第四章 时间序列平滑预测法
二零一一年九月
概 述
时间序列平滑预测法主要通过研究事物自身的发展规律，借以预测事物的未来发展趋势。
基本假定
经济变量过去的发展变化规律，在未发生质变的情况下，可以被延伸到未来时期。当预测期与观测期的经济环境基本相同时，这一假定可以被接受。
时间序列的构成
所谓时间序列，是指各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间顺序排列起来的统计数据。
时间序列一般用 表示，为时间，简记为 。
时间序列的构成因素
影响经济变量的时间序列变动的因素很多，通常按影响因素的性质不同，将影响时间序列总变动的因素分解为长期趋势、季节变动、循环变动和随机变动四种主要类型。
1.长期趋势
长期趋势是指时间序列在较长时期内，受某种根本性因素影响所呈现出的总趋势，是经济现象的本质在数量方面的反映，也是我们对时间序列进行分析和预测的重点。
长期趋势可以是上升的，也可以是下降的，或者是平稳的（水平的）。
2.季节变动
季节变动是指时间序列受季节更替规律或节假日的影响而呈现的周期性变动。
季节变动的周期比较稳定，一般是以一年为一个周期反复波动。但季节成分也可用来描述任何持续时间小于一年的、有规则的、重复的运动。
季节变动有固定规律可循，周期效应可以预见。
3.循环变动
循环变动是一种变化非常缓慢、需要经过数年或数十年才能显现出来的循环现象。它虽类似于周期变动，但规律性不明显，无固定周期，周期效应难以预测。
任何时间间隔超过一年的环绕趋势线上、下的波动都可归结为时间数列的循环成分。一般地，时间序列的这种成分是由于经济中的多年循环运动引起的。
4.随机变动
随机变动是指时间序列由于突发事件或各种偶然因素引起的无规律可循的变动。
这种随机变动有时对经济发展影响较大，但却不能以趋势、季节或循环变动加以解释，也难以预测。
时间序列的构成模式
时间序列的变动可以看成是上述四种因素的叠加，是它们综合作用的结果。其作用形式一般有两种模式：
加法模式：
乘法模式：
一般而言，若时间序列的季节变动、循环变动和随机变动的幅度随着长期趋势的增长而加剧，应采用乘法模式；若季节变动、循环变动和随机变动的幅度不随长期趋势的增衰而变化，应采用加法模式。
时间序列数据的类型
假定经济变量的时间序列无循环变动的影响。
1.水平趋势型
这时时间序列表现为既无上升或下降趋势，也无季节影响，只是沿着水平方向发生变动，可表示为：
或
2.线性趋势型
这时时间序列的长期趋势值是时间t的函数，无季节影响，可表示为：
这里， 都是常数，且 。
3.曲线趋势型
这时时间序列的长期趋势值是时间t的非线性函数，无季节影响。
以二次曲线为例，可表示为：
这里， 均为常数，且 。
4.水平趋势季节型
这时时间序列无上升或下降趋势，但受季节影响，可表示为：
5.线性趋势季节型
这时时间序列的长期趋势值是时间t的线性函数，且受季节影响，可表示为：
这里， 都是常数，且 。
6.曲线趋势季节型
这时时间序列的长期趋势值是时间t的非线性函数，且受季节影响。
以指数函数为例，可表示为：
这里， 都是正的常数，且 。
移动平均法
移动平均法是在算术平均的基础上发展起来的一种预测方法。
当时间序列的数据由于受周期变动和随机变动的影响起伏较大，不易显示出发展变化趋势时，可用移动平均法消除这些因素的影响，显露出时间序列的长期趋势。
一次移动平均法
一次移动平均法就是取时间序列的N个观测值予以平均，并依次滑动，直至将数据处理完毕，得到一个平均值序列。
设时间序列为 ； 为样本容量。
一次移动平均计算公式为：
移动平均的作用在于修匀数据，消除一些随机干扰，使时间序列的长期趋势显露出来，从而可用于趋势分析及预测。
一般情况下，如果时间序列没有明显的周期变化和趋势变化，可用第t期的一次移动平均值作为第t+1期的预测值，其预测模型为：
注意：一次移动平均法的预测能力只有一期。
例 某商场2008年1~12月份儿童服装销售额的数据如表所示，试用一次移动平均法预测2009年1月份的销售额。
