2004年 6月
第27卷第6期
重 庆 大 学 学报
Journal of Chongqing University
Jun．2004
Vo1．27 No．6
文章编号：1000—582X(2004)06—0096—03
群组决策可接受性理论
董 玉 成，陈 义 华
(重庆大学 数理学院 ，重庆 400030)
摘 要：一个群组决策中，采用算术(几何)加权平均方法得到的综合排序向量是否合理和可以接
受是一个很重要的问题。把一组决策抽象为 空间中平面区域上的点集，通过对其分布的讨论，构造
了一个变量来近似衡量一个群组决策中和综合排序向量有明显意见分歧的专家比例，从理论上探讨了
群组决策可接受性问题，然后设计了一个算法把一个高维的排序向量进行降维处理，以方便在实际中运
用，起到了较好的效果。
关键词：AHP群组决策；综合排序向量；可接受度；降维
中图分类号：0223 文献标识码：A
一 个复杂系统通常总是有多个决策者(即专家)
或决策部门参与决策。这样在用 AHP模型进行专家
咨询时，对同一个准则，将获得多个判断矩阵，即群组
决策。关于群组决策 AHP问题，萨迪、奈维斯(Neves．
J)等都作了研究 ，方法主要采用特征根法。王汝华用
计算机仿真方法研究表明加权算术(几何)平均综合
向量的方法相对更适宜。
但是，由于决策者对一个问题的看法存在差异，如
何定量评价各决策者对某一问题看法的差异，如何衡
量群组决策的可接受程度，是加权算术(几何)平均综
合向量的前提。
近年研究较多的是判断矩阵一致性问题 ¨J，文
献[3—6]虽然讨论了群组决策可接受性问题，但是都
缺乏确定阈值的合理方法。笔者设计了一个变量统计
群组决策中和综合排序向量有明显意见分歧的专家比
例，用它来衡量综合排序向量的可接受程度，取得了较
好的效果。
1 群组决策空问建模
由于专家权重不同可以转化为专家人数的不同，
因而本文假设各专家权重相等。
定义 1 设 AHP中有一决策准则 I，支配有 ／7,>12
个子准则，现有m≥2个专家进行评判，则记为一个群
组决策。
定义2 设有一群组决策，(／7,，m)，称 上平面区
I
域 (，， )={( ， ，⋯， )l ： 。=1( ≥0， =
I i：1
1，2，⋯，／71,}为 ，(／7,，／71,)的决策空间，称 (，，／7,)的区域
面积为 ，(／7,，m)的决策总量，记为 5(，，／7,)。
在群组决策，(／7,，／71,)中， ( ，／7,)为决策空间，W；=
(W W ，⋯，W )为专家 的标准化排序向量，由于
∑W =1，(W ≥=1，2，⋯，／71,)，所以Wi E R(，， )。
j=1
因而在群组决策，(凡，／71,)中，讨论各决策者对某一
问题看法的差异和群组决策的可接受程度，就是讨论
各专家的标准化排序向量在决策空间 (，，／7,)上的分
布情况。
定义3 设有一群组决策 ，(／7,，／71,)，R(，，／7,)为其
决策空间，那么在 (，，／7,)上能覆盖P(1≤p≤／71,)个专
家的最小覆盖区域称为P决策空间，记为 (／7,，／71,)，
它的区域面积称为 P决策量，记为 5 (，，／7,，／71,)。称
P (，， ，／71,)=S (，， ，m)／p为P决策量密度。
按照上述定义，各变量的实际意义如下。
( ，／71,)：刻划一个群组决策 ，( ，／71,)中，意见最
一 致的P个专家的所属空间，若W。ER ( ，／71,)，则专家
· 收稿日期：2004—02一l9
基金项目：2002年重庆市科技计划资助项目(6719)
作者简介：董玉成(1979一)，男，湖北枝江人，重庆大学硕士研究生，研究方向：评价理论、智能计算。
第27卷第6期 董玉成 等： 群组决策可接受性理论 97
i是P个意见最一致专家中的一个成员；
．s。(，， ，rn)：衡量意见最一致的P个专家的意见
分歧总量，S。(，，n，m)越小，则这P个专家的意见分歧
越小；
p (，，n，m)：衡量意见最一致的P个专家的平均
意见分歧量。
