第 22卷 第 7期
Vo1．22 No．7
控 制 与
Control and
2007年 7月
July 2007
文章编号 ：i001—0920(2007)07—0805—03
随机需求随机补货间隔零售商补货控制策略研究
张 川，潘德惠
(东北大学 工商管理学院，沈阳 i10004)
摘 要：研究分销系统中零售商的补货控制策略．分销系统中各零售商可独立决定 自己的补到水平．零售商需求率
是随机变量．服从某一泊松分布；分销中心循环为各零售商送货．送货间隔是随机变量．认为所有未满足的需求销售
机会都丢失，零售商既要支付库存持有费用．又要支付缺货损失费用．给出了收益数学期望值函数·求出了送货间隔
是均匀分布随机变量时使收益数学期望值最大化的零售商补到水平控制策略．
关键词：随机补货间隔；随机需求率；泊松分布；均匀分布；补到水平控制策略；连锁营销
中图分类号：F202；F253 文献标识码：A
Research on replenishment control tactics for retailer with random
demand and random replenishment interval
ZHANG Chuan，PAN De-hui
(School of Business Administration，Northeastern University，Shenyang 110004．China．Correspondent：ZHANG
Chuan，E—mail：zhangchuan_neu@sina．com)
Abstract：The replenishment control tactics of retailer in regional distribution system are studied．In the distribution
svstem，each retailer can decide its replenish-up-to level On their own． The demand rate of the retailer is random
variable and SUbmits tO Poisson distribution．The distribution center sends goods tO the retailers and the interval is
random variable．The whole unmet demand is lost．The retailers must pay the inventory holding COSt and the COSt of
lost—sales when OOS happens．The function of the profit expected is given．The replenish-up-to level control tactics of
retailer are given tO make the expected profit greatest when replenishment interval is uniform distribution．
Key words： Random replenishment interval；Random demand rate； Poisson distribution； Uniform distribution；
Replenish—up-to level control tactics；Chain sale
l 引 言
连锁经营是全球零售业新的发展趋势，自2O世
纪 9O年代初引入 我 国以来 ，一直处于快速发展状
态，已成为我国商业领域最具特色的经营方式．零售
店是分销系统中直接连接最终消费者，实现商品价
值的最后环节．零售商的补货策略直接影响其利润
收益，是一个重要的决策问题．
文献[1]研究了物流网络，考虑物流中心布局与
配送作业成本之间的关 系，以物流总费用最小 为 目
标，建立了一个双层规划模型，并用遗传算法得到了
该模型的一个近似最优解．文献[2]研究了分布库存
销售问题 ，讨论了分销系统的优化设计．文献[3，4]
研究了多阶段分销系统的库存控制问题．文献[5]在
研究多阶段分销系统时，将库存控制与运输路线选
