- 1 -
不完全信息下的专利投资1
蔡强，曾勇，邓光军
电子科技大学管理学院，成都 (610054)
摘 要：本文考虑不完全信息和竞争，建立实物期权投资决策模型，分别得到了单个企业和
双寡头企业投资专利所需的临界信念，并进一步分析了两对称企业竞买同一个专利可能出现
的均衡类型及产生条件。结果表明，竞争的力量和专利固有的“赢者通吃”特性不仅使得投资
所需临界信念降低，由领导者投资后所产生的信息披露效应从而带给追随者的后发优势也将
不复存在；同时，出现错误投资决策的概率也随之增大；企业间的竞争均衡可能会出现占先
均衡和同时投资均衡。
关键词：不完全信息，专利投资，期权博弈，占先均衡
中图分类号: F273
1 引言
两个影响企业投资决策的主要因素是：投资项目收益的不确定性和对同一个项目拥有投
资期权的潜在竞争者的行为[1]。由不确定性引发的等待实物期权主要考虑的是内在的（或项
目本身固有的）不确定性，不管企业投资与否，这种不确定性始终存在，如通常所说的技术
不确性和市场不确定性。除此以外，还存在另一类有关项目评价的不确定性，它随着信息的
不断到来而慢慢减少。例如，由于新兴技术的迅猛发展和经济周期、通货膨胀以及失业率等
因素，企业不能确定市场对新产品的需求水平。不同的是，企业可通过对市场需求的调研来
了解这种需求水平，从而减少这种不确定性对投资决策的影响。由于任何调研都是由有限样
本所构成，因此它所提供的信号是不完全的，也就是说这种不确定性的主要特点是信息的不
完全性。
Jensen(1982)最早将不确定性和不完全信息引入到采纳新技术的完全垄断模型中[2]。
Dias(1997)建立的离散时间下期权博弈研究了两个毗邻石油公司的石油勘探问题[3]，期权的
执行就是开始钻勘探井，钻井所披露出来的部分信息是公开的。所以对追随者而言，领导者
执行期权会产生正的外部性，追随者可在拥有更多信息的条件下决策，即石油勘探信息的不
断披露可以减少不确定性，从而产生后发优势。Thijssen et al (2001a) [4]和 Thijssen et al (2001b)
[5] 在 Dixit & Pindyck(1994) [1] 的完全信息实物期权模型基础上，结合 Jensen(1982)的模型非
常详细地讨论了不完全信息下完全垄断企业和双寡头企业的投资策略。Lambrecht &
Perraudin(2003) [6]建立了另一种有关信息到来的双寡头期权博弈模型，文中假定信息与竞争
者的行为有关：每个企业都有一个关于其他企业何时投资的信念，该信念随着他所观察到的
其他企业行为的变化而更新。
以上文献考虑的或者是技术采纳，或者是一般项目投资的情形。在专利投资方面，基于
实物期权方法，Weeds（2002）[7]考虑了两对称企业的专利研发竞争行为。Miltersen& Schwartz
1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20040614016）和教育部“新世纪优秀人才支
持计划”项目（教技函[2005]35 号）的资助。
- 2 -
（2003）[8]分析了医药行业中两个对称企业的不完全竞争决策行为，其中，两企业针对同种
疾病各自开发不同新药、且先后申请到了专利。Reiss（1998）[9]将竞争对手的到达时间外生
地假定服从泊松过程，研究了企业的专利竞争战略。这些研究大多考虑的是完全信息情况下
企业的投资决策问题，而不完全信息条件下的企业专利竞争性购买决策的研究尚未发现。
本文的研究背景是：新技术的日新月异和市场的快速变化，增大了掌握有限资源的企业
在 R&D 领域出现分工和合作的可能。一些企业可能会发现自己在为获取专利而进行的研发
方面具有优势，而在将专利进行商业化方面则不具备优势甚至有劣势；另一些企业则反之。
另一方面，在专利交易市场，企业专利投资决策除了竞争对手的影响外还会受到随机到达的
不同事件的影响。这些不同随机事件所蕴含的有关专利未来前景的信息有的清楚明了，有的
则模糊难辨。自然地，企业会常常感到困惑，既希望待专利未来前景“明朗”时再投资（这样
可减少出现错误投资决策的可能性），又担心对手的抢先投资使自己丧失投资机会。因此，
对这类不完全信息条件下的专利转让或购买决策的研究具有重要的现实意义。
本文借鉴Thijssen et al (2001a) [4]和Thijssen et al (2001b) [5]中的模型及分析方法，先对单
个企业独自面对某项专利时的购买投资决策进行分析，得到使企业购买专利的临界信念；然
后引入竞争关系，两个同一企业面对同一专利的购买展开期权博弈。与Thijssen et al (2001b)
[5]不同的是，由于专利权所赋予的垄断性，博弈中的先发优势变得“巨大”，而由信息披露产
生的后发优势则不复存在，从而使专利购买的临界信念值“不得不”降低，博弈的结果除了可
能出现占先均衡外，还可能产生一个博弈中唯一的纳什均衡解——同时购买，分享同一个专
利。
通过本文所建立的实物期权投资决策模型,分别得到了在蕴含不完全信息的专利投资决
策环境中，单个企业和双寡头企业投资专利所需的临界信念, 以及两对称企业竞买同一个专
利可能出现的均衡类型及产生条件。
2. 单个企业的最优专利购买决策
假定一家企业独自拥有购买一项专利并使之商业化的机会。企业获得专利权就意味着得
到对该专利进行商业化投资的期权，一般来讲，企业并不一定立即将其商业化。为简化分析，
