髓.学术之宣SIT!IIIIfi1)illUMl P 罩曰:虾眼益指盟军童的富的文/廖靖宇钱林义韩天雄-、发展极盖帽散华盒的必要性好。以S&P5∞指数为例，1991年至1998年其平均报酬率人口老龄化是21世纪世界人口变动的一大趋势，也为%。而美国十年期国库券报酬率仅有%至是我国人口变动的一大趋势。按照国际标准，人口老年型的)也.在这样的经济环境中权益指数年金得到了快速的具体指标为60岁及以上人口占总人口的比重达到10%，发展。或者65岁及以上人口占总人口的比重达到7%。我国第五三、扭盖帽戴竿金定价次人口普查表明，2∞0年我国已进入了老龄化社会。人口权益指数年金的收益是由与其相连的股价指数所决老龄化以后，老年人的养老问题将是未来社会的突出问定的，因此在产品设计中增加了股价指数收益率计算公题。同时基本养老保险只能保障老年人的基本生活水平，式。本文考虑的是平均指数收益率计算法，简称平均法远不能满足人们的生活需要。因此商业养老保险的需求空。ointωpoint-AsianEnd)。这种收益率法的计算公式为:间很大，开发出合理的年金产品具有很强的现实意义。(最后某个期间的股指平均值-起始日股指)1起始虽然年金的需求很大，但传统的年金产品有一些不足日股指之处。传统的年金产品是在产品购买时，就确定了未来的其中期间长短可以为最后六个月、十二个月等，这种收益率，而不管未来实际投资收益率。年金又是一种长期设计符合亚洲人的投资喜好，所以又称为点对点-Asian产品，要使在未来十几年甚至几十年里实际收益率与预定End。收益率相符，这几乎是不可能的。如果寿险产品的预定利权益指数年金由于有收益的最小保证，所以保单持有率是在高利率环境下制订的，那么，一旦市场利率下降，就人不能1∞%的参与股指的增长，而是以一定的比率参与，会出现投资所得不够给付的现象，从而使保险公司产生巨这个比率称为参与率(participation rate )。例如，在递延期大的利差损。例如我国保险公司97年以前承保的寿险业间，依某一指数收益率计算公式可求出指数增加率为务就有这一问题，那些业务预定利率一般在7%-9%之ω%，参与率为801)毛，则年金持有人在契约期间实际获得的间，而之后的实际投资收益率远小于预定利率，这就产生报酬率为*=48%.权益指数年金的定价问题就是在了巨额的利差损，给保险公司背上了沉重的包袱。给定了指数计算方法后，确定参与率的大小。在本文中将工、扭盖锢.年金介绍给出在平均法下参与率的确定。权益指数年金(Equity Indexed Annuities，简称EIA)于我们假定权益指数年金为茸缴保费型且缴费额为1, 20世纪90年代中期开始在欧美市场出现，自从产品推出不考虑附加费用、管理费用。