目 录
微专题五
三角函数与解三角形中的结构不良问题
1.(2025门头沟一模,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin 2A= asin B.
(1)求∠A;
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存
在且_____确定,求△ABC的面积.
条件①:b=2 ,a=2;
条件②:b=2 ,a+c=4;
条件③:AB边上的高h= ,a= .
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,
按第一个解答计分.
唯一
目 录
解析 (1)由bsin 2A= asin B及正弦定理,得sin Bsin 2A= sin Asin B,
又B∈(0,π),所以sin B≠0,
得sin 2A= sin A,
则2sin Acos A= sin A,
又A∈(0,π),所以sin A≠0,
得cos A= ,所以A= .
(2)选条件①:b=2 ,a=2.
目 录
由(1)知,A= ,由正弦定理得sin B= = = ,
所以存在B= 或B= 两种情况,即△ABC存在,但不唯一,故不选此条件.
选条件②:b=2 ,a+c=4.
cos A= ,即 = ,
解得c=2,则a=2,故△ABC存在且唯一确定,
所以△ABC的面积S= bcsin A= ×2×2 × = .
选条件③:AB边上的高h= ,a= .
目 录
如图,AB边上的高h=CD= ,
由(1)知A= ,
在Rt△ACD中,AC= =2 ,
由余弦定理得cos A= = = ,
即AB2-6AB-7=0,得AB=-1(舍去)或AB=7,故△ABC存在且唯一确定,
所以△ABC的面积S= AB·AC·sin A= ×7×2 × = .
目 录
2.(2025西城一模,17)在△ABC中,acos B+bcos A=4ccos A.
(1)求cos A的值;
(2)若a=2 ,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△
ABC存在,求BC边上的高.
条件①:B= ;
条件②:b=6;
条件③:cos C= .
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,
按第一个解答计分.
目 录
解析 (1)由正弦定理 = = ,及acos B+bcos A=4ccos A,
得sin Acos B+sin Bcos A=4sin Ccos A,
即sin(A+B)=4sin Ccos A.
由A+B+C=π,得sin(A+B)=sin C,
所以sin C=4sin Ccos A.
由0<C<π,得sin C≠0,所以cos A= .
(2)选条件①:B= ,
目 录
因为0<cos A= < =cos ,且函数y=cos x在区间 上单调递减,
故 <A< ,又B= ,得A+B>π,与A+B+C=π矛盾,故①不成立.
选条件②:b=6,由A∈(0,π),且cos A= ,得sin A= = .
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得(2 )2=62+c2-2×6×c× ,
整理得c2-3c-4=0,
解得c=-1(舍)或c=4.
设BC边上的高为h,则三角形面积S= bcsin A= ah,
目 录
所以h= = = .
选条件③:cos C= ,
由A∈(0,π),且cos A= ,得sin A= = .
由C∈(0,π),且cos C= ,得sin C= = .
所以sin B=sin(A+C)= × + × = .
由正弦定理得b= = =6,所以BC边上的高h=bsin C=6× = .
目 录
3.(2024房山一模,17)在△ABC中,cos 2A=- ,a=7,且a<c.
(1)求A的大小;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯
一确定,求△ABC的面积.
条件①:c=8,C为锐角;
条件②:cos2C= ;
条件③:sin B= .
目 录
解析 (1)在△ABC中,因为a<c,所以A<C.
所以0<A< .所以0<2A<π.
因为cos 2A=- ,所以2A= ,所以A= .
(2)选条件①.
因为A= ,所以sin A= .
又因为a=7,c=8,所以由 = ,得 = .
目 录
所以sin C= .
因为sin2C+cos2C=1,C为锐角,
所以cos C= = ,
由c2=a2+b2-2abcos C得82=72+b2-2b×7× ,
整理得b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍),
所以b=5,
所以S△ABC= bcsin A= ×5×8× =10 .
选条件③.
目 录
因为A= ,所以sin A= .
又因为a=7,sin B= ,所以由 = ,得 = .
所以b=3.
由a2=b2+c2-2bccos A得72=32+c2-2×3c× .
整理得c2-3c-40=0,解得c=8或c=-5(舍),
所以c=8,
所以S△ABC= bcsin A= ×3×8× =6 .
不可选条件②,理由如下:由cos2C= 得cos C=± ,此时均满足A+C<π且A<C,三角形不
唯一确定,故不可选条件②.
目 录
4.(2024通州一模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 = .
(1)求A的大小;
(2)若a=2 ,b=2,D为BC边上的一点,再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选
一个作为已知,求△ABD的面积.
条件①: = ( + ),条件②:∠BAD=∠CAD.
解析 (1)因为 = ,
所以由正弦定理可得 = ,即sin Acos C=2cos Asin B-cos Asin C.
所以sin Acos C+cos Asin C=2cos Asin B.
所以sin(A+C)=2cos Asin B.