择相适合．文献[6—8]在随机需求环境下，对“一对
多”的分销系统(一个仓库、N个同质零售商组成的
分销系统)进行了研究，其研究重点放在下游零售商
的补给策略(交叉订货策略 、联合补充策略 )的
确定上．文献[9]重点研究了分销系统中的中心仓库
的库存分配策略．文献[10]就生产、库存和定价的结
合问题进行了探讨．
本文针对分销中心以服从某一分布的时间间隔
为零售商送货的情况，在零售商的最终顾客需求率
服从某一泊松分布的条件下，构建了每一送货周期
收益的数学期望公式，并对送货间隔为均匀分布这
种特殊情况，在收益最大化的标准下，求出了最优补
到水平．每次当送货到达时，零售商只需按最优补到
水平补足库存．
收稿 日期 ：2006—05—09；修回 日期 ：2006—09—28．
基金项目：国家自然科学基金项目(60274099，60574013)；教育部博士点基金项 目(20020145007)．
作者简介：张川(197l一)，男，辽宁本溪人，博士后，从事物流、供应链、金融工程的研究；潘德惠(1928一)，男，沈阳
人．教授 ，博士生导师，从事物流、供应链、经济控制论等研究．
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8O6 控 制 与 决 策 第 22卷
2 零售商补到水平优化模型
模型的有关假定和符号：
1)补货时间间隔是连续型随机变量，服从某一
分布 ；
2)零售商需求率是离散型随机变量，服从参数
为 的泊松分布 ；
3)空缺期的销售机会全部丢失，丢失销售机会
有收益损失 ； ．
4)每次补到水平都达到同样 的初始状态 ，分销
中心有足够的送货能力．
S为每次补货达到的水平 ，是决策变量 ；
z为补货间隔 ，是服从某一分布的随机变量 ；
．厂(z)为 z的概率密度函数；
r为最终顾客需求率，是服从参数为 的泊松分
布 的随机变量 ；
g(r)为 r的分布律 ；
￡ 为补到水平 S耗尽到零时的时间的平均值，
￡s— S／E(r)；
h为单位时间单位商品的库存持有成本；
l为单位商品的销售机会丢失费用；
p为单位商品的最终销售价格；
为零售商支付给供应商的单位商品的成本价
格 ；
j为每周期总库存量的数学期望；
L为每周期丢失的销售机会的数学期望；
Q为每周期补货量的数学期望值；
R(t )为每周期收益的数学期望值．
本节阐述零售商每周期收益的数学期望公式．
因为假定每个周期的随机补货时间间隔是连续型随
机变量，且使每次补到水 平达到存 贮系统 同样的初
始状态，因此使每个周期的收益最大化等同于使无
限的许多循环周期收益最大化．假定补货 时间间隔
是随机变量，且补货达到水平为 S，两种情况可能发
生，如 图 1所示．在无短缺情 形，补货时间间隔小于
完全耗尽库存 的时间 ￡ ，没有短缺 ；在有短缺情 形，
补货时间间隔超过 了完全耗尽库存 的时间 ￡s，短缺
发生．
下面讨论表示收益函数期望值的 3个组成部分：
1)一个周期中零售商销售量(即补货量)的数
学期望值
Q—I E(r) (z)dz+I ⋯E(r)￡s，(z)dz．
J ：⋯ J
(1)
式中的第 1项相当于无短缺情形中售出的总商品量
的数学期望值，第 2项相当于有短缺情形中售出的
总商品量的数学期望值．
(a) 无短缺情形
(b) 有短缺情形(D为一个周期中未能满足的需求)
图1 存贮周期的描绘
2)一个周期 中丢失 的销售机会 (即未满足的需
求量)的数学期望值
L—I⋯E(r)(z—ts)，(z)dz． (2)
J tS
只有在有短缺情形中才出现短缺，有销售机会丢失．
3)一个周期中总的库存量的数学期望值
J ：E(r)(ts--t)dtlf(z)dz+
E(r s d￡ ． (3)
式中的第 1项相当于无短缺情形中总库存量的数学
期望值，第 2项相当于有短缺情形中总库存量的数
学期望值．
4)优化模型．利用式 (1)～ (3)能写出每个周
期的收益的数学期望值．作为补到水平 S(或补到水
平耗尽到0的时间的数学期望值￡ )的一个函数，表
示如下 ：
R(￡s)一 (p一 )Q— hi一 儿 ． (4)
本文的目标就是确定 ￡ ，使 R(t )达到最大．其中随
机变量 r的分布律为
P{r一 }_ ，k一 0，1，⋯ ， (5)
!