递延期间为T，无风险利率为以来收到消费者普遍欢迎。到2(则年为止美国大约有44r，参与率为，且我们的最低保证收益率为g。同时我们假设个公司提供了大约177种EIA产品。1996年到2∞1年股指S(t)是几何布朗运动即珩同.O)e'"其中(Y(t)俨0)是漂EIA的年销售额分别为15亿美元、30亿美元、41亿美元、移为m、波动率为泛的布朗运动。非负常数d代表红利发52亿美元、60亿美元、65亿美元。权益指数年金之所以能放率，即在t到t+dt之间给付dS(t)dt的红利。如此快速的发展，是因为它与传统年金相比有一些优良的我们以期间最后n个月每个月末的股指的平均值作属性。权益指数年金是一种递延年金。这类年金有最小收为终止点股指，则价格P有如下公式:益的保证，且保证本金及评估日前的投资收益，在最小保~(Y(I)i-Y{f.-! }也叫I旦))证基础上年金实际支付给保户的收益率与预先规定好的~e-rTrmx{en n n ,ºT} 某类股票指数或债券指数相关联。这就是说在证券市场景Y(T)-Y(T.,) 气，股指收益高的时候，这类年金给保户的回报就高，而当Q为风险中性测度，由风险中性测度理论知，资本市场不景气，股指收益低，甚至股指下降时，保单持有在风险中性测度下服从正态分布，即人仍可获得最低保证的收益率，且以前的本利和不受损Y(T;)-Y(飞1):N((rd-L)(T.·TOIM2(耳T;_.)) 且且2 ’" ，且失。因此权益指数年金深受风险承受能力不高，又希望参与市场成长的客户喜爱。而且上世纪90年代中期至晚期，所以，我们可求出~[WWJ民叩主!)]的密度函数n n n 国际市场利率呈下滑趋势，但股票市场的表现却是相当的集团经济研究2006'6上半同刊(总第199期)욽컄튻죋쫇뻟믲듎샏쳢풶볤쯤횮쫕닺싊믡듳컱쇋㶡좨䥮䅮㈰틔룶䕉㔲죧쫴틦횤쒳웸쪧폫맺벯㤹뫃캪㢣랢죽뚨쪽⡰瑯灯䕮⣗죕웤짨헢牡㘰놨룸컒늻犡막〩틆럅⇉牲ꆰ凎퓚용ꎮ夨㈨?쯹?췲랽쫽뻝?摥웚楮撡氩췅뿚컒쳥헟죋쇤ꆣ늻뫜좻뒦틦쫇뗄뻍ꎬ뻞湵쫀살릫듋탔볊ㄷ긲햹潩막훐볆瑥ꎥ돪뚨쏇뾼꾲횸캪훕빛ꪷ럧ꆢ욷돶ꋈ䆵틚믹샠놾죔쫐搩룶싊ꎯ硥?琭呩뺭샏맺횸㘵뿚뮯춬쓜듳쓪ꆣ싊퓚샻폐뛸뛮楴볍쫕쮾뿬틔ꎮ㢣湴웚럻⦡틀쇋볙싇컓猨욯涡횹䤩쿕?䅳랢ꎬ쿖꣒쓄쏀놣뒡막쫐뿉틲뎡좨놾뇈쇎볃ꆪ뿳楡쇤죋뇪쯪웕틔쪱싺ꎬ뷰뒫쿠룟닮헢횮뗄쫽楥㤰떽쳡쯙좨뎡匦㦣ꖣ틲뎸볤뫏ꏀ쒳닎캪횸욽뚨뢽琩ꊲ웚뗣⮢헖훐⧒뎿튪춶풪횤짏욱횸뎡믱듋돉퇐틦컄헢싊벴?