第 10卷第 3期
2007年 6月
管 理 科 学 学 报
JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA
V01．10 No．3
Jun．2007
基于 MVA分析的过程能力指数的置信区间研究①
何 桢 ，孔祥芬 一，宗志宇 ，董延峰
(1．天津大学管理学院工业工程系，天津 300072；2．中国民航大学航空工程学院工业工程系，天津 300300)
摘要：传统的过程能力分析假定过程存在单一变异源，在利用方差分量法估计嵌套型多变异
源问题的总方差和各方差分量的基础上，给出了过程能力指数的估计方法，并推导了Cp的置
信区间．案例应用表明：由于MVA方法对变异来源进行了充分分析和估计，所以能够科学合理
的对过程进行评价 ．
关键词：多变异分析；置信区间；方差分析；过程能力指数
中图分类号：F273．2 文献标识码：A 文章编号：1007—9807(2007)03—0030—07
0 引 言
过程能力指数是衡量生产过程中的产品质量
特性符合规格和接近目标值的能力l ．常常用来
选择供应商和评估过程改进l_2j．最普遍使用的过
程能力指数是 和 ， ： ，
=min{ _二= ， }，其中，USL和
分别是质量特征值的上、下规格限， 和 分别是
质量特性的均值和标准差．但是，如何正确使用
c。、 ，仍是很值得讨论．首先，计算过程能力指
数的前提条件是：① 质量特征值服从正态分布，
② 质量特征值相互独立，③ 过程处于稳定受控状
态，即过程质量特征值只受随机性变异的影响．其
次，在实际应用中，由于 USL和LSL已知，所要估
计的参数就是总体均值和标准差，总体均值一般
采用样本均值无偏估计，无所争议．但是估计标准
差的方法很多，就其估计的准确性、合理性来讲 ，
也是非常值得研究的．最后，所估计的 、c。 均
为点估计，不知道在一定条件下多次使用时其一
致陛程度如何，如果能够给出置信区间则更为
可靠．
多变异分析(Multi．Vail Analysis，MVA)是用
来分析工序过程质量特征值变异规律的一种重要
方法I5j5，它的作用就是通过方差分析，找到主要的
随机性变异来源，以此指导如何进行合理地抽样，
保证样本能捕获主要的随机性变异，然后计算出
科学正确的方差 ．关于质量管理方面的 MVA，国
外的研究主要涉及到方差分量的计算以及各自分
量的置信区间的计算．如 Burdick和 Graybi11运用
方差分析估计试验模型中的方差分量 j，Borror
等运用Satterthwaite方法_7j、有约束的极大似然方
法以及 MSL方法探讨了基于测量系统分析的重
复性和再现性方差分量的置信区间_8 ．Adamec
等研究了三个随机因素的测量系统分析中方差分
量置信区间的求法l1 ．但是，这些研究多局限于
交叉型的方差分析模型和测量系统之中，而对嵌
套型模型和基于MVA的方差分量置信区间方面
的研究涉及很少．国内的 MVA研究，如何桢等_1 J
利用多变异分析的统计模型，以印刷电路板生产
过程中对锡浆厚度的控制为例，提出了基于多变
异分析的工序控制方法；孔祥芬等_1 J结合7种典
型生产情况对比了经过MVA计算的过程能力指
数与没有MVA计算的过程能力指数，对过程不合
格品率也做出了准确的计算，分析了在过程能力
指数尚可的情况下，相应的不合格品却高出很多
① 收稿日期 ：2o06一O1—10；修订日期 ：2007—04—05．
基金项目：国家自然科学基金资助项目(70372062)；新世纪优秀人才资助计划(NCET一04—0240)
作者简介 ：何 桢(1967一)，男，河南人，博士，教授，Email：zhhe@public．tpt．tj．cn．
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第 3期 何 桢等：基于MVA分析的过程能力指数的置信区间研究 一 31 一
的真正原因，阐明了在进行计算过程能力指数之
前，进行多变异分析的重要性．张黎_1 j给出了多
变异目标均值控制图的建立步骤，实现了小批量
过程多变异的控制．何桢l15]介绍了求方差分量近
似置信区间方法，只给出了产品内变异和产品间
变异的近似置信区间，而对时间变异分量的置信
区间并没有明确提及 ．以上国内外的研究并没有
清楚而明确涉及MVA下的 c 的置信区间．所以
本文的研究首先简要介绍一下 MVA方法，给出
MVA的线性统计模型．重点放在根据MVA后的方
差分量估计总体方差的置信区间，以 c 为例，给
出基于MVA方法的过程能力指数的置信区间．最
后，结合一个案例进行应用说明．
1 MVA分析方法
多变异分析(MVA)将工序质量特征值的变
异分为三类：产品内变异 (Within Piece Variation
或成为 Positional Variation)、产品间变异(Piece to
Piece Variation)和 时 间 变 异 (Time to Time
Variation)．若时间点和每个时间点样本的形成皆
