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保险市场中基于不同理性的三寡头垄断动
态博弈模型研究#
马军海，徐伟*
基金项目：教育部博士点基金资助 20090032110031；国家自然科学基金资助 61273231
作者简介：马军海（1964-），男，教授，博导
（天津大学管理与经济学部） 5
摘要：本文在国内外学者研究工作的基础上，我们考虑三寡头垄断的保险市场动态价格博弈
模型。在模型中，一个寡头采取自适应决策，一个寡头采取延迟有限理性决策，还有一个寡
头采取有限理性决策，由此建立三寡头价格博弈微分方程模型，且该系统有唯一的 Nash 均
衡点，并对该系统的稳定性和 Hopf 分岔的存在性进行研究。数值模拟结果证实了上述理论10
的准确性，并且更直观地展示了系统的动态行为。保险公司在考虑延迟的价格博弈的过程中，
必须控制好延迟参数的值，并适当地降低自身价格调整速度，以使系统尽快稳定到平衡状态。
关键词：管理科学；保险市场；寡头垄断；动态博弈；延迟；有限理性
中图分类号：请查阅《中国图书馆分类法》
15
The research of three oligarchs'dynamic game model in
insurance market based on different rational
MA Junhai
1
, XU Wei
2
(1. School of management and economic, Tianjin University;
2. School of Management and economic, Tianjin University) 20
Abstract: Based on the research of the scholars at home and aboard, we established and have an
analysis on three oligarchs’ dynamic game model in insurance market. In this model, first oligarch
takes the strategy of self-adaption, while the second one takes the strategy of limited bounded
rationality with time delay, and the third one adapt the limited bounded rationality decision, then
we establish the three oligarchs’ dynamic game model according to these. From the calculation, 25
we know that the system has only one Nash equilibrium point, and then we have the research on
the stability and existence of the Hopf bifurcation of the system. The numerical simulation verifies
the correction of above theory, and shows the system’s dynamic behavior intuitively. In the
process of insurance corporation’s price game with the consideration of time delay, they must
have a good control on the delay parameter, and reduce the price adjust speed suitably, so as the 30
system could stay in a stable station as soon as possible.
Key words: Management science; Insurance market; oligopoly; dynamic game; delay; bounded
rationality
0 引言 35
随着我国保险市场的发展，内资、外资保险公司的数量逐渐增加，虽然我国保险市场的
垄断程度有所下降，但仍然处于寡头垄断阶段。多数文献是对保险市场寡头垄断竞争中的静
态博弈研究，而动态博弈研究的文献则相对较少。韩树枫等[1]利用博弈论的知识来分析保
险市场竞价，认为保险公司并不一定要通过最低价来占领市场，从而提出相应的竞价策略。
姚洪兴等[2]将古诺模型应用到银行竞争领域中，并分析该模型中不动点的稳定性，得出各40
参数对模型稳定性的影响。潘玉荣等[3]提出了市场参与者具有不同理性层次的观点，寡头
双方分别采用延时有限理性竞产决策和最优反应，从而建立基于不同理性的双寡头产量博弈
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模型。徐峰等[4]在双寡头广告博弈模型中引入延迟决策，分析了一方引入延迟决策，另一
方为不考虑延迟的有限理性决策，并进一步分析延迟决策对系统的影响。马军海[5]等假设
博弈参与者采取延迟有限理性决策，并在不同参数条件下，对系统的稳定性、分岔和混沌现45
象进行了研究，认为系统的稳定性主要与延迟变量系数和系统中其它参数的取值有关。
[6]等通过对 Puu 的经济动态模型的研究，说明延迟可以增加系统的稳定性，所以采
取延迟有限理性的企业将会更容易稳定到 Nash 均衡点。[7]等建立了具有不同
理性的三寡头离散模型，并对系统均衡点的稳定性条件进行了分析。[8]等对有限
理性的 Bowley 模型进行了分析，研究了系统均衡点的存在性和稳定性，并对垄断中考虑延50
迟有限理性的 Bowley 模型进行研究。Jixiang Zhang[9]等对考虑有限理性的 Bertrand 模型进
行研究，并分析价格调整速度对动态系统均衡点稳定性的影响。Chen Yuanyuan 和 Xiaobing
Zhou[10,11]等研究了具有时滞的微分方程模型，并分析系统的稳定性。高琴[12]用生态学的
