第一章 概率统计基础知识 第一节 概率基础知识 一、事件与概率 （一） 随机现象：在一定条件下，并不是总出现相同的结果。 1. 特点： ① 随机现象的结果至少有两个； ② 哪一个出现，事先并不知道。 2. 样本点：一个随机现象可能发生的基本结果。 3. 样本空间：随机现象一切可能样本点的总体。 （二） 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合。 1. 随机事件的特征： ① 可以用维恩（Venn）图示意； ② 事件中任一样本点发生，则事件发生； ③ 事件可用集合或语言表示，但所用语言应是明白无误的； ④ 任意一个样本空间Ω最大子集仍是Ω，称为必然事件； ⑤ 任意一个样本空间Ω最小子集仍是空集φ，是不可能事件 2. 随机事件的关系： ① 包含：两事件，A中任一样本点必在B中，则A⊂B ② 互不相容：两事件没有相同的样本点；（两事件不能同时发生） ③ 相等：两事件样本点相同；（相等必相互包含，相互包含必相等） （三） 事件的运算 ① 对立事件：由Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记：A； ② 事件的并：两事件所有样本点组成的新事件，记：AUB ； ③ 事件的交：两事件公共的样本点组成的新事件，记：AIB 或 AB； ④ 事件的差：由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件，记：A−B。 （四） 概率：事件发生可能性大小的度量。 ① 概率用P表示； ② 概率是介于0和1之间的数； ③ 概率越大，事件发生的可能性越大；概率越小，事件发生的可能性越小； ④ 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。 二、概率的古典定义与统计定义 （一） 概率的古典定义 1. 用概率的古典定义确定概率方法的要点如下： ① 所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点； ② 每个样本点出现的可能性相同（等可能性）； ③ 事件A含有k个样本点，则事件A的概率为：P(A)=k/n 2. 计数原理： ① 乘法原理： ② 加法原理：
3. 排列与组合的定义及公式： ① 排列：rn!P= n(n−r)!② 重复排列：rrP=n n③ 组合：rnC=Prn!=n=n rr!r!(n−r)!④ 无放回抽样，N个中有M个不合格，抽取n个（n≤N），则Am=“恰好有m个不合格” 概率： MN−MmnmP−(Am)= ,m=0,1,...,rNn⑤ 放回抽样，N个中有M个不合格，抽取n个（n≤N），则Bm=“恰好有m个不合格” 概率： nMmMn−mPB(m)=1−,m=0,1,...,n mNNn当m=n时，MP(Bn)= N（二） 概率的统计定义 1. 用概率的统计定义确定概率方法的要点如下： ① 与事件A有关的随机现象是可以大量重复实验的； ② 若在n次重复实验中，事件A发生kn次，则事件A发生的频率为： k事件A发生次数 fAnn()== n重复实验次数③ 频率fn(A)随重复实验次数的增加而趋于稳定，这个频率是事件A的近似概率。 三、概率的性质及其运算法则 （一） 概率的性质及其运算法则 1. 性质1：概率是非负的，数值介于0与1之间，不可能事件的概率为0，必然事件概率为1； 0≤P(A)≤1，P(φ)=0，P(Ω)=1 2. 性质2：若A是A的对立事件，则：P(A)+P(A)=1 或 P(A)=1−P(A) 3. 性质3：若A⊃B，则：P(A−B)=P(A)−P(B) 4. 性质4：事件A与B的并的概率为：P(AUB)=P(A)+P(B) 5. 性质5：对于多个不相容事件A1,A2,A3,...有：P(A1UA2UA3U...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+... （二） 条件概率及概率的乘法法则 PAB1. 条件概率：两事件A与B，在B发生的条件下，A发生的概率为：()P(AB)=,(P(B)>0) P(B)2. 性质6：对任意两个事件A与B，有：P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A)