假设购买专利后便立刻商业化，这种假设对后面的分析并无影响。
专利在企业眼中只有“绩优”和“绩差”两种，当该专利所对应的市场需求比较高、盈利性
较好的时候，该专利将使企业获得很高的收益，其价值记为 HR ，并称之为“绩优专利”；反
之，该专利为“绩差专利”，其价值记为 LR 。不失一般性，假定 0LR = 。购买专利并商业化
的沉没成本为 0I > 。企业在购买前对该专利的未来盈利性有一个初始的先验信念，即认为
专利是“好专利”的先验概率为： 0( )P H p= 。
企业在做出投资决策前不时地会受到随机到达事件的影响，这些随机事件是显示市场条
件好坏的信号，如果信号表明市场条件较好，本文称之为一个利好信号，记作 h；反之，则
是一个利差信号，记作 l。无论是好信号还是差信号中，都部分蕴含着市场真实信息即H（市
- 3 -
场条件确实较好）和 L（市场条件确实较差）。由于人的认知能力有限，当大家认为到达信
号为一个利好信号 h时，专利确实是“绩优专利”的概率为α ，专利实际上为“绩差专利”的概
率为1 α− ；而当大家认为到达信号为一个利差信号 l时，专利确实是“绩差专利”的概率为α ，
专利实际上为“绩优专利”的概率为1 α− 。其中， 1
2
α > 。当然若假定 1
2
α < ，将不会影响分
析结果，但 1
2
α ≠ ，因为这样的信号是无效的，即信号无法使企业对专利的盈利性有更多的
了解，由此而引起的等待价值也会消失。因此，如果 1
2
α = ，企业将在 0p 的基础上对专利做
出现在研发或永不研发的决策。在 1
2
α > 的条件下，若专利真是“绩优专利”，则高收益的信
念在长期中将收敛于 1；若专利真是“绩差专利”，该信念在长期中则收敛于 0。
一旦企业已经购买并商业化，该专利的盈利性就可以知道了。现实中这肯定需要一定的
时间才能实现，这里我们为了简化分析而忽略这段时间。假定信号的到来服从参数为 0µ >
的泊松过程，这个过程最重要的特性是随机变量的无记忆性[8]。将信号的到达数量记作 n，
于是：
d
d
1
d ( )
0
t
t
n t
µ
µ
⎧= ⎨ ⎩
以概率
以概率1- ，并且 (0) 0n =
给定信号数量 n和利好信号数量 g（其中， g n≤ ），直接引用 Thijssen et al.（2001a）[4]
的结果，即采用 Bayes 更新，得到专利的确是“绩优专利”的概率为：
( , ) ( )
(1 )
k
k kp H n g p k
α
α α ξ| = ≡+ − （1）
其中， 2k g n= − ， 0
0
1 p
p
ξ −= 。由于先验信念 0p 是事先给定的，因此ξ 为一常数。而 k则表
示利好信号超过利差信号的数量，它也是信念的唯一变量。
模型中有两个重要的参数，首先是信号到来的泊松参数 µ ，由于 1µ 表示两个信号之间
的平均时间，所以泊松参数 µ 可以作为信号数量的测度；另一个是信号正确性的概率参数
α ，它可以作为信号质量的测度。也就是说，企业实施专利购买投资决策的临界点取决于其
信念，而信念则取决于这两个重要的参数。
企业在任意 ( , )p H n g| 下实施购买行为，一旦投资，企业期望收益的现值为：
( , ) (1 ( , )) ( , )H L HE p H n g R p H n g R p H n g R= | + − | = | （2）
给定 n和 g或 k（因 2k g n= − ）的情况下，企业专利投资的净现值 ( )NPV k 为：
( ) ( , ) ( )H HNPV k p H n g R I p k R I= | − = − （3）
在式（3）中，动态变化且影响对期望收益评价的是企业对该专利的“看法”，即认为专
利为“绩优专利”的概率或信念，由于企业对专利的评价是根据所收到的信号不断修正，因此
企业在不同时点上的信念在变化，从而 ( )NPV k 也在变化，最终企业实施专利研发投资决策
- 4 -
的临界点取决于其信念。以 NPV 为评价准则的盈亏平衡临界信念为：
NPV H
Ip
R
= （4）
这样，在给定信号的数量 n和好信号的数量 g的情形下，如果企业相信通过购买专利获
得高收益的概率大于 NPVp ，那么，投资是他的最优决策。显然，如果 HR I< ，将其代入（3）
式有：
( ) ( ) ( ) 0HNPV k p k R I p k I I= − < − ≤ （5）
由（5）式知，当 HR I< 时，即使企业认为专利为“绩优专利”的概率为 1，但由于此时
投资的净现值 ( )NPV k 为负，它将永远不会投资，而对信念的分析也将毫无意义。因此，在
我们的模型框架中一定有：即一定有： 0 1NPVp≤ ≤ 或 HR I≥ 。
但是，由于市场的不确定性以及投资的不可逆性，产生了等待更多信号到来的期权价值。
下面我们将考虑等待期权价值，并找到投资者进入市场的临界信念。
由（1）式知，在给定信号数量 n和利好信号数量 g的情形下，专利确实为“绩优专利”
的概率 ( n,g)p H | 为利好信号超过利差信号的数量 k的单增函数，即投资于该专利的信念除
了与先验信念 0p 和反映信号质量的参数α 这两个固定值有关外，仅取决于 k值的变化。显
然有： 0(0)p p= 。我们把企业购买专利的临界点的 k值记为 *k ，相应的，临界信念则记为
* *( )p p k= 。很明显，任何一个好信号的到来会使 k值增加 1，任何一个坏信号的到来则使 k