理论分析集装箱码头公司之间的竞争与合作，通过对 Lotka-Volterra 模型的改进，建立适当
的非线性模型，研究无时滞和有时滞这两种情况下模型的稳定性和 Hopf 分岔情况。Woo-Sik 55
Son[13]等研究一类金融系统的动态模型，并分析延迟系统的局部稳定性以及延迟对系统的
影响。
本文以保险市场作为研究背景，建立三寡头垄断的动态价格博弈模型，三个寡头分别采
取自适应决策、延迟有限理性决策和有限理性决策，并对系统在均衡点的稳定性和 Hopf 分
岔的存在性进行研究。通过数值模拟分析，得出系统中相应参数的变化对系统稳定性的影响。 60
1 模型的建立
在一个三寡头垄断的保险市场中，各保险公司之间进行动态价格博弈。如果
( ), 1,2,3ip t i 分别表示保险公司 i对其自身产品制定的价格， , 1, 2,3iq i 分别表示各保险
公司的产品需求量，那么各保险公司的逆需求函数为
1 1 1 1 2 1 3
2 2 2 2 3 2 1
3 3 3 3 1 3 2
q a b p g p h p
q a b p g p h p
q a b p g p h p
（1） 65
其中， , , , 0, 1,2,3i i ia b g h i ， ,i ig h 表示的是其中两个保险公司产品的替代率。如
果两保险公司无固定成本， 0, 1,2,3ic i 分别为第 i个保险公司的边际成本，那么我们可
以假定三个保险公司的成本函数为如下的线性形式
( ) , 1, 2,3i i i iC q c q i （2）
因此，保险公司的利润函数可表示为 70
1 2 3( , , ) , 1,2,3i i i i ip p p p q c q i （3）
将（1）式代入（3）式，得
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1 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 3
2 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1
3 1 2 3 3 3 3 3 3 1 3 2
( , , ) ( )( )
( , , ) ( )( )
( , , ) ( )( )
p p p p c a b p g p h p
p p p p c a b p g p h p
p p p p c a b p g p h p
（4）
根据（4）式，求得三寡头的边际利润为
1 1 2 3
1 1 1 2 1 3 1 1
1
2 1 2 3
2 2 2 3 2 1 2 2
2
3 1 2 3
3 3 3 1 3 2 3 3
3
( , , )
2
( , , )
2
( , , )
2
p p p
a b p g p h p b c
p
p p p
a b p g p h p b c
p
p p p
a b p g p h p b c
p
（5） 75
这里假设第一个寡头采取自适应决策，根据
1 1 2 3
1
( , , )
0
p p p
p
计算出的价格
1 2 1 3 1 1
1
1
( )
2
a g p h p b c
b
与所考虑的 1 时刻之前的价格 1 1( )p t 两者之间的差进行价格
博弈。当两者之差大于零时，适当地提高价格；反之，降低价格。如果 ( ), 1,2,3i ip i 表
示第 i个保险公司的产品价格调整程度，那么第一个寡头的价格调整的动态过程为
1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
p t p a g p h p b c p t
b
（6） 80
假设其余两个寡头采取有限理性决策，由于企业具有不完全的市场信息，所以为了将其
利润最大化，企业在做出价格决策的时候可以考虑其边际利润情况。如果边际利润是正数，
企业就决定提高产品价格；反之，降低产品价格。所以这两个寡头的价格调整的动态过程为
1 2 3( , , )( ) ( ) , 2,3ii i i
i
p p p
p t p i
p
（7）
由于保险公司都是有限理性的经济主体，在作价格决策时，通常在考虑本期边际利润的85
基础上，还要考虑 2 时刻之前的边际利润情况，使得最后的决策结果更贴近于实际。基于
上述假设，保险公司 2 在有限理性决策的基础上采取延迟决策，且延迟为 2 ，保险公司 3
则不考虑延迟的影响。从而有
2 2 2 2( ) (1 ) ( )
dp wp t w p t （8）
其中，0 1w 表示决策时本期价格的权重，1 w 则表示 2t 时刻价格的权重。 90
假设 ( ), 1,2,3i ip i 是线性形式的，即
( ) , 1,2,3i i i ip v p i （9）
其中， iv 是一个正数，表示第 i个保险公司的价格调整速度。为了分析的方便，这里假
定 1 2 。
因此，综合上述分析我们可以得出最终的寡头价格决策博弈模型，即为下面的微分方程95
组
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1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 1 3 2 3 2 3 3
( ) ( ( ) (1 ) ( ) ( ) ) 2 ( )
( ) 2 ( ) 2 (1 ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) ( )
p t v p a g wp t g w p t h p t b c b p t
p t v p a b wp t b w p t g p t h p t b c
p t v p a b p t g p t h wp t h w p t b c
（10）
2 模型的分析
基于经济模型本身的意义，均衡解应为非负解。对系统（10）进行求解可以得到如下 8
个均衡点 100
1 0,0,0E ，
1 1
2
1
,0,0
2
a b c
E
b
， 2 23
2
0, ,0
2
a b c
E
b
， 3 34
3
0,0,
2
a b c
E
b
2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2
