采购管理
《上海管理科学》!""#年第$期
拆分招标的供应商数量研究
!"龚秀瑾"周"蓉
摘要"许多企业在采购时!常常将整笔业务拆分为两个合同"较大的第一合同和较小的第二合同!通过
分批二级价格封闭式招标来选择不同的供应商供货#本文通过建立分批招标模型分析了供应商的投标策略
和买方的采购策略!得出了当参加第一合同竞标的供应商数目和第二合同新引入的供应商数目满足一个不
等式时!拆分招标的采购成本小于整体招标的采购成本!并且指出了拆分比例对拆分招标的采购成本的影
响#
关键词"拆分招标 供应商数目 拆分比例 中标价格
作者简介!龚秀瑾!复旦大学管理学院 管理科学系硕士研究生"周蓉!复旦大学管理学院 管理科学系#
""!(拆分招标的模型
招标采用分批二级价格封闭式投标!模型包
括三个阶段$
第一个阶段!买方选择出9个有足够生产能
力的供应商和 B个生产能力较小的供应商参加
竞标!并将整个合同拆分为一个较大的第一合同
和一个较小的第二合同!!&!%$为第一合同占整
个合同的比例!%,!-!’!%$为第二合同所占的
比例"
第二个阶段!9个有足够生产能力的供应商
首先参与第一合同的竞标!分别选择的报价是5!!+
&+,!!$!!6’!其中报价最低的供应商以次低的报
价中标!中标供应商的利润为’!"
第三个阶段!由于第二合同较小!可以引入B
个新的生产能力较小&最大的生产能力均为整个
合同的一半’的供应商参与竞标!这些新的供应商
和参与第一合同竞标但未中标的供应商一起参加
第二合同进行的竞标!分别选择的报价是5%!7&7,
!!$!!6/8-!’!其中报价最低的供应商以次低
的报价中标!中标供应商的利润为’%#
另外买方需规定赢得第一合同的供应商将不
能参与第二个合同的竞标!未赢得第一合同的供
应商可以参加第二合同的竞标"为了避免成本最
低的供应商放弃第一合同的竞标而参与第二合同
的竞标!还需规定买方支付给第二合同中标供应
商的额外费用也要支付给第一个合同的中标供应
商!作为给第一个合同的中标供应商不能赢得第
二个合同的机会成本的补偿#
模型假设$
!’买方所采购货物为同质且可分的"
$’买方对整个合同的估值为D!D比成本最
高的供应商的成本还高!所以买方不必设保留价
格"
*’有$个以上风险中性的供应商参与竞标!
每个供应商事先都知道将参加第一合同竞标和第
二合同竞标的供应商数目"
#’:为某供应商生产整个合同的成本!则他
生产第一个同的成本为!(9!生产第二合同的成
本为%(9"
)’竞标之前买方和供应商都不知道其他供应
商成本!每个供应商生产整个合同的成本均服从
)%!!*的均匀分布!概率分布函数为,&9’#
$(模型的求解
$.!(供应商的投标策略
买方首先进行第一合同的招标!而对第一合
同进行投标的供应商的报价依赖于赢得第二合同
的期望利润!因此我们采用逆向倒推法!首先考虑
参与第二合同的供应商的报价策略#第二合同的
招标是在没有赢得第一合同的&6-!’个供应商以
及8个新进入的供应商之间进行的#根据(+9:)
;<=&!"’!’)+*的文章!我们可知&6/8-!’个供应
商最优的报价策略都是按照真实的成本报价!即
5%&9"!!6/8-!’,9#因此!如果某一个供应商
的成本是9!则他赢得第二合同的概率为!-,
&9’6/8-$!该供应商赢得第二合同条件下来自第二
合同的期望利润为$
’%&9"!!6/8-!’,&!-!’(
!
9&(-9’(!&(为
次小成本*9为最小成本’.(
,&!-!’(!9&(-9’(&6/8-$’(
)!-,&(’*
6/8-*
)!-,&9’*6/8-$
(-&(’(.( &!’