值减少 1。这样，要达到临界的 k值，必须要有足够多的利好信号到来。
对于该专利在某一时刻的 k值，存在三种可能区间将期权价值函数分成相应的三段：
（一） *k k≥ 和 *( )p k p≥
此时，企业最优的策略必然是立即投资。这样，企业的价值函数就等于式（3）中所表
示的投资净现值：
( ) ( ) HNPV k p k R I= − （6）
（二） * 1k k< −
此时，即使一个新的利好信号到来，企业仍然不会对该专利投资。因为一个对企业有利
的泊松跳跃尚不能使其价值函数从连续区域进入停止区域。将此时企业拥有的购买专利的期
权价值函数记作 1( )V k ，那么 1( )V k 应该满足下面的二阶线性差分方程：
1 1 1 1
1 1
1
1 1
( ) (1 ) ( ) [ ( )( ( 1) (1 ) ( 1))
( ))( ( 1) (1 ) ( 1))]
)(1 ) ( ) ) [(2 ( ) +1 ( ))
( 1) ( ( ) + 2 ( ) ) ( 1)
rdtV k e dt V k dt p k V k V k
p k V k V k
rdt dt V k rdt dt p k p k
V k p k p k V k
µ µ α α
α α
µ µ α α
α α
−= { − + + + − −
+ (1− − + − + }
= (1− − + (1− − −
+ + − − ] ( )o dt+
（7）
- 5 -
1 1
1
( ) ( ) [(2 ( ) +1 ( )) ( 1)
( ( ) + 2 ( ) ) ( 1)] ( )
r dtV k dt p k p k V k
p k p k V k o dt
µ µ α α
α α
⇔ + = − − +
+ − − + （8）
需说明的是，上式表示期权价值 1( )V k 等于期权在 dt 时间后的期望价值的贴现。推导中
首先考虑下一个 dt 时间是否收到信号，在收到信号情况下分别针对专利在“绩优”（以概率
( )p k ）和“绩差”（以概率1 ( )p k− ）两种可能情形，最终计算出信号为利好或利差时期权价
值的相应变化。
利用式（1）分别得到下式（9）、（10），即：
1 1(1 )2 ( ) +1 ( ) =
(1 )
k+ k
k kp k p k
α ξ αα α α ξ α
++ −− − + − （9）
1
1 1
(1 )( ) + 2 ( )
(1 )
(1 )( (1 ) )
(1 )
k k k
k k
k k
k k
p k p k α α αξ αα α α ξ α
α α α ξ α
α ξ α
+
− −
− + −− = + −
− + − = + −
（10）
将（9）、（10）式代入（8）式，并令：
1( ) ( (1 ) ) ( )
k kF k V kα ξ α= + − （11）
化简、整理并略去高阶无穷小量 ( )o dt ，得到下面的二阶线性齐次差分方程：
( ) ( ) ( 1) (1 ) ( 1)r F k F k F kµ µ µα α+ = + + − − （12）
该方程的通解是：
( ) kF k Aβ= （13）
其中， A是一个常数， β 则满足以下方程：
2( ) (1 ) 0rQ µβ β β α αµ
+≡ − + − = （14）
方程（14）有两个解：
1,2
21
22
( 1) 4 (1 )rr µ
µβ µ α α
+= ± + − − （15）
这样，企业的专利购买期权价值函数为：
1 1 2 2
1
( )( )
(1 ) (1 )
k k
k k k k
A AF kV k β βα ξ α α ξ α
+= =+ − + − （16）
（三） * *1k k k− ≤ <
此时，一旦一个好的信号到来时，企业的价值函数马上从连续区域跳到停止区域，这时
立即投资是最佳选择。其价值函数 2 ( )V k 满足下面 Bellman 方程（17）并计算得（18）式：
2 2
1 ( )rV E dV
dt
= （17）
- 6 -
2 1
1
( ) [ ( )( ( 1) (1 ) ( 1) (1 ( ))
) + (1
)) ( 1) + ( ( ) + ( ) ) (
( ) +1 ( )) ( 1)
2
2
rV k p k NPV k V k p k
V k NPV k + V k
p k p k NPV k + p k p k V k V k
r + V k p k p k NPV k +
µ α α
α α
µ α α α α
µ µ α α
2
1
= + + − − + −
( ( −1 − ) ( 1)) − ( )]
= [(2 ( ) +1− − ( − 2 −1) − ( )]
⇔ ( ) ( ) = [(2 − − + (( ( ) + ( ) ) (p k p k V kα α 1− 2 −1)]
（18）
将（16）式代入（18）式，化简、整理得：
1 1
1 1 2 2
2 ( ) ( ) ( ( ) (1 )(1 ( ))) (1 ) (1 )
(
k k
H
k k
A AV k R p k p k p k I
r
β βµ α α α α αµ α ξ α
− −+= − + − − + −+ + − ) （19）
这样，企业的价值函数 ( )V k 由下式给出：