뺸䦣뮯뿚캪벰닩뫳믹ퟣ뾪뗄춳뛸럻샻쯰튻쓪玣쿻릩틦倵ꖡ껔듋뎤퇇ィ폫쫽뻹좨볓쫎쫇ꢶ볤막탐탔뺿좨쪹룊響ꆢꎬ쓪횸쫕늻뗃뎤뾼훖돆퓚뭙쫇뇤㘰틔뇭ꎬ놾죋랢탨뗄늻싊ꆣ컊닮뷰겼듺럑쇋횸〰ꎶ?퓚?뛌훞ꖵ긶볆램틦ꪣ벸꿂ퟮ묾풲닢뻹ퟖ㈰꺣殢틦퓚쯹ﷄ?㘰쟒뷰뺰ퟮ뗄싇쫕캪璵㈱뚯쯪짏쏷샏퇸쏇돶쟳쓪맜헢뮷샽쳢쪵쯰⡅훐헟듳햹쫽돊〶횸닺뿉죋평쒲곔⨰쯣쿂폃곇뫎쫎뫳ꎬ汌뛈⡉잮갩횸뗃틚놣쪵믲룟웸뗍뿍ꆤ틦닎뵴쫀뗄벰죋ꎬ쓪샏뫏뫜뷰캴벸뺳죧볊煵왅웚웕풼쿂쫽삹例쫕욷쒹틔폚컓?㠰ꎮ랽ꆢ틎늼ꩳ溸퓲⭹좣쇖㛉?ꎮ쫽볍튻틔뿚㈰죋놣짺샭듳닺살뫵쿂늻컒쓇춶룸楴䥁뾪뇩ㄷ횱쏀쫇뷰횤볊햮뗄ꎬ뮧뮬캪響쒾틦짨싊짖폐폫?ꎥ㠽램쓪맜틃샊窵⭤볛⡲곓럾쾰틥쫀듳짏햼〰뗄쿕믮ꎬ욷쪵쫇훆맺킩놣?⧓쪼뮶㟖틲쟷샽껄궼볆룆ퟮ쫕짖폆㐸뫳뷰샭잵퓋쒲싃룱斡즷듓쓪쪮릻풪놾횧좯쪱막횤쾲뚨욽램싊瓖ꆣ컒뷧쟷죋ퟜ쓪퇸횻탨떫쫇볊늻뚩놣튵쫕쿕퓚펭홅캪튻쫆ꎬ쎻평훐붾뫳쾲틦뢵볆퓲ꎥ럑쓗뚯변뾸僓헽램몫뷰벸룸?ꨱꆢ뢶횸뫲뗄낮슿볛뻹⡰꺼죋쫆뿚컒샏쓜튪뷰뒫퓚춶뿉뗄쿕컱틦릫얷ꆣ䥁쯼훖ꎬㄹ?랾폫퓶淪쇹뫃쓔쯣쓪ꎮ좷폃벴쫔탈헖첬⦣꼨뗄쓪뢶㗒㘵벰룸쫽ꎬ쫕짮ꆣ횸볆慲쳬뿚ꆣ햼맺컊놣닺춳쓜ꎬ릫풤싊쮾쏀떽폫뗝떫ퟜ㤱謹돖웤볓뗒룶ퟮ뷰좨뚨뷉춱匨쮶싄탐럖뇘짵뗄?틚움놣쿠헢틦쫜뛸쫽쯣瑩멎탛뗚뇤내ퟜ뗄틑쳢헏틲욷쫕쓇쮾뚨풶놳쫐㈰뒫퇓막쓪탈쿠쇋믆퓂쯹킡꒣쪽돖틦닎ꆣ놣뗝ꏖ琩꾡ꦵ승풲늼쏇튪훁쿖샔쏀맀뮧맘샠뗍싊럧쟒?쫕릫捩뙤뚯헕죋뇈뷸붫샏듋뻟쓪릺틦ꆣ쎴㤷샻킡짏뎡〰춳욱꾱꣒솬막ꆢ틔놣겶뿉폐횸폫럑퇓㵓ꎷ쒹ꯊꎬ⠨탔벸쿳ꪡ풪ㄳ솪쿕짏틦쪽灡猨뗄맺뿚훘죫쫇쓪짌폐뷰싲싊죧ꎬ폚쇋돶ㄹ쫐ꢳ볛볈쪮폖횤쟳죋쫽탍웚헒⡏잸짖붣죀벴쿂狒튻볊뗄듯쇋캴죋튵뫜닺쪱ꆣ쪮맻ꎬ틔풤돁쿖캪㤶ꈳ뷰잰쫕짵쟒돐쫀뎡㤸룊막횸싊햹뛾돆瑩돶퓚쓪볤⥥몳琩뢵?뿉듳뇪뇈떽샏살뗄퇸잿욷ꎬ쓪쫙떩잰냣뚨훘횹쿠헢쪽ﷄ볛쫽짖룶캪쯹퓒횸웵뷰뷉쫎呍ꏊ쓆?듓ヒ좨틦룸훁틔쫜볍볆ꎺ潮摴믐쟷ힼ훘㞣쇤짧믹샏뗄폐뻍뷰쿕쫐돐퓚샻ퟔ쏀떽뇈샠뇭웤횸쫕렩퓂뗣틔뮶쫽풼킡럑咣ꩧꎬﵤ붾ꪣ샯뛸?틦춶싊놣막잰쓜㤰쯣ꆡ쫆ꎬ듯ꖡ뮯믡놾놣쿖튻좷폖닺뎡㞣싊냼듓맺㈰폐쓪욽퀴쫽틦뗈뛔ꢵ퓶웚뚨ꆣ뛮곎웤듺淪?쪵쪹샔횸폫쫇뮧뗄솦쓪램뫬쟳ꎬ죋떽ꏎ짧뗄짺쿕쪵킩뚨쫇욷샻ꗒ뢤닺듳〱튻뷰좴뻹ꎮ쎵쯹싊웰뗣떥쒱볓볤볛퓚캪?춬훐뇭뗗숩좨볊놣ꪡ쫽쫕풤쮵뗄쿂놾늻듺ꎬ샻튲뿚특믡춻믮뗄틢늻쇋튻싊쫙묹헢ꆣ욷풼쓪킩폐쫇놨㔳뷁뻶볆쪼돖죂쪵컊놾ㆣ쪱⡙뫬?쫕쿕ꈴ쓪틦쿈퓚믘붵샻룟훐볲샏ꎥ蝹ꆣ돶쮮탨틥ퟣ캴훖풤쿂뻍췆폐폅ퟮ쿠돪쮿쯣䅳쪲캪볊쳢컄?헀컒⡄⡉틦릫㇒뷰맦횤놨쪱뫍웚돆쓪ꎬ?죋컊욽쟳ꆣ살뎤뚨붵튵횮닺돶㐴솼킡떱싊훁楡컓믱뻍훐﯂쏇랢ꆪ탍?뿚ꎬ뿕뗄웚싊샻쮾짺?횮쫕퓚뚨좯뻍늻폖훁?욽뗃쫇붫쫎볙琳뗄뻍?퓚짨폫닺샔쯹ퟮ뫃쫐룟놣쫜쾣췭뻹呩틦풤짺ꪡ틔킡뗄뎡ꎬ떥쯰췻웚램삼튻뚨뻞?쓜놣뺰뛸돖닎ꎬꆣ떱폐⦣횸걳쫽ꋻ튻쓪퓺뎸뷰⦡뗄뾵쓃뚨?볛좺꿊?