（三） 独立性及独立事件的概率 1. 独立事件：两事件A与B，一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则A与B相互独立 2. 性质7：事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为：P(AB)=P(A)P(B) 3. 性质8：事件A与B相互独立，则在B发生的条件下，事件A的条件概率：P(AB)等于事件A的（无条件）概率。这是因为：P(AB)P(A)P(B)P(AB)===P(A) P(B)P(B)第二节 随机变量及其分布 一、随机变量：表示随机现象结果的变量。分为：“离散型随机变量”和“连续型随机变量” 二、随机变量的分布 （一） 离散随机变量的分布 （二） 连续随机变量的分布 三、随机变量分布的均值、方差与标准差 ∑xp,若X是离散分布ii1. 平均值：E(X)=i bxp(x)dx，若X连续分布∫是a2[xE(X)]P，若X是离散分布∑−ii2. 方 差：Var(X)=i b2∫[x−E(X)]p(x)dx，若X是连续分布a3. 标准差：s=s(x)=Var(X) 4. 均值与方差的运算性质： ① 设X为随机变量，a与b为任意常数，则有： E(aX+b)=aE(X)+b Var(aX+b)=a2Var(X) ② 对任意两随机变量X1与X2，有： E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) ③ 设随机变量X1与X2 独立，则有： Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2) s(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2) 四、常用分布 （一） 常用的离散分布 1. 二项分布，b(n,p)，条件及其他： ① 重复进行n次随机实验； ② n次实验间相互独立； ③ 每次实验仅有两个可能结果； ④ 每次实验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p
⑤n==x− 概率函数：P(X)p(1−pnxx),x=0,1,...,n x⑥ 均值：E(X)=np ⑦ 方差：Var(X)=np(1−p) ⑧ 标准差：s(X)=np(1−p) 2. 泊松分布，P(l)，小概率事件 ① 概率函数：lxPl(X=x=−)e,x=0,1,2,... x!② 均值：E(X)=l ③ 方差：Var(X)=l ④ 标准差：s(X)=l 3. 超几何分布，h(n,N,M)，有限总体不放回抽样 MN−M① 概率函数：xn−xP(X=x)=,x=0,1,...,r Nn②nM 均值：E(X)= N③ 方差：n(N−n)MVMar(X)=•1− N−1NN（二） 正态分布 −2(xm)11. 正态分布Nm2(,s)的概率密度函数：−p(x)=e2s2,−∞<x<∞ s2pu22. 标准正态分布N(0,1)的概率密度函数：1−j(u)=e2 2p3. 标准正态分布的分位数：ua=−u1−a 4. 有关正态分布的计算： ① 性质1：设X~Nm2(,s)，则UX−m=~N(0,1) s② 性质2：设X~Nm2(,s)，则对任意实数有： b−mambmaP(X<b)=ΦmP(X>a)=1Φ−−P(a<Xb)Φ−<=Φ−− ssss
（三） 其他连续分布 1. 均匀分布，U(a,b)，小区间上概率相等 1①,<x<b 概率密度函数：ap(x)=b−a 0,其他② 均值：a+bE(X)= 2③ 方差：(b−a2)Var(X)= 12④ 标准差：(b−a2)s(X)= 122. 对数正态分布，LNms2(,) −(lnx−m2)1e2s2① 概率密度函数：px,x()=>0sx2p 0,x≤0s2②m+ 均值：E(X)=e2 s2③m+2 方差：Var(X)=e2[es−1] s2④ 标准差：m+2s(X)=e2[es−1] 3. 指数分布，Exp(l) ① 概率密度函数：l−lxe,x≥0p(x)= 0,x<0② 均值：1E(X)= l③ 方差：1Var(X)= l2④1 标准差：s(X)= l五、中心极限定理 （一） 随机变量的独立性 1. 随机变量相互独立 2. 同分布 （二） 正态样本均值的分布 1. 相互独立同分布的随机变量同服从正态分布Nm2(,s)，则样本均值s2X~N(m,) n（三） 非正态样本均值的分布 21. 相互独立同分布的随机变量不为正态分布，则在n相当大时，样本均值X≈Ns(m,) n
