经经 济济 数数 学学 线线 性性 代代 数数
第3讲
行列式的展开
教师：边文莉
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例如
一、余子式与代数余子式
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在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素
的余子式，记作
叫做元素 的代数余子式．
例如
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定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素
与其对应的代数余子式乘积之和，即
二、行列式按行（列）展开法则
证:
我们将分三步来证明此结论，先来证明它的
特殊情况，即某行只有一个元素不为0，而其
余元素为0时定理成立。
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（1）当第一行只有位于第一行第一列的元素
即有
又
从而
定理成立。
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（2） 再证 阶行列式，如果其中第 行所有
元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的
代数余子式的乘积，即 ．
例如
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得
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得
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中的余子式
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故得
于是有
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（3） 证明一般情况
把行列式的第 行的每个元素都写成n个
数的和的形式。然后利用行列式的性质，
把行列式拆成n个行列式的和。
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例1
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证 用数学归纳法
例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
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n-1阶范德蒙德行列式
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推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
证
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同理
相同
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关于代数余子式的重要性质
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例３ 计算行列式
解 按第一行展开，得
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例４ 计算行列式
解
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1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列
式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
三、小结
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克莱姆法则
设线性方程组
则称此方程组为非
齐次线性方程组;
此时称方程组为齐次线性方程组.
非齐次与齐次线性方程组的概念
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一、克拉默法则
如果线性方程组
的系数行列式不等于零，即
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其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
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证明
在把 个方程依次相加，得
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由代数余子式的性质可知,
于是
当 时,方程组 有唯一的一个解
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由于方程组 与方程组 等价, 故
也是方程组的 解.
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二、齐次线性方程组的相关定理
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解.
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定理 齐次线性方程组
有非零解的充要
条件是它的系数行列式为零.
有非零解.
系数行列式
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例1 用克拉默则解方程组
解
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下一步
下一步
例2 问 取何值时，齐次方程组
有非零解？
解
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齐次方程组有非零解，则
所以 或 时齐次方程组有非零解.
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1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列
式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
小结
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3. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系
数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