5
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
, ,0
4 4
ab bb c ag b c g ab bb c ah b c h
E
bb g h bb g h
3 1 3 1 1 3 3 1 1 1 2 3 3 1 1 3
6
1 3 3 1 1 3 3 1
2 2 2 2
,0,
4 4
ab bb c ah b c h ab bb c ag b c g
E
bb g h bb g h
3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 3
7
2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 2
0, ,
4 4
ab b b c ag b c g ab b b c ah b c h
E
b b g h b b g h
8 1 2 3, ,E p p p ，其中 1 21
7 8
e e
p
e e
，
3 4
2
7 8
e e
p
e e
，
5 6
3
7 8
e e
p
e e
105
1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 3 1 34 2 2e ab b ab g ab h ag g ag h ah h ，
2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 3 1 2 1 1 2 3 2 2 1 34 2 2e bb b c b b c g b b c h b c g g b c g h b c h h ，
3 1 3 1 2 3 2 2 3 3 1 1 24 2 2e abb ab g ab h ag g ag h ah h ，
4 1 2 3 2 1 3 3 2 1 3 1 2 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 24 2 2e bb b c bb c g bb c h b c g g b c g h b c h h ，
5 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 34 2 2e abb ab g ab h ag g ag h ah h ，
110
6 1 2 3 3 1 2 1 3 1 2 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2 1 1 2 34 2 2e bb b c bb c g bb c h b c g g b c g h b c h h ，
7 1 2 3 1 2 3 1 2 38e b b b g g g h h h ， 8 1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2e b g h b g h b g h
显然， 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,E E E E E E E 是系统（10）的边界均衡点， 8E 则是系统（10）唯一
的 Nash 均衡点。
做变换
* * *
1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )u t p t p u t p t p u t p t p ，则系统（10）可以变为
115
如下形式
* 1 31 2 1 2
1 1 1 1 1
1 1 1
*
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3
*
3 3 3 3 3 1 3 2 3 2 3 3
( )( ) (1 ) ( )
( ) ( ( ) ) ( )
2 2 2
( ) ( ( ) ) ( ) 2 ( ) 2 (1 ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 2 ( )
hu tg wu t g w u t
u t v u t p u t
b b b
u t v u t p h u t b wu t b w u t g u t
u t v u t p g u t h wu t h w u t b u t
（11）
所以，研究均衡点 8E 的稳定性就转变为研究点 0,0,0 的稳定性。
系统（11）在 0u 处的线性部分为
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** *
* 1 1 1 31 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1
1 1 1
* * * *
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
* * *
3 3 3 3 1 3 3 3 2 3 3 3 2
( )( ) (1 ) ( )
( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 (1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 2
h v p u tg wv p u t g w v p u t
u t v p u t
b b b
u t h v p u t b wv p u t b w v p u t g v p u t
u t g v p u t h wv p u t h w v p u t b
*
3 3 3 3( )v p u t
（12） 120
系统（12）的特征方程为
* * * *1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
* * * *
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
* * * *
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 (1 ) 2 2
2 2 (1 ) 0