在一个群组决策中，(n，m)，采用加权算术(几
何)排序得到综合向量 =(W。，W ，⋯，W )，若 W隹
(n，m)，则可以认为综合排序向量 和R (n，m)中
的专家意见存在较大分歧。
定理 设有一群组决策，(n，m)，尺。(n，m)为其P
决策空间，W=(W。，W：，⋯，W )为加权算术(几何)排
序得到综合向量，则 使 W∈R p+1(，，n)，但 W隹
尺 (，，n)或者对 Vp都有 ．s (，，n，m)=0。
证明 反设 Vp，若 W∈Rp+。(，，n)，则 W E R (，，
n)。取 P=m一1，因为 W∈Rf 一1)+l(，，n)，故 W∈
尺
一 l(，，n)o
依次类推有：W ER。(，，n)，因为{Wi}=R。(，，n)U=
1，2，⋯，m)，所以w∈{w }( 1，2，⋯，m)，故 W=Wl=
2 ⋯ ： W m 0
所以尺 (，，乃)={ 。}{P=1，2，⋯，m}，故 (，， ，
m)=C。
在群组决策，(n，m)中，由上述定理知：
1)当 p，使W E尺p+1(，，n)，但 W R (，，n)时，取
最大的P，记为P (注意当存在多个最大的 ～(，，
n)时，可求其并集包含的专家数记为p～)，由于 W
～
(，，n)，可以认为综合排序向量与p一个专家的意
见矛盾，即近似认为综合排序向量只考虑了m-p 。 个
专家的意见，因而定义采用综合排序向量的可接受度
为 ，记为A(，)：—rn-—P~lax
。
m m
2)当Vp，都有 S。(，，n，m)=0时，所有专家的意
见完全一样，因而采用综合排序向量的可接受程度
A(，)=l。
这样就得到了一个群组决策，(n，m)的可接受程
度A(，)，显然0≤A(，)≤1，其实际意义近似为被综合
排序向量考虑了的专家意见占总专家人数的比例。
2 群组决策R 空问降维方法
如上所述，完成了群组决策 ，(n，m)在 R 空间平
面区域上的建模，但是求解多维空间中的尺，(，，n)很
困难，求解Sp(，，n，m)涉及到多重积分，计算量较大。
当n=2，决策空间为 l+ 2=1( l， 2>t0)是二维
平面上的一条直线段，在其上讨论专家的标准化排序
向量的分布是很容易的，因而把一个专家的n>2维的
标准化排序向量转化为 忍≤2维，从而把 忍>2单位平
面转化成二维平面上的一条直线段，是很有意义的。
算法
1)置i=1， =1，W 为第个专家的排序向量，令常
数N= 的维数，令W=Wi；
2)降维：对 W 进行标准化，并求 W 出的维数记为
n，若 n>2，转到3)；
3)取 =I导l，把W 分为两个分量W ={W
二
W ，⋯，W }和 ：={WiJ+l，W小2，⋯，W }，记录W =
．[∑W ，∑W 】是 的一个降维子式，后=后+1，若’『≤
i 1 f j+l
2，则记录 2￡， = 就是 一个降维子式， = +1，
否则令 W=W 转到2)；若n-j≤2，则记录W =W
就是W —个降维子式，后=后+1，否则令W=W”i转到2)；
4)置f=i+1，若 ≤Ⅳ，令后=1，W= ，转到2)，否
则降维结束。
在实际群组决策 ，(n，m)中，如果 n>2，可以按上
述算法把W ( =1，2，⋯，m)分解成多个 n≤2维的降
维子式 ， ，⋯， ，⋯， ；，对每个降维子式都可以
在二维平面上的一条直线段上(若子式 的维数为 1
则不必讨论)讨论 ( 1，2，⋯，m)的分布情况，计算
可接受度 (，)，若每个 (，)都达到了预定要求，则
认为A(，)是可接受的。
3 算 例
设一群组决策 i(4，8)，即一个四子准则，8个专家
的群组决策。专家 的标准化排序向量记为W (W。，
W2，W3，W4)，具体如下：
W．={0．1，0．1，0．3，0．5} W2={0．4，0．4，0．1，0．1}
W3={0．5,0．3，0．1，10．1} W4={0．1，0．1，0．4,0．4}
W ={0．1，0．7，0．1，0．1} W6={0．2，0．3，0．3，0．3}