1 2 2
1 1
1 1 2 2
1
(1 )
[ ( ) ( ( ) (1 )(1 ( )))
( )
(1 )
(1 )
k k
*
k k
H
k k
k k
A A k < k
R p k p k p k
rV k
A AI
β β
α ξ α
µ α α αµ
β βα α α ξ α
− −
+ −+ −
− + − −+=
+ × + − ] + −
( )
* *
H *
k k < k
R p k I k > k
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪ −1 < ⎪⎪ − ⎩
（20）
我们通过以下边界条件确定临界信念 *k ：
首先，如果坏信号相对于好信号的数量趋于无穷大，那么企业的价值将收敛为零，即：
lim ( ) 0
k
V k→−∞ = ，又由于 2 1β α< − [4]，因此。 2 0A = 。
考虑连续条件 * *1 2( 1) ( 1)V k V k− = − 和价值匹配条件 * *2 ( ) ( )V k NPV k= ，可以得到：
* * 1( )
( 1) 1H
p p k
R Iψ= = − + （21）
其中：
1 1
1 1
( )( (1 )) (1 )( (1 ))
( )( ) (1 )( ( ))
r r r
r r r
β µ µ α µα α µ β αψ β µ µα µα α µ β α
+ + − − − + + −= + + − − + + (22)
由式（1）和（21）可得：
*
ln( ) ln( )
1
ln( )
1
*
*
p
pk
ξ
α
α
+−=
−
（23）
因 0
0
1 p
p
ξ −= ，它随 0p 的增加而减少，所以 *k 也随 0p 的增加而减少，这就是说，如果对
于“好专利”的初始信念已经较高，所需额外的信息也就较少，这是符合直觉的。另外，企业
还面对着一个重要的问题，那就是他做出错误决定的可能性有多大？Thijssen et al. (2001a) [4]
给出了详细计算过程，即定义：
( ) ( *k k kP Pr= 从 开始到达 而给定专利是“绩差专利”， ） （24）
则有：
- 7 -
*
( )
1
k k
kP αα
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ （25）
因 1
2
α > ，则 1
1
α
α >− ；而
*k k> ，这就这意味着，当信号的质量越高（α 越大）以及 *k
越大时，从初始时的 k等待 *k 出现再投资而做出的决定又是错误的概率会降低，这是符合直
觉的。
3. 竞争条件下的最优专利购买决策
模型补充
在分析单个企业的基础上，下面对竞争性双寡头企业的最优专利投资决策展开分析。由
于市场上有两个潜在的投资者，这样就会出现领导者和追随者，还可能出现同时投资的情形。
那么，处于不同地位的企业的收益就会有所不同。因此，我们需要对前面的模型进行补充。
当专利是“绩优专利”时，领导者的收益表示为 0LHR > ；当专利是“绩差专利”时，领导者
的收益表示为 0LLR = 。与 Thijssen & Huisman & Kort(2001b) [5]不同的是，由于专利权所赋予
的投资排他性，领导者一旦投资，不论专利“优”与“差”追随者已无可能再投资，即追随者的
收益 0F FH LR R= = ，可见此时的领导者先行者优势大于非专利项目情形。由于我们假设的沉
没成本由专利购买和商业化两部分构成，则当仅有一个企业投资时，其必须付出的沉没成本
仍然是 0I > ，且 LHR I> ；而当两企业同时投资时，每个企业的沉没成本则为 MI ，显然有
0 MI I< < 。另一方面，非专利项目投资中追随者所具有的后发优势（即信息披露效应）此
时也没有了，因为一旦领导者先投资后，即使发现专利是“绩优专利”，追随者已无投资可能。
由于有两个企业同时投资的可能，为了比较几种情况下的收益特征且不失一般性，假定
该专利产品市场的反需求函数为 ( )
0
Y Q Q Y
P Q
− ≤ ⎧= ⎨ ⎩
“绩优专利”且
“绩差专利” ，其中，Q表示
专利产品的总供给数量。生产 q单位产品的成本由成本函数 ( ) ,C q cq c Y= 0 ≤ ≤ 给出。显
然，若专利是“绩差专利”，则有 0L F ML L LR R R= = = ；若专利是“绩优专利”，则可求解出：
2 2( ) ( ), , ,
2 4 3 9
L M
L H M H
Y c Y c Y c Y cq R q R
r r
− − − −= = = = ，其中 r 为贴现率， Lq ， Mq 分别为领导者
和同时投资时的最优产量， MHR 为同时投资时每个企业的收益。显然， 0L M FH H HR R R> > = 。
假定两个企业对专利好坏的认识拥有同样的信念 [0,1]p∈ ，而且这一信念是共同知识。
当领导者对于“绩优专利”的信念是 p时，如果在这一时点上进行投资，那么领导者的期望收
- 8 -
益就为： ( ) ( ) (1 )(0 )L LH HL p p R I p I pR I= − + − − = − （26）
而追随者的期望收益永远为零，即：
( ) 0F p ≡ （27）
如果此时两个企业同时投资，他们的事前期望收益为：
( ) MH MM p pR I= − （28）