(1 ) 2
v p e g wv p b g w v p e b h v p b
h v p b wv p b w v p e g v p
g v p h wv p h w v p e b v p
（13）
将式（13）化简，有
3 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8( ) ( ) 0k k k k k k e k k e
（14）
其中， * *1 2 2 2 3 3 32k wb v p b v p ， 125
* * * * *2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 2 2 2 3 1 3 3 14 2k wv v p p b b g h v p wg h v p g hv p b ，
* * *3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 12 2 2k wv v v p p p g g g hh h b g h b g h b ，
* *
4 2 2 2 1 12(1 )k w b v p v p ，
* * * * * * *5 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1(1 ) (4 ) 2 (1 ) 2k w v v p p b b g h v p wb v p b v p w g h v v p p b
* * *
6 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3
* * *
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1
4
(1 ) ( 2 2 ) 2
k wv v v p p p b b g h
w v v v p p p g g g h h h b g h b g h b
130
* *
7 2 1 2 1 22(1 )k w b v v p p ，
* * *
8 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3(1 ) (4 )k w v v v p p p b b g h
当 0 时，方程（14）变为
3 2
1 2 3 0l l l （15）
其中， 1 1 4l k k ， 2 2 5 7l k k k ， 3 3 6 8l k k k
根据 Routh-Hurwitz 判据，当且仅当 0il 且 1 2 3 0l l l 时，方程（15）的所有根都具
135
有负实部，系统在均衡点E 处是局部渐近稳定的。
当 0 时，在方程（14）的两边同时乘以 e ，有
3 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8( ) ( ) ( ) 0k k k e k k k k k e
（16）
假设 i 是方程（16）的根，将其带入方程（16）并分离实部和虚部，有
2 2 2
3 8 1 2 7 4 6
2 2
3 8 1 2 7 5
( )cos( ) ( )sin( )
( )sin( ) ( )cos( )
k k k k k k k
k k k k k k
（17） 140
根据方程（17），可以解得
5 3
1 2 3
6 4 2
7 8 9
4 2
4 5 6
6 4 2
7 8 9
sin( )
cos( )
m m m
m m m
m m m
m m m
（18）
其中， 1 4m k ， 2 1 5 2 4 4 7 6m k k k k k k k ， 3 2 6 6 7 3 5 5 8m k k k k k k k k ，
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4 5 1 4m k k k ， 5 1 6 3 4 5 7 2 5 4 8m k k k k k k k k k k ， 6 6 8 3 6m k k k k ，
2
7 1 22m k k ，
145
2 2
8 2 7 1 32m k k k k ，
2 2
9 3 8m k k
由于 2 2sin ( ) cos ( ) 1 ，结合方程（18），有
12 10 8 6 4 2
1 2 3 4 5 6 0n n n n n n （19）
其中， 21 7 12n m m ，
2 2
2 7 4 8 1 22 2n m m m mm ，
2
3 7 8 9 2 1 3 4 52 2 2 2n m m m m mm m m ，
2 2
4 8 5 7 9 2 3 4 62 2 2n m m m m m m m m ，
150
2
5 8 9 5 6 32 2n m m m m m ，
2 2
6 9 6n m m
记 2s ，方程（19）变为
6 5 4 3 2
1 2 3 4 5 6 0s n s n s n s n s n s n （20）
假设方程（20）有 6 个正根 ( 1,2, ,6)ks k ，那么方程（19）就有 6 个正根 k ks ，
1,2, ,6k ，将其代入方程（18），有 155
4 2
4 5 6
6 4 2
7 8 9
1 2
arccos , 1,2, ,6, 0,1,2,j k kk
k k k k k
m m m j
k j
m m m
（21）
令 0 min( )
j
k 。
将方程（16）两边对 求导，有
1 2
1 2 4 7 5
3 2
4 5 6 7 8
(3 2 ) 2( )
2 ( )
k k e k k e kd
d k k k k k e
（22）
将 i 代入方程（22），有 160
0
1
1 3 2 4
2 2
3 4
( ) r r r rd
d r r
其中，
2
1 2 7 1 5( 3 )cos( ) 2 sin( )r k k k k ，
2
2 2 7 1 4( 3 )sin( ) 2 cos( ) 2r k k k k ，
2
3 5 7 82 ( )sin( )r k k k ，
3
4 4 6 82 cos( )r k k k
165
因此
0
0
1
( ) ( )
Re Re 0
d d
sign sign
d d