随机，则多变异分析问题可以看成一种随机效应
的嵌套性试验．
假设选取了 a个时间点，在每个时间点上连
续抽取 b个产品，每个产品上选 n个不同的测量
点，则 置 表示第 i个时间点、第 个产品在第
个位置上的测量值_1 ．多变异分析的线性统计模
型为
Xzjk= +Ti+卢( ) + (q)k
r i= 1，2，⋯ ，a
{J=1，2，⋯，b (1)
L = 1，2，⋯ ，n
其中， 表示时间变异效应， ～N(O， 2 )； (i)j
表示产品间变异效应，卢(i)j～N(O， )； ( m 表
示产品内变异效应 (在模型中表示纯误差项)，
( m ～N(O， 2 )．假定各变异效应相互独立，且
不存在交互影响．显然，总方差为
。l = ；+ + (2)
0 b n b
∑∑∑ ∑∑
令 ⋯：
ao
上
n
L
， =
止
o
L
n ， -
∑ 飒
xq． = 生
，显然，离差平方和为
0 b n
∑∑∑( 一 ⋯) ：
i=1 =1 =1
0 b n
∑∑∑[(贾 一 ⋯)+
i=1 J=1 ：1
(
．
一
． ．
)+( 一 )]2 (3)
对式(2)右边进行展开推导，由于三个交互
项等于零，则
0 b n
∑∑∑( 混一贾⋯)：
n∑∑(贾 ，
i=1 i=1
0 b n
∑∑∑( 毋一 ．) (4)
i=1 J=1 =1
这说明，离差平方和等于时间效应方差、产品
间效应方差与产品内方差的总和．式(4)可以象
征性表示为
SSTota1 SSTiⅡ1e+ssBe e +SSwithi (5)
其中，ssT0 al的自由度为 abn一1，SSTi 的自由度
为 a一1，SSB 的自由度为a(b一1)，SSwithin的
自由度为 06(n一1)．式(5)右边的每 项除以它
的自由度，结果就是每一项的均方差，两个均方差
之比服从 F分布．将其整理成表 1更加清晰明朗．
表 1 多变异方差分析表
Table 1 MVA variance analysis
变异源 离差平方和 自由度 均方差 方差分量 占总方差的百分比，％
时间 ‰ 0—1 MS 。： =2 ， sT 一 【w 1 垂 ×100％ r⋯～L ， J
⋯ SSs M 2 ， B 一MSwithi 1 ×100％ 产品间 ss a(b
一 1) ~％TAL 。Be【w—l 0(b一1) ⋯ ““L n ， J
产品内 SSwimin 06(n一1) MS⋯ = =MSw 三__×1009'o
~％TAL
合计 SSTot~l abn一1 = ；+； +
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2 Cp的置信区间
用 MVA方法计算的 研AL估计标准差，
则 = ， 一 = ；．下
面首先分别推导 、 和 ；的置信区间(其推导
过程见附录A)，然后推导 r札= ；+ + 的
置信区间，最后推导 的置信区间．
在置信水平为1一a的情况下，其置信区间
为[ ， ] M⋯Swith
，
i：n ≤ 刀l ’ J’B，
： ，：≤ e≤
Fl— a／2： 3，∞ ’
在置信水平为 1～a的情况下，其置信区
间为
MSB。h 。 一MSwitlli 一~／I
n ，
塑 二 ±
n
及口
墼 ≤ ；≤
n ‘
椰 Be e 一MSwlthi +、／ y
n ’
其中， 和 u表示含义见附录A．
在置信水平为 1一a的情况下，其置信区
间为
即
MSTim。～ MS 。。 一
bn ’
MSTi 。一MSB。h 。 +、／ u]
Dn J I l，
MSTim。一MSB。tw。。 一~／
bn
MS Tj 。一MSB。 。 +、／ —
6n
其中， 和 u表示含义见附录A．
由于 ；： 旦壁 鲎n一 和 2 ：
—
MS
—
Ti
—
me -
—
M
—
SBetween
，可以看出， ；和 2 在推导过程 Dn ‘
中有可能 出现负值．这是因为在实际应用 中，
MSB。 。。 有可能小于 MSwi hin，或者 MSTim。有可能
小于 MSB。 ．而 2 =MSwi ，所以 永远大于
等于零．根据方差定义要求 ≥0， 2 ≥0，所以
可以对 ；+ + 的置信区间分为4种情况加
以讨论．
① < 0，
丝 堕二 型 <0
，此种情况只有一
Dn 一
种变异源存在，就是产品内变异，那么， 2 + +
2
e
的置信下限为。+。+ MSwithin
= ，c
船 USL-LSL；
② 出 < 0
，
丝 堕二 塑 >0
，此种情况存在两
种变异源，就是时间变异和产品内变异，那么，
；+ + 的置信下限为，
MSwi~ S Ti 一J7l Betwe。 一√
P _=+u+一 a／2：n
， ∞
On
MSwitlli MSTi 。一J7l sB。tw。。 一√1
／2：‰
十 bn ’
G。的置信上限为
USL 一 ， ． ，
6
③
Ms 眦
虹 > 0
，
n
— J7l B。 。。 一~／ bn <0，此种情况存在两
种变异源，就是产品内变异和产品间变异，那么，
；+ + 的置信下限为，