销售额
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
t
12月
11月
10月
9月
8月
7月
6月
5月
4月
3月
2月
1月
2008年
步长N的选取
一般来说，当时间序列的变化趋势较为稳定时，N宜取大些；当时间序列波动较大时、变化明显时，N宜取小些。
实际预测中，采用试算法，即选择几个N值进行计算，比较它们的预测误差，从中选择使预测误差较小的那个N。
加权移动平均法
在加权移动平均法中，对每个数据值选择不同的权数，然后计算最近N个时期数值的加权平均数作为预测值。
一般情况下，近期数据比远期数据包含更多的关于未来的信息。因此，在预测中应更加重视近期数据，给近期数据以较大的权数，给远期数据以较小的权数。
加权移动平均法的计算公式为：
体现了相应的y在加权移动平均值中的重要程度。实际中常选 。若以第t期的加权移动平均值作为第t+1期的预测值，则预测模型为：
注意：加权移动平均法的预测能力只有一期。
二次移动平均法
所谓二次移动平均法，就是将一次移动平均序列再进行一次移动平均。其计算公式为：
它的递推公式为：
当时间序列具有线性发展趋势时，用一次移动平均法和加权移动平均法进行预测就会出现滞后偏差，表现为对于线性增加的时间序列，预测值偏低，而对于线性减少的时间序列，则预测值偏高。这种偏低、偏高的误差统称为滞后偏差。
为了消除滞后偏差对预测的影响，可在一次、二次移动平均值的基础上，利用滞后偏差的规律来建立线性趋势模型，利用线性趋势模型进行预测。
预测步骤
对时间序列 计算 和 。
利用 和 估计线性趋势模型的截距 和斜率 ：
建立线性趋势预测模型：
进行预测。
指数平滑法
指数平滑法是用过去时间数列值的加权平均数作为预测值，它是加权移动平均法的一种特殊情形。
指数平滑法是对时间序列由近及远采取具有逐步衰减性质的加权处理。
一次指数平滑法
1.计算公式
设时间序列为 ，一次指数平滑计算公式为：
将上式展开可得：
注意：一次指数平滑法预测能力只有一期。
2.预测模型
如果时间序列的变化呈水平趋势，可用第t期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测值，其预测模型为：
上式说明，t+1期的预测值是t期观测值和t期预测值的加权平均。
（）式可改写为：
上式说明，新的预测值是在原预测值的基础上，利用原预测误差进行修正得到的。
加权系数 代表了预测模型对时间序列变化的反应速度，决定了预测模型修匀误差的能力。
3.加权系数的选取
当时间序列波动不大、较为平稳时，可取较小的 值（~），以减小修正幅度，使预测模型包含较长时间序列的信息。
当时间序列具有明显的变动趋势时，可取较大的 值（~），以便迅速跟上数据的变化，提供预测模型的灵敏度。
实际应用中，可多取几个 值进行试算，选取使均方误差最小的 作为加权系数。
4.初始值的选取
初始值是由预测者估计或指定的，具体方法是：
当时间序列的样本容量 时，初始值对预测结果影响很小，可选取第一期观测值作为初始值。
当时间序列的样本容量 时，初始值对预测结果影响较大，应选取最初几期观测值的均值作为初始值。
二次指数平滑法
所谓二次指数平滑法，就是对一次指数平滑序列再进行一次指数平滑。其计算公式为：
当时间序列的变动具有线性趋势时，为消除滞后偏差，利用滞后偏差的规律建立线性趋势模型，用线性趋势模型进行预测。
注意：二次指数平滑法有多期的预测能力。
预测步骤
确定加权系数 和初始值 。
对时间序列 计算 和 。
利用 和 估计线性趋势模型的截距 和斜率 ：
建立线性趋势预测模型，并进行预测。
三次指数平滑法
如果时间序列的变化呈现二次曲线趋势时，可用三次指数平滑法进行预测。
所谓三次指数平滑法，就是将二次指数平滑序列再进行一次指数平滑。其计算公式为：
注意：三次指数平滑法有多期的预测能力。
三次指数平滑的目的是为了消除滞后偏差，计算二次曲线预测模型的参数。
设时间序列的二次曲线预测模型为：
其中参数 分别为：