目 录
所以sin B=2cos Asin B.
因为B∈(0,π),所以sin B≠0.所以cos A= .
因为A∈(0,π),所以A= .
(2)若选条件①: = ( + ),
所以D为BC中点,所以BD=CD= .
因为a=2 ,b=2,∠BAC= ,
所以由余弦定理得12=4+c2-2×2·c· ,即c2-2c-8=0.
所以c=4(舍负).
因为c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形,
目 录
所以cos B= = ,则B= .
所以S△ABD= ×4× × = .
所以△ABD的面积为 .
若选条件②:∠BAD=∠CAD,
所以∠BAD=∠CAD= ∠CAB= .
因为a=2 ,b=2,∠BAC= ,
所以由余弦定理得12=4+c2-2×2·c· ,即c2-2c-8=0.
所以c=4(舍负).
因为c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形,
目 录
所以cos B= = ,则B= =∠BAD,所以AD=BD.
所以S△ABD= ×4× = .
所以△ABD的面积为 .
目 录
5.(2024朝阳二模,16)在△ABC中,A为锐角,且sin 2A= cos A.
(1)求cos A的值;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,求c.
条件①:cos B= ;
条件②:a=9;
条件③:b=10.
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
目 录
解析 (1)因为sin 2A= cos A,
所以2sin Acos A= cos A.
因为A为锐角,所以cos A>0,
所以sin A= .
又因为sin2A+cos2A=1,所以cos A= = .
(2)选条件①②:
目 录
因为cos B= ,0<B<π,所以sin B= = .
由 = ,得b= = =10.
由cos B= ,得 = ,
即c2-6 c-19=0,又c>0,所以c=8+3 .
选条件①③:
因为cos B= ,0<B<π,所以sin B= = .
目 录
由 = ,得a= = =9.
下同选条件①②.
选条件②③:
由cos A= ,得 = ,
即c2-16c+19=0,解得c=8±3 .
经检验,符合题意.
目 录
6.(2024朝阳一模,16)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的最小正π.
(1)若A=1, f(0)= ,求φ的值;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,确定f(x)的解析式,并
求函数h(x)=f(x)-2cos 2x的单调递增区间.
条件①:f(x)的最大值为2;
条件②:f(x)的图象关于点 中心对称;
条件③:f(x)的图象经过点 .
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一
个解答计分.
目 录
解析 因为f(x)的最小正T= =π,ω>0,所以ω=2,所以f(x)=Asin(2x+φ).
(1)因为A=1,最小正π,所以f(x)=sin(2x+φ).
又f(0)=sin φ= ,且0<φ< ,所以φ= .
(2)选条件①②.
因为f(x)的最大值为2,所以A=2.
因为f(x)的图象关于点 中心对称,
所以2× +φ=kπ(k∈Z),
目 录
即φ=kπ- (k∈Z).
因为0<φ< ,所以φ= .
所以f(x)=2sin .
所以h(x)=2sin -2cos 2x
=2 -2cos 2x
= sin 2x-cos 2x=2sin .
令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z),
目 录
得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z).
所以h(x)的单调递增区间为 (k∈Z).
选条件①③.
因为f(x)的最大值为2,所以A=2.
因为函数f(x)的图象经过点 ,
所以f = ,即sin = .
因为0<φ< ,
目 录
所以 <φ+ < .
所以φ+ = ,即φ= .
所以f(x)=2sin .
下同选条件①②.
选条件②③.
因为f(x)的图象关于点 中心对称,
所以2× +φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ- (k∈Z).
因为0<φ< ,所以φ= .
目 录
所以f(x)=Asin .
因为函数f(x)的图象经过点 ,
所以Asin = ,解得A=2.
所以f(x)=2sin .
下同选条件①②.
目 录
7.(2024门头沟一模,17)设函数f(x)=2sin(ωx+φ) ,已知∀x∈R, f(x)≤f , f
(x)在区间 上单调,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知,使函数f(x)存在.
(1)求ω,φ的值;
(2)当x∈ 时,若曲线y=f(x)与直线y=m恰有一个公共点,求m的取值范围.
条件①: 为函数y=f(x)的图象的一个对称中心;
条件②:直线x= 为函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
目 录
条件③:函数f(x)的图象可由y=sin 2x的图象平移得到.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一
个解答计分.
解析 (1)因为f(x)=2sin(ωx+φ),所以f(x)的最大值为2,
又因为∀x∈R, f(x)≤f ,所以f =2.
选择条件①.
因为f(x)在区间 上单调,且 为函数y=f(x)的图象的一个对称中心,
所以由正弦函数的性质得 = - = ,故T=π.
因为ω>0,所以ω= =2,
此时f(x)=2sin(2x+φ).
目 录
解法一:
所以当x= 时,2× +φ=π+2kπ,k∈Z,
即φ= +2kπ,k∈Z.
