分形市场假说下的三因子CAPM
朱品品，刘士鹏，孙景云
(兰州大学 数学与统计学院, 甘肃兰州 730000)
摘 要: 本文运用非线性协整理论研究分形市场中资产收益与影响因子之间的非线性
均衡关系，建立了分形市场假说下的三因子CAPM模型，并给出了利用小波神经网
络逼近非线性协整函数的方法。
关键词: 分形市场假说；三因子CAPM；非线性协整函数；小波神经网络
中图分类号: 文献标识码: A
资产定价理论在金融学中处于核心地位。资产定价理论的研究内容主要有两个方面：投资
者如何将财富在各种风险资产之间进行最优分配；投资者如何确定资产市场中风险资产的均衡
价格率。自从Markowitz提出划时代的均值－方差资产组合选择模型以来，资产定价理论获得
了巨大的发展。传统的CAPM及其扩展模型建立了资产收益与市场收益或其它影响因子之间的
线性均衡关系，CAPM的前提假设是有效市场理论。但是，有效市场理论并不能完全反映真实
的市场行为。
1、、、经经经典典典CAPM
资本资产定价模型(CAPM)最初是在1964年由斯坦福大学教授威廉·夏普(Sharpe W)建立
的，随后约翰·林特纳(Lintner J)和简·莫辛(Mossin J)分别从不同的角度独立发展了这一模
型。CAPM模型是在风险资产期望收益均衡基础上的预测模型，它的功能是预测资产风险与预
期收益率之间的关系。这一模型在现代投资理论中占有十分重要的地位。运用这个模型既可以
帮助我们在已知风险的前提下了解其投资的期望收益；又可以帮助我们确定那些没有市场交易
的资产的价值。
CAPM模型是在证券组合理论的基础上发展起来的，建立在一系列的假设条件之上[1],其
数学表达式为：
E(ri)− rf = βi[E(rM )− rf ] (1)
式中：E(ri)—–股票i的期望收益率；
rf —–市场无风险利率；
r
M
—–市场资产组合收益率；
βi—–股票i对市场资产组合的灵敏度，测度由于“整个市场”
收益变动引起个股收益变动的程度的系数。并且有：
作者简介：朱品品(1982-)，男，兰州大学数学与统计学院应用数学专业研究生
1
βi =
cov(ri, rM )
σ2
M
(σ2
M
为市场资产组合的方差) (2)
2、、、Fama-French模模模型型型
法马和弗伦奇(Fama and French)[2][3]提出了三因子模型，被认为具有较强的解释力。三因
子为：（1）市场因素，即市场组合风险收益(r
m
− r
f
)；（2）规模因素SMB，即由小公司股票
组成的资产组合与由大公司股票组成的资产组合的收益差；（3）账面－市场权益因素HML，
即由较高账面/市场价值比的股票组成的资产组合与由较低账面/市场价值比的股票组成的资产
组合的收益差。
该模型的方程式为：
E(Ri)−Rf = bi[E(Rm)−Rf ] + SiE(SMB) + hiE(HML) (3)
三因子模型被认为比传统的CAPM模型更好地解释了横截面股票价格行为。
3、、、分分分形形形市市市场场场假假假说说说
随着金融市场的发展，如尖峰厚尾、规模效应、低市盈率效应等越来越多的现象已无
法在EMH的理论框架下得到合理的解释。建立在非线性动力学基础之上的分形市场价说
（FMH）便应运而生，它对市场行为的描述更符合我们所观测到的实际情形。Peters[4]最早提
出了分形市场这一概念，他指出分数布朗运动可以更加准确地刻画金融市场的波动。分形市场
理论把分形、混沌理论和分数维时间序列引入资本市场有效性和市场基本波动特性的研究中，
揭示了资本市场波动的诸多非线性特征，包括长记忆性、自相似性、正反馈性等等，为资本市
场研究开创了一种新思想和新视角。
4、、、基基基于于于小小小波波波神神神经经经网网网络络络的的的三三三因因因子子子CAPM
在非线性和分形市场中，时间序列一般是分数维单整的，时间序列之间的长期均衡关系也
往往是非线性的。
定定定义义义(非非非线线线性性性协协协整整整) 对于向量时间序列Xt = (X1t, X2t, · · · , Xnt)T , {Xt}的分量序列称为非线性
协整的，如果
（1）Xit是长记忆序列，i = 1, 2, · · · , n;
（2）存在一个函数f，使得yt = f(X1t, X2t, · · · , Xnt)是一个短记忆过程。
上面定义中函数f(·)往往是非线性的，因此被称作非线性协整函数[5]。
非线性协整研究目前尚处于起步阶段，文献[5]给出了向量分整序列非线性协整的若干性
质，并将神经网络引入非线性协整研究，利用神经网络进行非线性协整系统的建模和检验。樊
智、张世英（2005）[6]提出了利用小波神经网络逼近非线性协整函数的方法，并给出了训练小
波神经网络的变尺度算法。
Fama-French模型建立了资产收益与影响因子之间的线性均衡关系，但是，在分形市场
中，单个序列一般是分数维和非线性的，资产收益与影响因子之间的均衡关系也往往是非线性
的，可以利用非线性协整理论研究它们之间的非线性均衡关系，进而给出分形市场中的三因
子CAPM。为了便于表述，我们把Fama-French模型中的三因子记为Xt = {X1t, X2t, X3t}。
如果存在函数k(·),使得Rit − k(X1t, X2t, X3t)为一短记忆序列，则说明Rit, X1t, X2t, X3t之
间存在非线性协整关系和非线性均衡关系，并且资产收益和影响因子之间具有非线性协整函
2
数：
f(Rit, X1t, X2t, X3t) = Rit − k(X1t, X2t, X3t) (4)
同时，可以给出分形市场中的三因子CAPM：
Rit = k(X1t, X2t, X3t) + εt (5)
其中，εt为短记忆时间序列。
对于三因子CAPM，可以利用小波神经网络逼近函数k(·)，为此，建立如下图所示的小波
神经网络。
Figure 1: 三因子CAPM的小波神经网络模型
网络分三层，输入层X1t, X2t, X3t分别表示影响资产收益Rit的市场因素，规模因素和账