。+ — — + MSwithin
／2
=
n ，
旦 塑 二 =
n
的置信上限为
∞
出一 m^
+
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第3期 何 桢等：基于MVA分析的过程能力指数的置信区间研究
UsL— LsL
6
种变异源，就是时间变异和产品间变异以及产品
’
内变异，那么， 2 + + 2。的置信下限为，
MSTi 一MSB。 。 一~／
④ 一
rt
> 。，
I V／ 一 I—V／ W
⋯
i帅hi n I—V／ W
⋯
imh i ．)R。h⋯ 一 ．) t 一 ／ ， ．) t
丝 生二 >。
，
此种情况存在三 的置信上限为 凡 。 ／2．
，
D凡 ( I酉 1舌 r p艮—
6
不管是以上哪种情况， ；+ + 的置信上 限都为 & 一MSw,~ ．4-~／ MSw,tt~
凡 。F1
一 口／2：m，∞
MSTi 一MSB。 。。 + 的置信下限为
— — — — — — — — 一
+
USL — LsL
6
因此 ；+ + 的置信区间最长的情况就
是只存在一种变异源，即
{ ， + l ／2：n3， ’F1
一 a／2： ，
。
—
MSBetween
—
- MSwithin+~Vpu
+
—
0 }； 凡 J
；+ + 的置信区间最短的情况就是三种变
异源同时存在，即
UsL— LsL
{MSwithi MSB。t 。。 一MSwithi 一~／ 1 +———— ——一 +
‰ 一 Be 一 ~／ MSwi~
bn ’F1
一 口／2：n ，
十
Betwe。 一MSwi~ ．4-~／‰
-1-
二 垦 塑± I
b凡 I．
相应地， 的置信区间最长的情况就是只存在一
种变异源，即
6
的置信区间最短的情况就是三种变异源 同时存在，即
r UsL— LsL
6
UsL — LsL
6
UsL— LsL
6焉
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· - - - — — 34 ·---—— 管 理 科 学 学 报 2007年 6月
3 案例应用
某电子产品制造企业前线采用表面封装技术
(SMT)生产其所需的电路板，电路板锡浆厚度的工
艺规格要求为5．5～8．5 mil(~l量单位，1 mil=千分
之一英寸)．在工序过程稳定后，选择4个时间点，每
个时间点连续抽取3块PCB板，在每块PCB板上任选
了5个点(四个角点与中央点)测量，工程师采用三
维激光测厚仪进行测量，其测量结果见表2．
表 2 试验数据 (mil)
Table 2 Experiments data(mil)
产品问 8：00AM 10：ooAM 12：00AM 14：00AM
～＼ ＼ 产品内 ～＼ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
l 6．4 6．8 6．3 6．1 6．4 6．6 6．3 6．4 6．3 6．7 6．6 6．8
2 7．0 6．4 7．1 6．8 6．9 6．0 6．9 5．6 6．7 5．9 7．0 6．2
3 6．4 6．4 6．5 5．9 6．8 6．1 6．6 6．2 6．6 5．8 6．5 6．5
4 6．4 6．3 6．4 5．8 6．5 6．2 6．2 6．0 6．4 6．3 6．4 6．2
5 7．1 6．5 7．O 6．0 6．9 5．9 6．8 5．8 6．3 6．2 7．1 5．8
表 3 试验数据的方差分析表
Table 3 Variance analysis of experiments data
变异源 离差平方和 自由度 均方差 方差分量 占总方差的百分比，％ 标准差
时间 0．718 0 3 0．239 3 0．0o 0．oo 0．0o 0
产品间 2．853 3 8 0．356 7 0．052 34．63 0．228
产品内 4．692 0 48 0．097 8 0．O98 65．37 0．313
合计 8．263 3 59 0．150 0．387
MVA分析结果如表 3所示，由于
Be眦e 一MSwithi 一~／ L
— Q： 2二Q： 2墨= ： Q
一 5
= 0．011 2 > 0
MSTime一 B № 一~／ L
6n
— Q： 塑 二Q： 鱼2= ： 鱼鱼
一 3×5
= 一 0．071 6 < 0
属于本文研究中的第3部分的第③种情况，
存在产品内变异和产品间变异．假设置信水平为
95％，根据本文推导的公式可以得出 2 + +
的 置 信 区 间 为 [0．079，0．444]， 1Ur AI_=
~／ + +(；；的置信区间为[0．281，0．667]，
的置信区间为Uo．750，1．777]，
eP= 6
aTOTAL = 6 0=蒿387_1I 292 l一——— ———一一～ 一l／ ／ 一 一×． 一⋯
没有 经 过 MVA 的， = =
= 1．336， 的置信区间为
oN n-1 ， ~／
医