因为|φ|< ,所以φ= ,此时k=0.
注意 处函数图象下降,如果写成2× +φ=kπ扣分
解法二:
所以当x= 时,2× +φ= +2kπ,k∈Z,
即φ= +2kπ,k∈Z.
目 录
因为|φ|< ,所以φ= .此时k=0.
注意x= 时, f(x)取最大值,如果写成2× +φ= +kπ扣分
选择条件②.
因为f(x)在区间 上单调,且直线x= 为函数y=f(x)图象的一条对称轴,
所以由正弦函数的性质得 = - = ,故T=π.
因为ω>0,所以ω= =2,
此时f(x)=2sin(2x+φ).
解法一:
目 录
所以当x= 时,2× +φ= +2kπ,k∈Z,
即φ= +2kπ,k∈Z.
因为|φ|< ,
所以φ= ,此时k=0.
注意x= 时, f(x)取最小值,如果写成2× +φ= +kπ扣分
解法二:
所以当x= 时,2× +φ= +2kπ,k∈Z,
即φ= +2kπ,k∈Z,
目 录
因为|φ|< ,
所以φ= ,此时k=0.
注意x= 时, f(x)取最大值,如果写成2× +φ= +kπ扣分
若选择条件③.因为f(x)与y=sin 2x的振幅不一致,故不能选择.
(2)由(1)得f(x)=2sin .
因为- ≤x≤ ,
所以- ≤2x+ ≤ ,
目 录
当且仅当2x+ = ,
即x= 时, f(x)取得最大值2;
当且仅当2x+ =- ,
即x=- 时, f(x)取得最小值-1.
又2x+ = ,即x= 时, f =2sin =1,
所以m的取值范围是[-1,1)∪{2}.
目 录
8.(2025顺义一模,17)已知函数f(x)=sin + cos ωx(ω>0).
(1)求f(0)的值;
(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件,使函数f(x)存在且唯一确
定.当f(x)在区间(0,a)(a>0)上仅有一个零点时,求a的取值范围.
条件①:f(x)在 上是单调函数;
条件②:y=f(x)图象的一个对称中心为 ;
条件③:对任意的x∈R,都有f(x)≤f 成立.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一
个解答计分.
目 录
解析 (1)因为f(x)=sin + cos ωx=sin ωxcos -cos ωxsin + cos ωx= sin ωx+
cos ωx
=sin ,
所以f(0)=sin = .
(2)对于条件①:f(x)在 上是单调函数,
因为f(x)在 上是单调函数,所以 - ≤ ,即 ≤ ,
目 录
又因为ω>0,所以0<ω≤2,
由- +2k1π≤ωx+ ≤ +2k1π(k1∈Z),
解得- + ≤x≤ + (k1∈Z),
所以函数f(x)=sin 的单调递增区间为 (k1∈Z),
若函数f(x)在 上单调递增,
则 (k1∈Z),
目 录
即 (k1∈Z),
当k1=0时, 解得0<ω≤ ,
当k1=1时, 无解,k1取其他值时不等式组无解;
目 录
由 +2k2π≤ωx+ ≤ +2k2π(k2∈Z),
解得 + ≤x≤ + (k2∈Z),
所以函数f(x)=sin 的单调递减区间为 (k2∈Z),
若函数f(x)在 上单调递减,
则 (k2∈Z),
目 录
即 (k2∈Z),
当k2=0时, 解得ω=2,
当k2=1时, 无解,k2取其他值时不等式组无解.
目 录
对于条件②:y=f(x)图象的一个对称中心为 ,
由ωx+ =k3π(k3∈Z),解得x=- + (k3∈Z),
所以函数f(x)=sin 的对称中心为 (k3∈Z),
若 是y=f(x)图象的一个对称中心,
则 =- + (k3∈Z),解得ω=-1+3k3(k3∈Z).
对于条件③:对任意的x∈R,都有f(x)≤f 成立,
则x= 时,函数f(x)取得最大值,有 + = +2k4π(k4∈Z),
目 录
解得ω=2+24k4(k4∈Z).
若选条件①②,则有 (k3∈Z),无解,
或 (k3∈Z),k3=1时,ω=2,
所以f(x)=sin ,因为x∈(0,a),所以2x+ ∈ ,
因为f(x)在区间(0,a)(a>0)上仅有一个零点,
所以 得
目 录
解得 <a≤ .
若选条件①③,则有 (k4∈Z),无解,
或 (k4∈Z),k4=0时,ω=2,
所以f(x)=sin ,因为x∈(0,a),所以2x+ ∈ ,
因为f(x)在区间(0,a)(a>0)上仅有一个零点,
所以 得
目 录
解得 <a≤ .
若选条件②③,则有 (k3,k4∈Z),即k3-1=8k4(k3,k4∈Z),方程组解不唯一,
此时ω取值不唯一,所以函数f(x)不唯一,不合要求.
