第三节
概率的公理化定义
在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.
即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.
下面介绍用公理给出的概率定义.
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.
概率的公理化定义
公理2 P(Ω)=1 (2)
公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有
(3)
这里事件个数可以是有限或无限的 .
公理1 0 P(A) 1 (1)
设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于Ω中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:
公理2 P(Ω)=1 (2)
公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有
(3)
这里事件个数可以是有限或无限的.
公理 1 0 P(A) 1 (1)
公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；
公理2说明，必然事件的概率为1；
公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.
由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出
概率的一些简单性质.
在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.
文氏图
Ａ
设边长为1个单位
的正方形的
面积表示样本空间
S
其中封闭曲线
围成的一切点
的集合表示事件
A
把图形的面积理解为相应事件的概率
性质1
即不可能事件的概率为0 .
由
再利用公理2和公理3即得.
此为互不相容事件概率的加法公式。
特别地，若A和B互不相容,则有
性质2（有限可加性）
若事件A1, A2 ,… An 两两互不相容，则有
由公理3可得。
例1 设一批同类产品中有50件，其中5件次品。现从中任取3件，求其中至少有一件次品的概率为多少？
因为
1=P(S)=P(A)+P( )
Ａ
Ａ
性质3 对任一事件A ，有
(4)
此性质在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算
，再计算P(A).
例2 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？
令 事件A={至少出一次“6”点}
A发生
{出1次“6”点}
{出2次“6”点}
{出3次“6”点}
{出4次“6”点}
直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件
={4次抛掷中都未出“6”点}
的概率.
于是 =
因此
= =
由于将一颗骰子抛掷4次,共有
=1296种等可能结果,
而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点}
的结果数有 =625种
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.
为求P(A), 先求P( )
解：令
A={至少有两人同生日}
={ r 个人的生日都不同}
则
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
==
美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为.
表
人数 至少有两人同
生日的概率
20
21
22
23
24
30
40
50
60
所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.
移项得第一式,
便得第二式 .
再由
由可加性
性质4 设Ａ、B是两个事件，若 , 则
有
又因
再由性质 4即得.
性质5 对任意两个事件A、B，有
三个事件和的概率为
推广到多个事件
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)
- P(AC) + P(ABC)
n个事件和的概率为
它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.
下面，我们再重点介绍加法公式及其应用.
这一讲，我们介绍了
概率的公理化定义
由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质. 它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.
设Ai ={第i封信装入第i个信封} i =1,2,3
A={没有一封信装对地址}
某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？
直接计算P(A)不易，我们先来计算
例5
配
对
问
题
={至少有一封信装对地址}
则
代入计算 的公式中
应用加法公式
于是
推广到n封信,用类似的方法可得:
把n 封信随机地装入n个写好地
址的信封中, 没有一封信配对的
概率为:
我们介绍了加法公式及其应用:
事件互斥时的加法公式
事件相容时的加法公式
它们在计算概率中很有用，要牢固掌握.