n - 1]-[1．336 x
0．820，1．336×1．180]=[1．095，1．576]．
4 结 论
MVA分析通过方差分析对质量特征值的变异
来源进行了充分分析和估计，可以科学合理的计算
过程能力指数，为工序控制指明了方向．同时，适当
的置信区间提供了置信的依据．需要注意的是，经
过MVA分析的 的置信区间的长度与抽样方案
密切相关，也就是抽样时间 口，每个时间点抽样的
个数 b，每个产品测量的位置 n的确定直接影响着
c 的置信 区间．具体来说 ，样本含量越大，经过
MVA分析的 c 的置信区间的长度应该越准确．也
就是说，抽样时间越多，每个时间点抽样的产品数
量越多，每个产品测量的位置越多，经过 ／VIVA分
析的 的置信区间的长度应该越准确．但是，通常
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第3期 何 桢等：基于MVA分析的过程能力指数的置信区间研究 一 35 一
情况下，抽样越多，成本越高．所以生产企业要根据 时间情况进行抽样以及评估过程能力
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Confidence interval study on process capability indices based on MVA
HE Zhen ，KONG Xiang-fen 2，ZONG Zhi—yu ，DONG Yan-feng
1．Department of Industrial Engineering，Management School of Tianjin University，Tianjin 300072，China；
2．Aemnatical Mechanics&A~onics Engineering College，Civil Aviation University of China，Tianjin 3O03O0，China
Abstract：Traditional process capability analysis takes assumption that there is only a variation source in pmduc—
tion／pmcess quality characteristics．This paper presents a method for estimating process capability indices，which
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一 36 一 管 理 科 学 学 报 2007年 6月
roots in nested mode of experiment design．and uses variance components to estimate total variance as well as each
variance component．In addition，the confidence interval of Cp is derived baSed on MVA．A case is studied，and it
is shown that MVA is good at analyzing the process variation patterns，SO the method can remark the process scien‘
tifically and rationally
Key words：multi．vari analysis；confidence interval；analysis of varian ce；process capability indices
附录 A
由于 一x (ns)，所以 在置信水平为1一a
的情况下，其置信区间为[ MSwithin，
MSwithin 一 2 ≤
由于 等 一x (n )，所以 在置信水平为1一a
的情况下，其置信区间为
B 一 MS 一
Betw 一 w +
n
即
MSBe 一 MSw。 一
n
≤ 盯 ≤
晰 一 岫 +~／_
n ’
其中：
I，皿=G{^ tWee + ^2wit}li +G23MSB tWeen l wit}li
‰ = + + B w
G2 一 (f_2'3)
： 击 _l(f_2，3)
如 ：
由于 { ～x (-1)，所以盯；在置信水平
为 1一a的情况下，其置信区间为，
即
MS 一MSBe～ 一
bn ’
MS_n 一MSB ～ +~／_
≤ 2 ≤
0n
_n 一 +~／_
bn
其中：
I = A + A tW。 + G12MSTi l B tWeen
u=丑{ + MS we +H12MSn ^ B tW。
G2：1一 (f=1，2)
岛 =
： 一
一
／2：n2， 3
：
—
衰
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