GumrraIlÐ~ 学术之窗.耀|因为我们已经假设歪缴保费为1，所以可令p=l.在.!.[Y(T}+Y(T-.!.)+L +Yσ;生!)]n n n 给定递延期间T，无风险利率r，红利发放率，股指被动丑事，保1. ___ 2._ ____._ 2. ___ 3 =':'{[Y(丁子Y(T-':')]+2[Yσ，_':')-Yσ-~ )]+3[Y(T-~ )-Yσ--刀+L证年复和~g.月数n的值后，我们就可以计算出均衡参与率。n n n n n n n-2. __._ n-l +(n-l)[Y(T-一一)剖T-一)]+n[Yσ-一)-Y(T-l)]+nY作1)}下面我们给出n取不同值时，均衡参与率的大小。n n n 平均法下的均衡参与率令s = ,g=(J. 03 Y(T-斗)-Y(T-':":"斗)=R;，Y(T-l}=Rn’ i=O,1,2,L ,n-l n n n d T r= 1"’ r= 1’" 则上式 3 。76605 =-=-(Ro+2R,+L +nRn_,+nR) 1% n7 。 n 10 日 。9416。9949又因为RO，Rl， 3 5 。古752。 相互独立且S 2 ,1 s 2 2% 7 , RO,RI’L ,Rn_t : N((r-d-丁)一，一)1. n n 10 。 1日 3 。 Rn: Nω-亏阳旷(T-1)) 5 。白日 1% 7 。 所以Z@1(Ro+2R1+L+nRJnRn)10 。 10166 n 2 3 5 在Q测度下还是正态分布，记Z的密度函数为f(z)2% 7 10573 且1r/ ,S 2 , 1 n(n + 1) . , S 2 10 。 EZ=一[(r-d-~)一一一一一+n(r-d-一)(T-l)]n 2 -n 2 日。3 。 5 。 1% =(rd-E:)[主1+T，1]7 2 -2n 10 。 。976810333 12 1 < S 2 n(n + 1)(2n + 1) 3 2VarZ=寸[一，\...."."’1 + ns 2(T -1)) 5 。 I n-n 0 2% 7 10814 10 。 2r(n+ 1)(2n+ 1) 62+(Tml)] 从上表也可以看出，取平均的期间越长，参与率也越n 高(作者单位:*蜻亭/河南许·学院鼓掌票钱林立、韩天所以S2 "n+l .... " 2,(n+ 1)(2n+ 1) Z:川(r-d-~X一~+T-1)旷(一τ一一+T-1)) 雄/华东师大统计系)2" 2n伽l'所以用句(l)+Y(f~风+Y(T.