由于同时投资临界点是使追随者的事前期望收益等于同时投资的事前期望收益的那一
点，这里我们定义信念 Mp 为使等式 ( ) ( )M MF p M p= 成立的临界信念。显然，当 Mp p≥ 时，
两企业总是会同时投资。
如前面单个企业时的情形，企业对专利的“优”与“差”不能确定，它只能通过到来的信号
来不断修正自己的信念，从而做出是否投资的决策。有关信号到来所服从的泊松运动的假定、
利好信号超过利差信号的数量的表达式及信念的表达式等都和前面一致。
均衡分析
与 Thijssen & Huisman & Kort(2001) [5]不同的是，追随者不能依靠领导者先投资后所披
露出来的专利是“优”或“差”信息来决定自己是否投资，自然就不会有后发优势。与单个企业
时的情形一样，企业的投资决策依赖于临界信念，而信念又依赖于有关专利的利好与利差信
息。但由于竞争的力量，会出现三个临界信念 Lp 、 *p 、 Mp ，它们之间不同的数量关系会
对两企业的博弈均衡施加不同影响。
要使两同一企业中的任意一个愿意成为领导者，其信念一定要超过某个临界值 Lp （即
外生领导者的最小信念）。由式（21）可知，该临界信念如下：
1
( 1) 1L LH
p
R Iψ= − + （29）
*p 为抢先进入信念，在这一点上，两个企业都想成为领导者以获得先行者优势。由
* *( ) ( ) 0L p F p= = 解得：
*
L
H
Ip
R
= （30）
由 ( ) ( ) 0M MM p F p= = 解得同时投资所需最小信念：
M
M M
H
Ip
R
= （31）
因为信念 ( )p k 随着离散变量 k 的变化而跳跃，故上述信念不会正好到达，因此有以下
定义： ˆ L Lp p k= ⎡ ⎤⎢ ⎥ ， ( )L Lk k p= ； * *pˆ p k⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ， * *( )k k p= ； ˆM Mp p k= ⎡ ⎤⎢ ⎥ ， ( )M Mk k p= 。其
- 9 -
中，“ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ”为取整符号。如 *k⎡ ⎤⎢ ⎥ 表示不小于 *k 的最小整数。
由于追随者后发优势为零，一定有先行者优势大于后发优势。在这种情况下，因
0 1ψ< < [5]，则 * * *1 1
( 1) 1 ( 1) 1L L LL L LH H H
Ip p k k k k
R I R I Rψ ⎡ ⎤= > = = ⇔ > ⇔ ≥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − + 。此时，
一旦信念达到 *k k⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ，企业都想成为领导者，虽然此时信念还没有到达投资的最佳值 Lk⎡ ⎤⎢ ⎥ 。
这是因为领导者优势超过后发优势，两个企业都想首先投资，因此向后推理，企业将在较小
的信念 *k⎡ ⎤⎢ ⎥ 下就开始投资。另外，比较式（27）、（28）发现：因 0 MI I< < ， 0L MH HR R> > ，
所以 *p 和 Mp 的大小关系并不确定，即有 * Mp p> 、 * Mp p< 、 * Mp p= 三种可能，见下图 1。
定义： { }* *inf 0 tT t p p= ≥ | ≥ ， { }inf 0M t MT t p p= ≥ | ≥ 。其中最优停时 *T 、 MT 定义为
随机过程 tp 第一次触及区间 *[ ,1]p 、[ ,1]Mp 的时间， ( )t tp p k= ， tk 表示在时间 t上好信号超
过坏信号的数量。下面分四种情况进行分析。
图 1 领导者、追随者、同时投资价值函数
（一） t Mp p≥ 或 Mt T≥
此时，无论 Mp 是否大于 *p ，而同时投资的价值一定大于或等于 0（即追随者的价值）。
如果该不等式严格成立，那么两个企业绝不会等待，而是立即同时进行投资。这样，只可能
出现古偌（Cournot）均衡。如果专利为“绩优专利”，两个企业的贴现收益均为 MH MR I− ；反
2 2
M
H MR I−
1 1
M
H MR I−
1( )M p( )L p
2( )M p
( )F p
2MP*P1MP
I−
0 1
1
0
MI
−
2MI−
R L
HR I−
- 10 -
之两个企业均冒险进行投资而损失掉沉没成本 MI ，投资净现值均为 MI− 。如果 t Mp p= ，同
时投资和不投资是完全无差异的。值得注意的是，无论 Mp 是否大于 Lp ，都不影响此结论。
假如 L Mp p> ，那么没有企业会等待 Lp 的到来，因为他们会害怕被其他企业抢先进入市场。
（二）
0
*
t Mp p p< < 或 *( , )Mt T T∈
这是指当 *Mp p> 时出现的一种情形。当初始信念出现在这个区域内，两个企业将争先
恐后地成为领导者，问题是谁会成为最后的赢家呢？在非专利投资情况下，由于两个企业是
对称的，直觉告诉我们，一定存在着两个对称的均衡结果：（企业 1 成为领导者，企业 2 成
为追随者）和（企业 1 成为追随者，企业 2 成为领导者），并且它们成为领导者、追随者的
概率也一定是相同的。除此之外，实际上还有一种结果是双方同时投资，而这三种结果的概