在上述分析的基础上，我们有如下结论：当 00, 时，系统（10）在均衡点处事渐
近稳定的；当 0 时，系统在均衡点处发生 Hopf 分岔。
3 数值模拟与分析 170
为了更好地反映系统的动态行为，下面对系统进行数值模拟与分析。
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在上述的动态博弈模型中，取市场参数 5a ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ，
2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 。三个保险公司各自的边际成本
为 1 ， 2 ， 3 。三个保险公司自身产品价格的初值分别为
1(0) ， 2 (0) ， 3(0) ，价格调整速度为 1 2 3 v v ，价格权重
175
。根据公式（21），可以计算出 0 。利用 Matlab 软件对该系统进行数值
模拟，依次取 , ，模拟结果分别如图 1 和图 2 所示。
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
t
p
1
,p
2
,p
3
p1
p2
p3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
t
p
1
,p
2
,p
3
p1
p2
p3
图 1 当 时，系统解的变化情况 图 2 当 时，系统解的变化情况
从图 1 和图 2 可以看出，当 0 时，系统最终将会稳定到平衡点，当 0 时，系统180
将会产生周期解。在系统能够稳定到平衡点的情况中，可以计算出平衡点的值，即
1
， 2
， 3
。此时，根据公式（4）我们也可以计算出三个
保险公司的利润值，即 1 ， 2 ， 3 。
由于第二个寡头采取的是延迟决策，根据前面的分析，我们可以看出其价格波动受延迟
参数和系统中其它参数的影响是很大的。这里取第二个寡头的价格调整速度 2 ，数值
185
模拟结果如图 3 和图 4 所示。将其与图 1 和图 2 进行对比，我们可以发现，当第二个寡头降
低其价格调整速度时，系统稳定到平衡点所需的时间将会减少，而且不稳定的系统也可能因
此稳定到平衡点。
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
t
p
1
,p
2
,p
3
p1
p2
p3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
t
p
1
,p
2
,p
3
p1
p2
p3
图 3 当 2 , 时，系统解的变化情况 图 4 当 2 , 时，系统解的变化情况 190
因此，为了避免保险市场的混乱，从而使各寡头获得正常利润，第二个寡头需要减小延
迟参数的值，并适当降低价格调整速度。在现实情况中，采取延迟决策的保险公司需要获得
市场上最新的价格信息，从而使滞后效应对系统稳定性的影响降到最低。同时，降低价格对
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边际利润的敏感程度，使价格的调整与市场整体走向一致，最终使整个保险市场趋于稳定。
保持其它参数不变，只改变两个寡头的延迟参数的值，同样对系统进行数值模拟，模拟195
结果如图 5-图 10 所示。
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
t
p
1
,p
2
,p
3
p1
p2
p3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
t
p
1
,p
2
,p
3
p1
p2
p3
图 5 系统解的变化情况（ 1 , 2 ） 图 6 系统解的变化情况（ 1 , 3 ）
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图 7 系统解的变化情况（ 1 , 4 ） 图 8 系统解的变化情况（ 1 23, ） 200
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图 9 系统解的变化情况（ 1 24, ） 图 10 系统解的变化情况（ 1 25, ）
从图 5-图 7 我们可以看出，当第一个寡头选择的延迟参数的值固定时，随着第二个寡
头的延迟参数的值的增大，系统由稳定变为不稳定，从而产生周期解并且变化幅度越来越大，
且滞后效应对第二个寡头的影响较为明显，对其余寡头的影响并不显著。从图 8-图 10 我们205
可以看出，当第二个寡头的延迟参数的值不变时，通过增大第一个寡头的延迟参数的值，系
统也将由稳定变为不稳定，进而产生周期解。此时，滞后效应对第一个寡头的影响较为明显，
对其余两个寡头也会产生一定程度的影响。所以，对于采取自适应决策和延迟决策的两个寡
头所选择的延迟参数的值对整个系统的影响情况，显然前者更加明显。因此，为了使整个保
险市场的价格能够趋于稳定，各保险公司在采取不同决策方案的同时，需要适当减小延迟参210
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数的值，从而使系统稳定到平衡点的时间缩短，使整个保险市场处在合理的价格竞争中，避
免整个保险市场的混乱。
4 结论
本文建立了保险市场中三寡头垄断的动态价格博弈模型，三个寡头分别采取自适应决
策、延迟有限理性决策和有限理性决策。通过对所建立的延迟微分方程模型的理论分析和数215
值模拟，我们可以发现保险公司在价格博弈的过程中，为了使系统尽快稳定到平衡点，所选
择的延迟参数要适当地减小。保险公司不能只顾加快价格调整速度而忽略由此带来的负面影
响，因为这可能导致整个保险市场的混乱。此外，采取不同决策的保险公司所选择的延迟参
数的大小，对整个保险市场的影响程度也是不同的。因此，保险公司在竞争中必须合理地控
制参数大小，使整个保险市场能够健康稳定地发展。 220
基金项目:
国家自然科学基金资助项目(61273231); 教育部重点科研基金资助项目(20090032110031).
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