W，={0．1，0．4，0．4，0．1} W8={0．1，0．1，0．5，0．3}
由降维算法可把 分解成 ， ， 3个降维子
式，具体如下：
W ={Wn+W辽+ +W“}，
W ={W }，W：={W。， “}
下面以W：为例介绍具体求解过程。
W：(=1，2，⋯，m)的具体数据如下：
：={0．2，0．8}，W ={0．8，0．2)，W ={0．8，0．2}
：={0．2，0．8}，W ={0．8，0．2}，W ={0．5，0．5}，
W ={0．5，0．5}，W ={0．2，0．5}
98 重 庆 大 学 学 报 2004牟
考虑权重相同，那么综合排序向量 ={0．5，
0．5}，其决策子空间记为 (，，2)={( ，y)Ix+y=1，
≥o，y≥o)}，是平面上的一条直线段，故 (，，n)可
以由其横坐标值的范围唯一确定，因而得到表 1。
表 1 决策子空问横坐标值
1 0．5或0．2或0．8
2 0．5或0．2或 0．8
3 0．2或0．8
4 [0．2 0．5]或[O．5，0．8]
5 [0．2 0．5]或[O．5，0．8]
6 [0．2 0．5]或[O．5，0．8]
7 [0．2 0．5]或[O．5，0．8]
8 [O．2 0．8]
说明：g为 (，，n)中元素的横坐标值
由表 1可以看到：jp =3，使 ={0．5，0．5}∈
(，，n)，但 隹R；(I，n)。由于存在两个不相交的
(，，n)，即{(0．2，0．8)}和{(0．8，0．2)}。其并集包
含的专家数记为p =6，故：A (，)= =÷
，，‘ ‘t
可以看出 的可接受度较低。用类似的方法求
得A (，)，A (，)。若 AJ(，)都达到了既定的可接受程
度，则认为加权算术(几何)平均的方法是可行的。
4 结 论
通过群组决策空间建模，构造了一个变量来近似
衡量一个群组决策中和综合排序向量有明显意见分歧
的专家比例，从理论上探讨了群组决策可接受性问题，
设计了一个算法把一个高维的排序向量进行降维处
理，以方便在实际中运用，起到了较好的效果。群组决
策空间建模可以很容易地推广到其它评价方法。但这
只是群组决策可接受问题的一个尝试，更多的工作有
待展开。
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Acceptance Theory in Group Decision of AHP
DONG Yu—cheng，CHEN Yi-hua
(College of Mathematics and Science，Chongqing University，Chongqing 400030，China)
Abstract：Whether a compositive taxis vector gained by using average is reasonable and acceptable or not is a very im—
portant point in group decision．R“room concept is adopted．A group of decisions are defined as a set in R“loom by ab —
stract．A variable approximately describes the proportion of experts who ale obviously dissident with compositive taxis
vector．Finally an algorithm is designed for practical use．This algorithm can reduce dimension and be proved to be ef-
fective．
Key words：AHP；group decision；compositive taxis vector；acceptance；reduce dimension
(编辑 张 苹)