率可计算如下（详见附录）：两个企业同时投资的概率为 ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( )
L p F p
L p M p F p
−
− + 且大于零；两
个企业成为领导者和追随者的概率均为： ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( )
F p M p
L p M p F p
−
− + 且大于零。回到我们所讨论
的专利投资中来，由于先发优势巨大（领导者将获得所有项目潜在收益，追随着一无所有），
可以证明（详见附录）：博弈双方同时投资的概率为 1，而成为领导者和追随者的概率均为 0。
然而，由于 Mt T< ，此信念下的收益不足以使得同时投资成为最优投资。最后的结果（较低
信念值下的 Cournot 均衡：
0
( ) 0tM p < ）是双方都不愿看到的。这和“囚徒困境”一样，都是
因为个体理性而导致了集体的不理性。
（三）
0
*
tp p= 或 *t T=
此时，初始信念恰好等于抢先进入临界值，由于有 * Mp p< 、 * Mp p> 、 * Mp p= 三种可
能，须分别讨论。
（1） * Mp p< 。有 ( ) ( ) 0 ( )L p F p M p= = > ，首先，企业对于成为领导者和追随者是无差
异的，均以50%的概率成为领导者和追随者；其次，同时投资的概率为零。这意味着不会
出现双方都不满意的 Cournot 均衡。
（2） * Mp p> 。有 ( ) ( ) 0 ( )L p F p M p= = < ，尽管企业对于成为领导者和追随者是无差异
的，但同时投资对双方是最好的策略，故定会出现双方都较满意的 Cournot 均衡。
（3） * Mp p= 。有 ( ) ( ) ( ) 0L p F p M p= = = ，可以证明（详见附录）：企业成为领导者、追
随者和同时投资的概率均为 1/3。
（四）
0
*
t Mp p p< < 或 *t T<
- 11 -
此时， ( ) ( ) ( ) 0L p M p F p< < = 。即领导者和同时投资的价值均小于 0（即追随者），并
且 *Lp p> ，即 Lp 也未到来，企业不会在这个时候进入市场。这样，没有企业想成为领导者，
而且两个企业都将等待更多好信号的到来。也就是说，在这个区域内，都不进行投资对两个
企业是最优决策。
4. 应用举例
假如两个对称企业面对的某专利项目满足以下参数值：
表 1 专利项目参数值
9L HHR R= = 0F LHR R= = 4MHR =
2µ = 2MI = 0 =
= 3I = α =
首先，抢先进入信念为 * 3
9LH
Ip
R
= = = ，外生给定的领导者最优投资的最小信念应
为 1
( 1) 1L LH
p
R Iψ= − + ，其中：
1 1
1 1
( )( (1 )) (1 )( (1 ))
( )( ) (1 )( ( ))
r r r
r r r
β µ µ α µα α µ β αψ β µ µα µα α µ β α
+ + − − − + + −= + + − − + +
而 1 212 ( 1) 4 (1 )
rr µ
µβ µ α α
+= + =+ − − ，代入上式得 = ψ ， = 。
2
4
M
M M
H
Ip
R
= = = 。当 0 = 时， *
1ln( ) ln( )
1
( )
1
k
− +− = =
−
，
1
* *
1 1 1
ˆ (1)
(1 )
p p k p p −⎡ ⎤= = = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ + − ；
类似地， ( ) Lk k p= = ， ˆ (3) Lp p k p= = =⎡ ⎤⎢ ⎥ ；
( ) Mk k p= = ， ˆ (2) Mp p k p= = =⎡ ⎤⎢ ⎥ 。
不难看出，诱使单个企业投资的临界信念 ˆ = ，对应的 k值至少需要 3。引入竞
争关系后投资临界信念降为 *ˆ = ，对应的 k值只需 1，等待期权价值完全丧失(此时的
*
NPVp p= )，投资决策又回到了 NPV 法（这缘于专利投资的排他性特征）。当 k值仍为 0，
- 12 -
即 *tp p< 或 *t T< 时 ， 两 个 企 业 都 将 静 待 好 信 号 的 到 来 ； 当 k 值 为 1 ， 即
* *ˆ p p= = > = 或 * MT t T< < 时，双方以概率 1 同时投资，得到均不想出现的
Cournot 均衡，其投资净现值为：
*ˆ 4 2 Mp R I− = × − = − ；当 k值为 2，即 ˆ M Mp p p= = > 时，两个企业绝不
会等待，而是立即同时进行投资，并产生 Cournot 均衡，其投资净现值均为：
ˆ 4 2 H Mp R I− = × − = 。
最后，比较企业在不同信念下投资该专利所产生错误决策的概率。开始的时候，没有任
何信号，因此 0k = ，由式（25）可分别计算出企业在 * 1k⎡ ⎤ =⎢ ⎥ 、 2Mk =⎡ ⎤⎢ ⎥ 、 3Lk =⎡ ⎤⎢ ⎥ 时投资
于“绩差专利”的概率，结果如下：
0 1
(0)
1
1
P
−⎛ ⎞= =⎜ ⎟−⎝ ⎠ ；
0 2
(0)
2
1
P
−⎛ ⎞= =⎜ ⎟−⎝ ⎠ ；
0 3
(0)