式 中 > 0为常数 ；
E(r)一 ． (6)
最优化模型为maxR(￡s)，S．t．0< ￡s≤ z ⋯
fs
3 零售商补货间隔为均匀分布情形
当补货间隔 z这一随机变量服从区间[z
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第 7期 张 川等：随机需求随机补货间隔零售商补货控制策略研究 807
Z 。 j上 的均 匀分 布时 ，有
厂( )一j ’ ∈[ m-n， mx] (7)
l0，其他．
一 个周期中零售商销售量(即补货量)的数学期望
值 为
Q —
r — 一d +f：Tr．‘x ￡ — 一d — J：⋯ Zmax— min J s Zmax— Zmin
- 一 一毕 ]． (8)Z
fTIax — m in
一 个周 期 中丢 失 的 销 售 机 会 (且p未 满 足 的需 求 量 )
的数学期望值为
L—f ⋯ ( 一￡ )——L d 一
— ． __ ． (9)
一 个周期中总的库存量的数学期望值为
I==
Zmin ( 一等 1 蚪
( 堕
2／
、 d —
Z
—
m a~ --
L
Zmin[t 学 一华 ]+
沁§( 一ts)
一 ：=
2( 一 i )
[ 2 一堕二6生 ]．(1O)
ma 一 m i
L J⋯ ～
一 个周期中零售商利润的数学期望公式为
R(ts)一 (p— w)Q—hi— lL 一
· (p--叫牝 一学 卜
— L ． 『 坚 一
华 ]一— 一．z ．(11) b m x — Zmin
4 零售商最优补货策略
用求导取优法求最优值 ￡ ．对各种情形首先求
出 R(t )的一阶导数和二阶导数，当 (￡ )< 0时，
R (￡ )一 0的解即为最优解 ．
对于补货间隔为均匀分布的情形，化简可得表
达式如下 ：
R (￡s)一 二 ± ( 一￡s)一
- 旦一( 一毕 )，(12) m8x — Zmin ’
(￡ )一 二 ± (一1)一
m x — Zmi“
— ( 一 ￡s)． (13)
对于 ts∈ (O， )， (￡s)< 0恒成立．此 时令
R (￡ )一 0，则得到使 R(t )取得最大值的￡ ，即有
从 +．2 (p一 叫) + Z + 从 1
=_二 一——■ 一 坫十
从 i + 2(p— W + Z) 。
— — 二 一 一 U’
即
舡 一 2(P— W + Z+ hz 。 )￡ +
[ i +2(p一 +z)Zmax]一0． (14)
解式(14)得
￡ 一 二 {堕 ，
A 一 (P— W + Z)+ h (Z2 一 i )． (15)
因为
g—S一 二 { ± > ， 一———————————— ——————————一／zmx，
所 以它不是最优解 ，应舍去．最优解为
． (p—W+ Z+hz 。 )一√△
一
一 一 一
’
A 一 (p— W + z)+ h ( 。 一 i )． (16)
最优补到水平为
S一 ￡ E(r)一 沁 ． (17)
当每周期配送中心送货到达时，零售商只需按最优
补到水平补足库存．
5 结 语
本文研究了由一个分销中心与多个零售商组成
的地区分销系统．零售商的需求是随机变量，服从泊
松分布；零售商的补货间隔由分销中心的送货周期
决定，两次送货时间间隔是服从某一分布的随机变
量．零售商可以决定自己的补到水平，但不能准确确
定补货时刻．零售商的所有未满足的需求销售机会
皆丢失；零售商对库存商品需要支付库存持有费用，
对缺货又要承担缺货损失费用．在上述情况下，本文
给出了一般的补到水平优化模型；然后就零售商的
补货间隔为均匀分布情形，经取优求出了使收益期
望值最大化的补到水平控制策略．
设置不同的外部经济环境 ，考虑不 同的库存投
入成本 ，是构建库存模型的基本方法．本 文构建的补
货模型贴近连锁营销的实际，对连锁经营零售商的
补货策略具有较强的参考意义．进一步的研究将涉
及多个配送中心的联合决策 ：选址 问题 、物 品调运 、
配送策略、运输路径优化与成本优化等问题．
(下转第 812页)
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812 控 制 与 决 策 第 22卷
源规划和管理中较为常用．文中提出的多目标混合
整数规划模型，其特征是其基于供水可靠性最大、供
水破坏恢复能力最强以及单一时段破坏深度最小等
目标，同时可考虑城市供水和农业供水的优先权．实
例分析过程以及计算结果表明，运用多目标决策理
论中的协调规划法，通过评价任一目标点与理想点
的欧氏距离，获得多 目标 问题 的最佳权衡解 ，对解决
该类需要考虑供水优先权的干旱期水库运行策略优
化问题较为有效．
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(上接第 807页)
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