第二讲 空间几何体的表面积与体积
课标要求 考情分析
知道球、柱、
锥、台的表面
积和体积的计
算公式，能用
公式解决简单
的实际问题
1.从近几年的高考试题来看，本部分内容是
高考的必考内容，考查形式可以是直接求
几何体的表面积和体积，也可以是根据几
何体的体积、表面积求某些元素的量.
2.同时要特别注意内切球与外接球相关的
计算问题，全国卷多年都有考查.
3.题型一般为选择题、填空题
几何体 侧面积 体积
圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl
柱、锥、台和球的侧面积和体积
(续表)
(续表)
【名师点睛】
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积
相等.
题组一 走出误区
1.(多选题)如图 621，一个圆柱和一个圆锥的底面直
径和它们的高都与一个球的直径 2R 相等，下列结论正确
的是( )
图 621
A.圆柱的侧面积与球的表面积相等
B.圆锥的侧面展开图的圆心角为π
C.圆柱的表面积为 4πR2
D.圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和
答案：AD
题组二 走进教材
2.(教材改编题)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧
面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
cm
3
D. cm
2
cm
cm
答案：B
3.(教材改编题)一个正方体的顶点都在球面上，它的棱
长是 a，则球的体积为________.
题组三 真题展现
4.(2020 年天津)若棱长为 2
一球面上，则该球的表面积为(
π
的正方体的顶点都在同
)
π
ππ
答案：C
5.(2021 年新高考Ⅱ)已知正四棱台上、下底面的边长
分别为 2,4，侧棱长为 2，则其体积为( )
答案：D
考点一 几何体的表面积
[例 1]一个搭建好的无底帐篷如图 622 所示，它的下
部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高
为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1.当PO1＝2 m，
PA1＝4 m时，求帐篷的表面积.
图 622
解：如图 623，连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m，
图 623
【题后反思】
求该几何体的表面积时，先要确定该几何体的结构特
征，再利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面的面积.
【变式训练】
1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a
)时，该三棱锥的表面积是(
答案：A
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是( )
解析：设圆柱底面半径为 r，则高为 2πr，
答案：A
3.已知圆台的上、下底面半径分别是 2,6，且侧面面积
等于两底面面积之和.
(1)求圆台的母线长；
(2)求圆台的表面积.
解：(1)设圆台的母线长为 l，则由题意得
π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，
∴该圆台的母线长为 5.
(2)由(1)可得圆台的表面积为
S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝
80π.
考点二 几何体的体积
考向 1 多面体的体积
通性通法：求几何体体积的常用方法
[例 2]如图 624，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a.
截面 A1DB 将正方体分成两部分，其体积分别为 V1，V2，
且 V2＞V1.
图 624
(1)求 V1，V2 以及 V1∶V2；
(2)求点 A 到平面 A1BD 的距离 d.
解：(1)截面将正方体分成两个几何体，其中较小部分
是一个三棱锥 A1ABD，
其中底面△ABD 是腰长为 a 的等腰直角三角形，其面
图 625
考向 2 旋转体的体积
通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其
底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一
般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求
解.
[例 3]过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥
)分成两部分的体积之比是(
∶1
∶7
∶6
∶8
解析：如图 626，设圆锥底面半径 OB＝R，高 PO＝
h，
图 626
答案：C
【考法全练】
1.(考向 2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积
是 6π，这个圆台的体积是( )
解析：设圆台上底面半径为 r，下底面半径为 R，母线
长为 l，上底面面积为 S1，下底面面积为 S2，圆台高为 h，
则 S1＝π，S2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S 侧＝6π＝π(r＋R)l，
答案：D
2.(考向 1)如图 627 所示，在三棱台 ABCA1B1C1 中，
AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥 A1ABC，三棱锥 BA1B1C，三
棱锥 CA1B1C1 的体积之比.
图 627
考点三 组合体的表面积与体积
[例 4]如图 628，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC
＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内
过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周，求旋转体的表面积
和体积.
图 628
解：如图 628，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，
AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
【题后反思】
求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪
些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合
体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简
单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几
个简单几何体的体积之和(差).
【变式训练】
如图 629 所示，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E，
F 分别是 AB，AC 的中点，D 为 BC 的中点，H，G 分别是
BD，CD 的中点，若将正三角形 ABC 绕 AD 所在直线旋转
180°，求阴影部分形成的几何体的表面积.
图 629
⊙与球有关的切、接问题
[例 5](1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相切，则
该球的体积为________.
解析：由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上，
则这个球的表面积是________.
解析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对
称图形知，它们的中心重合.可见，正方体的体对角线是球
的直径.设球的半径是 r，则正方体的体对角线长是 2r.依题
【题后反思】常见的几何体与球的切、接问题的解决
策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要
注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的
对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线
的中点等.
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据
求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作
出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
【高分训练】
1.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球
的表面积为________.
解析：如图 D36，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以
OA＝5，所以球的表面积为 100π.
图 D36
答案：100π
2.(2021 年辽宁期末)已知正四面体 ABCD 的棱长为 12，
其外接球半径 R＝________；若其内切球的球心为 O，则
内切球 O 与三棱锥 OBCD 的公共部分的体积为________.
解析：如图 D37，
图 D37
由正四面体的对称性，可得正四面体外接球的球心与
内切球的球心重合.