3
1
P
−⎛ ⎞= =⎜ ⎟−⎝ ⎠ 。可见，竞争的引入不仅使专利投资的临界信念大大降低
（ *ˆ ˆ ˆ Mp p p= → = → = ），而且使企业做出错误购买决策的概率也大大增
加（ → → ）。
5. 结束语
本文引入不完全信息，分别对单个企业和双寡头竞争性企业的专利投资决策进行了分
析。由于企业不能准确地了解进入专利所产生的新市场的盈利状况，因此他们会根据不断到
来的信号来决定自己是否投资。我们假设一旦有企业投资后，专利的盈利性立即被确定并成
为共同知识。通常情况下这将使得后投资的企业获得更多的信息，从而产生后发优势。但由
于专利权的垄断性或排他性特征，使得追随者丧失后发优势。这样一来，企业不会甘当追随
者，关注的焦点也从比较先发优势、后发优势的大小转移到何时应该抢先进入成为领导者以
及最优同时投资上来。
三个临界信念 Lp 、 *p 、 Mp 将价值函数划分成四个区域，大小取决于信号到来的速度
和信号质量的好坏,念处在不同的区域则预示着将产生不同的博弈均衡类型。得到的创新结
论是：在
0
*
t Mp p p< < 区域，双方本是以争当领导者为目标，但博弈的结果是最不想出现的
Cournot 均衡；当信念正好处在领导者、追随者、最优同时投资三条价值直线唯一的交点上，
即 * * *( ) ( ) ( ) 0L p F p M p= = = 时，经证明，企业成为领导者、追随者和同时投资的概率均为
1/3。另外，与其他非专利投资中的同时投资均衡的处理方法不同的是，专利购买的成本可
- 13 -
由双方分摊而专利商业化的成本则与单个企业时一致。这样一来，同时投资时每个企业的总
沉没成本 MI 就小于单个企业时的 I ，进而导致 *p 与 Mp 出现不同的数量对比关系，并最终
影响博弈的均衡结果。另外，尽管本文的研究对象是专利，但相关结论和分析方法对诸如房
地产开发中的土地竞拍、石油勘探中的选址等排他性投资问题同样具有借鉴意义。
将不完全信息理论引入期权博弈模型并用于专利投资决策分析，无疑是一种有益的探
索，本文对此作了一些新的尝试，在两对称企业的假设基础上构建了期权博弈模型。而诸如
将模型扩展为非对称企业、多家企业；考虑信号获取的成本；进行专利投资福利分析；部分
保留信息披露效应产生的后发优势等都是该领域未来富有价值的研究方向。
参考文献
[1] Dixit A K, Pindyck R S. Investment under Uncertainty[M]. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.
[2] Jensen R. Adoption and Diffusion of an Innovation of Uncertain Profitability[J]. Journal of Economic Theory,
1982, 27(2): 182-193.
[3] Dias . The Timing of Investment in E&P: Uncertainty, Irreversibility, Learnning, and Strategic
Consideration. SPE Paper, , Presented at 1997 SPE Hydrocarbon Economics and Evaluation
Symposium, Dallas 16-18 March 1997, Proceedings: 135-148.
[4] Thijssen J J J, van Damme E E C, Huisman K J M, Kort P M. Investment under Vanishing Uncertainty due to
Information Arriving over Time[R]. Working Paper, No. 2001-14, Center, Tilburg University, 2001a.
[5] Thijssen J J J, Huisman K J M, Kort P M. Strategic Investment under Uncertainty and Information
Spillovers[R]. Working Paper, No. 2001-91, Center, Tilburg University, 2001b.
[6] Lambrecht B, Perraudin W. Realoptions and Preemption under Incomplete Information[J]. Journal of
Economic Dynamics & Control, 2003, 27(4): 619-643.
[7] Weeds H. Strategic Delay in a Real options Model of R & D Competition[R]. Review of Economic
Studies,2002
[8] Miltersen K R, Schwartz E S. R&D Investments with Competitive Interactions[R]. Working Paper,
Norwegian School of Economics and Business Administration, 2003.