(-P( 万方数据
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这里(是参与第二合同竞标的!9/B-!"个
供应商中成本次小的供应商的成本#也就是第二
合同的均衡价格$赢得第二合同的供应商应该是
!9/B-!"个供应商中成本最小的供应商$我们
假设,!>"服从%到!的均匀分布函数#则!!"式
可化为%
’%!9&!#6/8-!",
!-!
6/8-!
’!!-9" !$"
接下来考虑参与第一合同竞标的供应商的期
望利润$令5!!9"为赢得第一合同的供应商基于
成本的最优报价#则该供应商来自第一合同的期
望利润为%
’!!>#9&!#6",!(!>!5!!)"-9"’!6-!"’(!
-,!)")
6-$-!)"’.) !*"
其中>是可能大于真实成本9的某个值#5!
!)"是参与第一合同竞标的另外!6-!"个供应商
中成本最低的供应商的报价$
注意到’%!9&!#6/8-!"是赢得第一合同的
机会成本#则参与第一合同竞标的某一供应商的
全部期望利润可以表示为%
’!>#9&!#6",’!!>#9&!#6"/!6-!"’,!>"
’(!-,!9")6/8-$’’%!9&!#6/8-!" !#"
总的期望利润是来自第一合同的期望利润#
加上来自第二合同的期望利润#其中来自第二合
同的期望利润是!!"式的条件期望利润乘以该供
应商赢得第二合同的概率$
定理!参与第一合同的供应商的最优报价为
5!!9&!#6",9/!!*!"’(!-,!9")8’
’%!9&!#6/8-!" !)"
证明 每个供应商都会按照能够使自己的利
润最大化的投标函数进行投标#则对期望利润函
数进行求导%
.’!>#9&!#6"
.> >,9
,% !’"
.’
.> >,9
,.’!.> >,9
/!6-!"’-!9"’
(!-,!9")6/8-$’’%,% !+"
!’(5!!9&!#6"-9)’!6-!"’(!-,!9")6-$
’-!9",!6-!"’-!9"’(!-,!9")6/8-$’’% !&"
经计算可得!)"式$ 证毕
假设 &!U"服从(%#!)的均匀分布#则
5!!9&!#6",9/
!-!
!
’!!-9"
8/!
6/8-!
!""
从上式可见#参与第一合同的供应商的最优
报价随其成本的增加而增加#随供应商数目6#8
以及!值的增加而有减小趋势$另外#随着第二
合同竞争的加剧#来自第二合同的期望利润减少
使得最优报价减小$
$.$(买方的招标策略
我们用9!!6"#9$!6"分别表示参与第一合同
竞标的9个供应商中成本最低和成本次低的两家
供应商成本的期望值#其中成本最低的将赢得第
一合同$9!!6/8-!"#9$!6/8-!"是参与第二
合同竞标的!6/8-!"个供应商中成本最低#成
本次低两家供应商成本期望值#其中成本最低的
将赢得第二合同$9!!6"#9$!6"可以表示为
9!!6",6(!%>-!>"(!-,!>")6-!).>,6(!%
>!!->"6-!.>, !6/!
!!%"
9$!6",6!6-!"(!%>-!>"(!-,!>")6-$,!>"
.>, $6/!
!!!"
参与第二合同竞标的!6/8-!"个供应商中
成本最低的供应商以成本次低的供应商的成本中
标#其中次低成本的概率密度函数%!>"是以下的
四种情况下各式子的总和$
情况!!6个供应商中的成本次小的供应商的
成本为6/8-!个供应商中的次小成本"%
86!6-!">$!!->"8/6-*
情况$!8 个供应商中的成本第三小的供应
商的成本为6/8-!个供应商成本中的次小成
本"%
!
$6
!6-!"!6-$">$!!->"8/6-*
情况*!8 个供应商中的成本最小的供应商
的成本为6/8-!个供应商成本中的次小成
本"%
!