面-市场权益因素，t = 1, 2, · · · , T，T为样本个数；隐层节点基函数g(x−bnan )为小波函数,n =
1, 2, · · · , N；由输入节点j到隐层第n个节点的连接权重为vnj，由隐层第n个节点到输出节点的
连接权重为wn。需要学习的参数向量为θ = (v11, · · · , vN3, a1, b1, · · · , aN , bN , w1, · · · , wN )T。对
上面的小波神经网络进行训练，如果真实值Rit与网络输出值R′it之差
εt = Rit −R′it = Rit − k(X1t, X2t, X3t) (6)
是短记忆序列，则认为Rit, X1t, X2t, X3t之间存在非线性协整关系和非线性均衡关系。同时，
利用此时训练好的网络所逼近的非线性函数k(·), 可以得到三因子CAPM:
Rit = k(X1t, X2t, X3t) + εt =
N∑
n=1
wng((
3∑
m=1
vnmXmt − bn)/an) + εt (7)
其中，εt为白噪声。
对于网络中参数的训练，可以通过极小化如下形式的能量函数来实现：
E(θ) =
1
2
T∑
t=1
(R′it −Rit)2 (8)
3
对式（8）进行优化的方法通常有最速下降法、变尺度法等。相对于最速下降法，变尺度
法可以提高优化的速率，并且可以避免二阶导数矩阵的求逆，因此，本节采用了这一算法。为
了在提高学习速度的同时又不导致震荡，则采用了自适应的学习速率，在参数学习中加入了动
量项。具体实现如下：
θk+1 = θk + λkPk + α∆θk (9)
其中：
Pk = −H(θk)−1∇E(θk)
λk = argλk minE(θk + λkPk + α∆θk)
式中：θk表示迭代k步后得到的参数向量，∆θk = θk − θk−1,Pk为第k步搜索方向，λk为搜索步
长，α为动量系数，H(θk)为能量函数的Hessian矩阵。
对于式（8）：
∇E(θ) =
T∑
t=1
(R′it −Rit)
∂R′it
∂θ
(10)
其中：
∂R′it
∂vnm
= wng′(·)Xmt
an
; m = 1, 2, 3; n = 1, 2, · · · , N (11)
∂R′it
wn
= g((
3∑
m=1
vnmXmt − bn)/an) (12)
∂R′it
∂an
= −wng′(·)(
3∑
m=1
vnmXmt − bn)/a2n (13)
∂R′it
∂bn
= −wng′(·)/an (14)
对于Hessian矩阵的逆阵，则采用尺度矩阵作为近似：
H(θk+1)−1 ≈ Hk+1 = Hk + ∆θk+1(∆θk+1)
T
(∆Gk)T∆θk+1
− Hk∆Gk(∆Gk)
THk
(∆Gk)THk∆Gk
(15)
其中：Hk+1称作尺度矩阵，H1 = I为单位阵；∆Gk = ∇E(θk+1)−∇E(θk)。
重复式（9）进行参数训练，直到满足结束条件，如达到最大迭代次数，或者一定的收敛
精度，即E或‖∂E/∂θ‖小于给定值，等等。
5、、、结结结论论论
传统CAPM及其扩展模型一般都是通过建立资产收益与市场收益或其它影响因子之间的
线性关系来进行资本资产定价。然而在分形市场中，这一关系往往是非线性的。本章运用非线
性协整理论来研究分形市场中资产收益与市场收益或其它影响因子之间的非线性均衡关系，并
利用小波神经网络建立了分形市场假说下的三因子CAPM模型，同时给出了训练小波神经网络
的变尺度算法。
参参参考考考文文文献献献:
[1] 郭敏，吴卫星，严渝军。现代资本市场理论研究。北京：中国人民大学出版社，2006.
4
[2] Fama,,K. Size and book-to-market factors in earnings and of Fi-
nance,1995, vol. 50: 131-55.
[3] Fama,,K. Multifactor explanations of asset pricing of Fi-
nance,1996, vol. 51: 55-84.
[4] Peters,E. Chaos and Order in the Capital Market. New York:John Wiley＆Sons,1991.
[5] 张 喜 彬 ， 孙 青 华 ， 张 世 英.非 线 性 协 整 关 系 及 其 检 验 方 法 研 究.系 统 工 程 学
报，1999，14（1）：57-68.
[6] 樊智,张世英.非线性协整建模研究及沪深股市实证分析. 管理科学学报，2005，8（1）：73-77.
Three-factor CAPM under Fractal Market Hypothesis
Zhu Pin-pin, Liu Shi-peng, Sun jing-yun
( Mathematics and Statistics,Lanzhou University,Lanzhou 730000)
Abstract:Nonlinear cointegration theory is used to study the nonlinear balanced relationship
between return of assets and impact dissertation gives out the three-factor CAPM under
Fractal Market use wavelet neural network to construct the nonlinear cointegration
function.
Keywords: Fractal Market Hypothesis; three-factor CAPM; nonlinear cointegration function;
wavelet neural network
5