[9] Reiss Ariane. Investment in Innovations and Competition: An option pricing Approach[R]. Working Paper,
University of Tuebingen, 1998.
Patent Investment under Incomplete Information
Cai Qiang，Zeng Yong，Deng Guangjun
School of Management，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu
(610054)
Abstract
This paper considers incomplete information and competition, and the establishment of investment
decision-making model of the real option, and receives the critical belief needed for patent investment
from single enterprise and duopoly enterprises respectively, and further analyzes the equilibrium types
and generation conditions may appear from the competition purchases to a same patent between two
symmetric enterprises. The result shows that the power of competition and inherent characteristic of
patent, the “winner takes all”,not only leads the critical belief needed for investing patent decreases,but
also the follower’s second mover advantages usually caused in “information spillover effect” generated
by the leader’s investment won’t be existenced; Simultaneity,the probability of a wrong decision
increases with it; The competition equilibrium among the enterprises can result in preemption
equilibrium and simultaneous investment equilibrium.
Keywords：incomplete information，patent investment，option games，preemption equilibrium
- 14 -
附录：两对称企业投资博弈中的概率分析
在由两对称企业（ i和 j）和一个新兴市场所构成的博弈环境中，企业的价值由投资时
的信念 tp 和对手的行为共同决定。领导者价值记为 ( )L p ，追随者价值记为 ( )F p ，同时投资
时企业价值记为 ( )M p 。企业 i、 j在 tp 上投资的概率分别记为 ( )iu t 、 ( )ju t 。假定博弈的进
行不需要花费时间，而且如果两个企业都选择等待，那么将开始一个与现在博弈完全相同的
一个重复子博弈。给定信号到来的随机过程（如正文中所描述）保持不变，直到至少一个企
业已经投资。显然， ( )iu t 、 ( )ju t 就是使企业做出最优决策的控制变量。省略下标 t，令企
业 i的价值为 iV ，则：
{ }max (1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 )(1 )
i
i i j i j i j i j iu
V u u L p u u F p u u M p u u V= − + − + + − − （32）
由于两个企业为同一的，我们考虑的是对称策略，因此 i ju u u= = 。就上式先对 iu 求一
阶偏导数，再使用对称策略，有：
(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( )
1 (1 )(1 )
i j i j i j
i
i j
u u L p u u F p u u M p
V
u u
− + − += − − − （33）
2
2
(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 (1 )(1 )
1 (1 )(1 )
(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 )
1 (1 )(1 )
j j j i ji
i i j
i j i j i j j
i j
u L p u F p u M p u uV
u u u
u u L p u u F p u u M p u
u u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + − − −∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −∂ ⎡ ⎤− − −⎣ ⎦
⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤− − −⎣ ⎦
（34）
将 i ju u u= = 代入上一阶偏导式（34）并化简得：
2
(1 ) ( ) ( ) ( )
(2 )
i
i
V u L p F p uM p
u u u
∂ − − +=∂ − （35）
考虑 0u ≠ 时的情形（若 0u = ，则又开始重复先前的博弈），企业追求价值最大化，必有：
(1 ) ( ) ( ) ( ) 0u L p F p uM p− − + = （36）
得：
( ) ( )
( ) ( )
L p F pu
L p M P
−= − （37）
将 i ju u u= = 代入式（33）分别令 ( )F p 、 ( )M p 等于零； ( )L p 、 ( )M p 等于零； ( )L p 、 ( )F p
等于零，可分别得到企业成为领导者的概率 Lu 、成为追随者的概率 Fu 、同时投资的概率 Mu ：
1
2L
uu
u
−= − ；
1
2F
uu
u
−= − ； 2M
uu
u
= − （38）
- 15 -
将（37）式分别代入（38）得：
1 ( ) ( )
2 ( ) 2 ( ) ( )L F
u F p M pu u
u L p M p F p
− −= = =− − + ，
( ) ( )
2 ( ) 2 ( ) ( )M
u L p F pu
u L p M p F p
−= =− − + （39）
回到我们所讨论的专利投资中来。此时，因存在“赢者通吃”，即 ( ) 0F p = 。代入（35）
式，并考虑u的取值范围 (0,1]u∈ ，不难发现：
(1 ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) 0u L p F p uM p u L p uM p− − + = − + > （40）
且 2(2 ) 0u u− > ，由式（35）、（40）可得： 0i
i
V
u
∂ >∂ 。这说明 iV 是关于投资概率 iu 的单调递增
函数，企业 i为了价值最大化，一定会以概率 1iu u= = 投资。在对称策略下，企业 j也会以
概率 1ju u= = 投资。故此时只会出现同时投资均衡。
当信念 *p 使得 * * *( ) ( ) ( ) 0L p F p M p= = = 时，由于投资与否对企业是无差异的，也就是
说 1
2
u = ，分别代入（38）中的 Lu 、 Fu 、 Mu 表达式，求出企业成为领导者、追随者及同时
投资的概率： 1
3L F M
u u u= = = 。