$86
!6-!">$!!->"8/6-*
情况#!8 个供应商中的成本次小的供应商
的成本为6/8-!个供应商成本中的次小成
本"%
8!8-!"6>$!!->"8/6-*/8!8-!">!!-
>"8/6-$
则买方第二合同采购成本的期望值为%
$!%,’$ !6/8-!",(
!
%>%!>".>,
!6/8-!"!*6/$8"/68
!6/8-!"!6/8"!6/8/!"
!!$"
买方第一合同的采购成本的期望值为%
$!!,(!%5!!9&!#6"’6’!6-!"’,!9"’
(!-,!9")6-$’-!9"’.9
, $6/!/
(!!-!"*!)’
’MP’ 万方数据
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6!"6-!#
"6/8/!#!"6/8#!"6/8-!#
"!*#
则买方整个合同的采购成本为$
$!"!#,!$!!/"!-!#!$!% "!##
定理$整个合同的期望采购成本为
$!"!#,% 6
"6-!#
"6/8/!#"6/8#"6/8-!#
/
"6/8-!#"*6/$8#/68
"6/8-!#"6/8#"6/8/!#
&
/%$6/!-
6"6-!#
"6/8/!#"6/8#"6/8-!#
-
"6/8-!#"*6/$8#/68
"6/8-!#"6/8#"6/8/!#
&!! "!)#
证明 买方的整个合同的采购成本为
$!"!#,!$!!/"!-!#!$!%
,!’$6/!/
!-!
!
!
6"6-!#
"6/8/!#"6/8#"6/8-!#
(/"!-!#!
"6/8-!#"*6/$8#/68
"6/8-!#"6/8#"6/8/!#
经计算得"!)#式
定理*假设供应商的成本服从%%)!&累计分
布函数为,"9#的均匀分布)拆分招标的期望采购
成本小于整体招标的期望采购成本)如果8)6满
足
8% )#6
$/+ 6-6$ "!’#
其中6)8 分别是参加第一合同竞标的供应
商人数与新参加第二合同竞标的供应商人数*
证明 买方选择拆分招标则他要付出比整体
招标额外的费用
,"!)6#,$!"!#-$!"!# "!+#
其中$!"!#,9$"6#)若拆分招标优于整体招
标)则需,"!)6#$%)即
!’$6/!/
%"!-!#+!&!
6"6-!#
"6/8/!#"6/8#"6/8-!#
(/"!-!#!
"6/8-!#"*6/$8#/68
"6/8-!#"6/8#"6/8/!#$
$
6/!
"!&#
经计算得"!’#式* 证毕
定理#假设供应商的成本服从%%)!&累计分
布函数为,"9#的均匀分布)
!e期望采购成本随!的增大而增大)如果8)
6满足
8% )#6
$/+ 6-6$ "!’#
$e否则)期望采购成本随*的增大而减小
其中6)8 分别是参加第一合同竞标的供应
商人数与新参加第二合同竞标的供应商人数*
证明 若 令 "!)#式 中 ! 的 系 数 $6/!-
6"6-!#
"6/8/!#"6/8#"6/8-!#
-
"6/8-!#"*6/$8#/68
"6/8-!#"6/8#"6/8/!#%%
)则期望采购
成本随!的增大而增大)若令!的系数 $6/!-
6"6-!#
"6/8/!#"6/8#"6/8-!#
-
"6/8-!#"*6/$8#/68
"6/8-!#"6/8#"6/8/!#$%
)则期望采购
成本随!的增大而减小* 证毕
观察定理*可以发现)拆分招标的期望采购
成本与整体招标的期望采购成本的相对大小)与
!的大小无关)即按何种比例拆分整个合同并不
会影响到拆分招标与整体招标的选择*究竟是拆
分招标对买方有利还是整体招标对买方有利)只
与第二合同新引入的供应商数目有关)即买方究
竟选择拆分招标还是选择整体招标)只要看6和
8 的大小)将6)8 带入"!’#式)如果该不等式成
