什么？
中国1992年实物型投入产出表部分产品的消耗系数比较
1、折旧系数
三、其他消耗系数
Dj 表示j产品在生产过程中的折旧额，则adj表示单位j产品中的折旧。
其向量形式为
同样地，可计算完全折旧系数向量：
2、劳动消耗系数
Vj 表示j产品在生产过程中所投入的劳动报酬，则avj表示单位j产品中的劳动报酬。
其向量形式为
同样地，可计算完全劳动消耗系数向量：
3、社会纯收入系数
Mj 表示j产品在生产过程中所形成的社会纯收入（利税额），则amj表示单位j产品中的社会纯收入。
其向量形式为
同样地，可计算完全社会纯收入系数向量：
中国1997年6部门价值型投入产出表
其他直接消耗系数与完全消耗系数表
第四节 投入产出经济数学模型
投入产出经济数学模型是在投入产出表的基础上，通过引入各种消耗系数而建立起来的反映经济系统各“部分”（部门或产品）相互依存的“投入-产出”平衡关系式。
行模型：按行向平衡关系建立的模型
列模型：按列向平衡关系建立的模型
其他各种复杂的投入产出应用模型，都是这两个最基本的投入产出经济数学模型的扩展
可以写成：
一、分配方程组和按行建立的模型
⒈ 分配方程组
对于投入产出表的每一行，不管是价值型还是实物型，都存在如下平衡方程：
这就是分配方程组。它反映每个部门的总产出是如何分配与使用的。
用矩阵表示该方程组，有
AX+Y=X （）
(1)模型形式
由 AX+Y=X ，容易得到：
(I-A)X=Y ()
或 X=(I-A)-1Y （)
这就是按行建立的投入产出基本经济数学模型。
2、按行建立的经济数学模型
⑵ 模型的经济意义
该模型揭示了最终使用量和总产出量之间的关系。即：
①已知：最终使用量， 求出：保证经济系统各部分之间综合平衡的总产出量
②已知： 各部门总产出量，求出：各部门产品最终使用量
⑶ 模型的应用价值
该模型虽然简单，但具有很大的应用价值。
因为在投入产出分析出现以前，还没有什么方法能够揭示最终使用量和总产出量之间的关系。
而这个关系对于经济预测、经济计划、结构分析等无疑是不可缺少的。
1）两者相差一个单位矩阵：
完全消耗系数 完全需要系数
（4）完全需要系数与完全消耗系数的关系
2）二者的经济意义不同
（5）实例
中国1997年全国价值型6部门投入产出经济数学模型：
1、生产方程组
对于价值型投入产出表的每一列，存在如下平衡方程：
二、生产方程组与按列建立的模型
这就是生产方程组。它反映每个部门的总产出是如何形成的。
用矩阵表示该方程组，有
⑴ 模型形式
2、按列建立的经济数学模型
⑵ 模型的经济意义
该模型揭示了最初投入量和总产出量（总投入量）之间的关系。因此：
已知：最初投入量，求出：相应的总产出量。
已知：总产出量，求出：最初投入量。
这就是按列建立的投入产出基本经济数学模型。
⑶ 模型的应用价值
该模型虽然简单，但同样具有很大的应用价值。
对于实物型投入产出表，如果将第三象限加以补充，同样可以建立这类模型，而且它在经济分析中具有很大的实际价值，例如可以用以分析各种产品价格变化的互相影响。
第五节 投入产出模型的基本假设和求解条件
任何经济数学模型都是都实际经济活动的抽象，都是在若干基本假设下建立的，或者只有在若干基本假设下才能成立。关键在于所舍弃的是事物的本质方面还是非本质方面。
一、投入产出模型的基本假设。
⒈ 同质性假定（不可替代假设）
投入产出模型假设一个部门只生产一种产品，而且只采用一种技术生产；同时，一种产品只由一个部门生产。部门称为“纯部门”或“产品部门”。
●实物型：同一大类产品中不同产品采用同一种生产技术，且有着同样的消耗结构。
▲目的：简化模型以反映产品间单纯的投入与产出的关系。
（1）各“部门”投入量与产出量成正比，比例系数就是直接消耗系数。
（2）产品生产中各投入要素之间有固定比例，即投入要素的增减均呈现同一比例。
3、 系数不变假设
投入产出模型假设直接消耗系数在一个周期内是不变的。
4、关于生产周期的假设
投入产出模型假设每个部门的生产经营活动，从生产要素的投入到产出的分配与使用，都在一个周期内完成。
2、比例性假定（线性假设）
1、 投入产出模型能够求解的条件
二、投入产出模型的求解条件
投入产出模型
X=(I-A) -1 Y
能够求解的条件是 矩阵(I-A) 有逆，且逆矩阵的元素不为负。
这一条件是从数学和经济意义两方面提出的。
2、 价值型投入产出模型求解条件的证明
而在矩阵(I-A)中，主对角线元素为1-ajj，其它元素为-aij。所以该矩阵是主对角线元素占优势的矩阵。
由线性代数知识可知，|I-A|0，所以矩阵(I-A)可逆。 而且存在(I-A)的逆矩阵的元素都大于0。
设有两个部门的投入产出模型：
（1-a11)X1- a12X2=Y1
-a21X1+(1-a22)X2=Y2
Y1/a12
Y2/(1-a22)
一个直观的说明(霍金斯.西蒙(hawkins Simon)条件)：
X2
X1
（1-a11)(1-a22)>a12a21 或 （1-a11)(1-a22)-a12 a21>0
要使该方程组有正解，
必须使两线交于第一象限，
即
可推出：
X2=(1-a11)/a12*X1-Y1/a12 (1)
X2=a21/(1-a22)*X1+Y2/(1-a22) (2)
(2)
(1)
即必须：（1-a11)/a12>a21/(1-a22)
数学证明