~纠币f1glP = Ee-m缸{e"" ,e} QaZ gT=EQe-汀max{e ,e} I1gT,. .~ =刮e-鸟E，Q[旷e旷勺a勺的ZI阳(σZ>77) + e内H叮J内I贝句σ(Z、7?) ] azgT=叮e-rT叫旷e俨阳f(仇拙z)忡)忱出+仙内eP町阳(r+)4'叫吗出号=Ed[f21s’ "n+l, ’" 1\, _1,(n+ 1)(2n+ 1) -一+[(r-d--~ )(一+T-l)+s'Cr 2 -’+T-l)a] 暗(22与缸4I(n+ 1)(2n+ 1) J +T-1 \1 6n’ ilT , . s" ,,0+1 ι-(r-d-~)(一+T -1) +e,rF (.i! ’22o )] (n + 1)(与+1) f’" "1\-’" "’ + T -1 6们4盟ꎤ돛쫺ꆣ쏕?췲랽쫽뻝죽㷈⬨?夨퓲㴭폖澣쫠㈩튻?뛹务㈨쯹퓚窵쟒㷖噡㊣ꇌ즾䕑浡ꆰ㵅ꎺ⯄듔ꆣ틲룸횤쿂욽猽䘰〶爽〷㘸ꋳ㠷㤳ꎮ볓ꎻ㤵ꆭꆮ㐸㘶㜸ꎬ㠳㜹듓룟탛벯㤹용ꆢꇚꇎ틚냋ꇭ뿳狏〳爽〴〵㘸㔷㜰㤰ꆣ㘳㤳ꎬ㘹〲㤸㊡?㞡㐲㔲㘰㠵㜵㜶㔴㠶㠸㔹㤸ꎬ㔶㠰㈳㘱㠹〸뿳?㐳㘶㌱㘸ꎥ㠲〲㈸㔳㐸웚渭걒뻹擄㔷㘹〷㜶㠰㤴㔲㠷㘱㤵ㄱ㜲ㄸ㤶〱㜰㜴㌲㤱㌵渹㝬〰ㄳ췅ﶡ짏틲ꎣ哒쏦ꍧ孙冲牚入캪뚨쓪㔸㜹㍬㤹㐵㤴〴㤶〹㤵㠳㠵㈷㠱㤷㘸ィ㔷㤳㤸ㄲ㐸ㄵ〸㌲⣗ⶡ틔쓃ꎬ?뿟ꈲ㔹㤸㤳ㄶ㘶〱㌴〰㤱愹㈳㤴㠰㜱㠶㌵㠱硻ㄩ哒ㆣꎮ램㐹㐵?㠹㠴㠳㈹㘶㌹길㤹㠸ㄴ뺭㵯끙쪽캪멎묱㘱㔳㔶搷ㄵ㘲㠶㈲ㄷ㤷뇭ꆾ?뿚⡔ꎺ쏇컒뗝뢴㘱㜳㤱㔸㜹〵기㜸ㄶ뮪孙긨걌뛀婀??攸ꆣ쿂㤰㠲㜴樴㠹?㤶㘸〳볃용뫍㔵㈱㤶㔷㐵〶ㄱ㌳㔱⡄?⠨⤩쏇튲窣斣㈲㌵㜶㥬㘹늷⡔믈ꎬ죏孳浡?⡲쏇퇓샻뗄㔹?㜲㈱㈵?뚫퇐㐸?㠰副죽좺ㄩꎮ늷룸?㘵뿉䕚ꎮ务攭徣뻹〰㜷?뺿夨슻硻틑웚떺ㄵ㠷ꗎ쪦껗몢㘸夨搭돶틔渭ﴩ⬲ꍟ솢⡒꿊ꎺ뚢ꆣ뫢㈳㈰⭛咣맊敡뺭볤퓂뮣듳吭㈩没죽滈닎뾴〶몲刱ꆣ牔꺣껉役ꎮ꽒쟕稬抳볙咣쫽폫뫁춳ⴶㄩ弩ꆲ돶⡔⭌ꆣ쟒⬲ꪣ춵审싊짏쒸켩䨫斿짨곎溵믍ꎬ캾볆⡲㶿ꆪ夨浡깮ꇪ냫㉴⭮튻剬갨곖좡⭌겷ꆾ?쓖룓쾵渭퇝?퓂奣뗊욽ꆰㄩ咣务ꆯ⭌횲穊죘ꎸ롮⤨뷉떺?呕硻⮣ꆣ爭ꎬ쒺놣뻹崫⣗?벣놣헀겺ꏒ⭮ꎬ℩溡껗?쏋겾뗄??ꎮ걩춣럑﯂곎폄빙묱副剮?샇꽺?ꎮ了웚튻⇉⡔椲뫞⮶캪쩲틃쿐祣볤⭮ⴱ鉶걥ꎮ﨩ㆣꎬ잾爭滖컓풽渭ꎺ务ⱒ⭮꒣ꆣ뗈杔ꆿ娩곋뫬춿뎤ㄩ楳ⷦꌩ务樫쪵ꎬ役剩ㆴ긱戮샻짒?㍛⡔ㆣꌩ?쒴닎뎸풿랢풼뫊ꎮꎬ쨫?夨폫?직럅웋ㄩ吭ꆡ싊崫夨걌ꆱ?싊?삼?튲湙㵬ꎬ뗇⧒얾풽?咣ꎬ막了껁뭙튻❒벾渲ヒㄩ긱퓚횸훒?ㅪ틈竅늨컓⦣溣ퟸﴩ뚯ꊺꆿ멒뒨싊쪡ꯌ⭌꺡玣쾲?ꎬ?뎸ꆣ놣ꎬꎣ킡齃榣몶훝멎돜먰ꎬ⠨?ⴱ涵ㆣꏒ?犣갲ꎬ꺳젲묱䲣걮⥝ꎮ긩⦡?죽떶ꎬ?튻?