立则选择拆分招标)如果该不等式不成立则选择
整体招标*
比较定理*和定理#可以发现)当拆分招标
的采购成本小于整体招标的采购成本时)采购成
本随!的增大而增大*因此)为了使期望价格变
小)则!值尽可能选择小*也就是说)保证拆分招
标的第一合同大于第二合同的前提下)第一合同
尽量小一些)第二合同尽量大一些*另外)新引入
供应 商 数 目 8 越 大)则 ! 的 系 数 $6/!-
6"6-!#
"6/8/!#"6/8#"6/8-!#
-
"6/8-!#"*6/$8#/68
"6/8-!#"6/8#"6/8/!#
越大)这时增大
第二合同减小第一合同)降低期望价格的效果会
更明显*因此如果因拆分引入了比较多的生产能
力较小供应商时)可以考虑选择!值接近!+$)即
第一合同和第二合同大小相近*另外)如果买方
从降低供货成本等方面考虑)在8和6的数目不
满足"!’#式的情况下依然选择拆分招标)则此时
拆分招标的采购成本高于整体招标的采购成本)
并且期望采购成本随!的增大而减小)也就是在
这种情况下买方应该尽量使第一合同所占比例大
来降低采购成本*
!OP! 万方数据
采购管理
*(模拟计算
假设某企业进行招标采购!候选的供应商中
有#个是有足够生产能力的供应商!另外8个是
生产能力较小的供应商"最大的生产能力均为整
个合同的一半#$根据命题四!8$*时采用整体
招标的采购成本较低!并且期望价格将随!的增
大而增大%8&*时采用拆分招标的采购成本较
低!并且期望价格将随!的增大而增大$
下面通过模拟计算分别分析8,$!8,*!8
,#!三种情况下!不同拆分比例的拆分招标的采
购成本$模拟过程如下&将整个合同拆分为两个
合同!第一合同所占的比例为!"!’$’!’!#!!第
二合同所占的比例为!-!!首先通过计算机生成
#个服从(%!!)均匀分布的随机数6!!6$!6*!6#!它
们分别代表#个能够参与第一合同竞标的有足够
生产能力的供应商的成本!这#个供应商先对第
一合同进行竞标!根据每个供应商的成本计算出
它们各自的报价!其中报价最低的供应商以次低
的报价!! 中标%接着生成8个服从(%!!)均匀分
布的随机数!第一合同未中标的*个供应商连同
另外新引入的生产能力较小的8 个供应商共同
参与第二合同的竞标!其中成本最低的供应商以
成本次低的供应商的成本!% 中标$最后计算出
拆分招标后整个合同的中标价格!$将该拆分招
标过程模拟)%次!得到)%组拆分招标的采购成
本!计算出)%次模拟的均值和方差$
表E"不同拆分比例的采购成本的均值和方差
8,$ 8,* 8,#
!的取值 )%次模拟的均值)%次模拟的方差 !的取值 )%次模拟的均值)%次模拟的方差 !的取值 )%次模拟的均值 )%次模拟的方差
! %4#!)&&) %4!&!*’% ! %4#!)&&) %4!&!*’% ! %4#!)&&) %4!&!*’%
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%4) %4#*’’$$ %4!*%&)$ %4) %4#!)&$* %4!#!&’& %4) %4*&#&"# %4!$))$*
""由表!可见!8,$时拆分招标的采购成本的
均值大于整体招标的采购成本的均值!且拆分招
标的采购成本的均值随!值的减小而增大!另外
采购成本的方差随!的减小而减小!这说明拆分
招标能够降低采购成本的风险%8,*!8,#时拆
分招标的采购成本的均值小于整体招标的采购成
本的均值!且拆分招标的采购成本的均值随!值
的减小而减小!另外采购成本的方差也随!的减
小而减小!这说明拆分招标降低采购成本的同时
能够降低采购成本的风险!因此此时应该选用拆
分招标并且拆分比例!应尽可能小$
参"考"文"献
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