第19卷第5期i在筹与管理, 2010年10月OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE 随机多目标规划区间交互过程及其应用丁咏梅1气那东国1(1.武汉大学水资源与水电工稳科学t瞅敛，也实骏2旨，湖北武汉4蜘72;2.武仅科技大学系统科学研究中心，湖北武汉4奴制5)摘要:针对随机多目标规划问题中目标函数含有连续型随机变量的情形，设计…种基于概率有效性意义下的区间交互过程，将概率有效性与多目标问题理想点进行有机结合，有效辅助决策者寻求愿意承受的风险水平，并进行决策，简化了随机多目标优化问题。最后通过实例说明该交互过程的作用。关键词:随机多目标规划;区间交互过程;Parelo布效解中朋份我号:文章标识码:A文章编4号:1佣7唰3221(2010)05-0034-05Interval Interactive Process and its Appl阳tionOf St∞hastic Multiobjωtive program DING Yong-mei , SHAO Dong-guo ( 1. Key Laborα，tory 01 Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China; 2. Research Centre 01 System Science, Wuhan University 01 Scienceαnd Technology, Wuhan 43ω65， China) Abstract: In this paper, 1 bring forward an interval interactive process about the continuous random parameters of stochastic multiobjective programming problems. which is based on the probability of the effectiveness. The process combines the concept of probability efficiency for stochastic problems with the reference point philosophy for determin stic problems, and helps the decision maker to discover the risk he is willing to run. and also sim›plifies the random multiobjective programming problems. Finally, the function of interval interactive algorithm is showed with an example. Key words: stochastic multiobjective program; interval interactive algorithm; Pareto efficient solution. 。引实际问题中，随机多目标问题的求解一般都很难。因为经典数学规划中的两个主要假设条件放宽了:…是规划问题中的…些参数值未知，二是决策者希望多个有冲突的目标同时达到最优。多目标交互式决策是在分析问题过程中，通过与决策者不断对话，使决策者对所面临的问题有更深入的理解，并逐步修正其偏好，做出满意的决策。自上个世纪70年代以来，Goicoecheaet al. ，Slo呐win丽sB哝k副i，Te观点，比如有效性分析、满意解的决策、折中规划方法、交互程序的使用等等分析了随机多目标规划中的确定解。BenAbdelaziz和M件d将随机多目标规划应用于水库的最优释放策略中;Ballestero将其用于农场的管理。这些文献有一个共同的特点，即如果将模型变为随机的，则从组济和技术的角度上来说，问题的解就有了很大的政静。Teghemet al.和Urliand Nadeau相继分析了不完全倍息下的目际函数中的随机参数是离散的情形下的求解问题，分别提出了STRANGE和PROMISE/scenarios算法。本文对随机多自栋规收摘自期:2佣9-06-23.金项目:阂拿自然科学基金资助项目(50679068);湖北省自然科学基会计划熏火资金资助项目(2∞7ABDO(7)f节省简介:γ咏梅(1978寸，会，式汉人，讲师，武汉火学在俄博士研究生，帝业d民统工程.主姿从事ß阁将风险方面的研究;部东鸥(1964-) .舅，湖南人.停-:1:-$+师..i.要从事革统工程以及水资源均水J(::咙等方面白的研究。췲랽쫽뻝뗚㈰퓋돯폫맜샭佐剅䅎嘰佣쯦뚡짛⠱햪쟸뷸맘훐컄䥮偲䅰潦却䵵偮䑉奯䑯䱡坡卣啮㐳䍨䍥卹慮呥䅢瑨灡扲楮灲慢捯牡獴浵楳扡潮敦景灯灨桥瑯摩牵慬獩灬晵獨睩數獯ヒ쪵튻닟헽ퟔ整愱맛뚨뗄뷢乡쫽쫕믹ퟷ䵁千剥景瑨灲敦獴睩摥物桥楳䭥慮䅢䕒卅?潣牡潧湣洭룥ㆣ璣ꎮ탐볼헂乇湧扯瑥慮楥楶〰楮湴獴捨楳灥潵湤潢獥浢晩牥楬汰摥浡獣溣獯楦杯潷瑨慭睯汵뷰헟㤶튪볤춼桩汴乁䥅ㄹ瑥潣楴?볊쫇웤짏뗣뷢맜뻍灬獯䡹䕮牷潢晥瑨獫汬䅔䅒펽뚫汴牡敳楮浥数?죕긱긲커뻶듊뇪뇠?ꆤꆪ牡湣敲㜲憣牥敭湯犣牶潭桡汥楮慢捩晥潳步潶걡楥湤瑩物敤灬牤摥쿮볲㐭䝅乃쓪ꎺ붻럖潢楯뫍䥏䍈畲摲杩慲捴?畯瑥浭慢桡汥牭楮웚뻭믺牶牡敳䭥㘵컊맦퓚욫룶ꆣ샭폐慵샫䑧䵅?㦣〱몺닟ꎺ쪶뫅楣桡浥杵瑯斣獩ꎬ묲汯捴걉慬獴浳敳楬敮牥潰敲湤潭潮瑨玣涣쒿뷩⦣乓쎷맺楯楶畳牳楮污ꎺ헫뮥샠捥潰湥?橥楬獴浳扪敮啲乔뗚걎?듳ꎬ쯦싫ꎺ慬捴榣特걗瑹ꎮ杹楣楴捹湣桹潮멳뭩楶涣쳢뮮럖뫃쫀卬뇈䉥ꆣ쇋쿠즢껄㈰慴獴?潷敲楴敮楣楳퓂뛔맽뫅捴敥穩汩澣ㆡ?톧볲믺ꎺ扪걓畨ꎬ剥䥮睨慮䙩瑯湴뭐〹맺뚡킣㗆뛠楶䍨훐컊컶볍潷죧헢뫜볌뗄敲楮?敳瑩쯦돌ꎺ楶ⴰ긵쮮뮯뛠?〷楯楣䡁慮坵獥湡捨敲慲窺볒펽겺玣?꼲散楮쳢컊ퟶ㜰폐킩듳럖쟩㘭믺ꎬ쇋쒿〲ꎮ?桡慲癥汬慳癡整ퟔ쎷ﻄ쵍?깔㈳쒿풴쯦뇪㌲?捨愩禣瑩훐쳢돶쓪獫킧컄뗄컶탎좻⠱쿈뛠붫㈱ꎬ瑩桥敪폫믺맦㈱건?뿆㤷쮣쒿룅ꎮ뗄맽싺듺榣탔쿗룄쇋쿂쮮뛠뮮⠲癥桥物톧㠭꺲싊?뇪뛠튻돌틢틔걔럖폐짆늻뗄뗧쒿ꎻ〱믹⦣꧊붫맦폐릤뇪쟸〱쒿킩훐뗄살敧컶튻ꆣ췪쟳뷰곅뿉쯦뮮킧돌폅볤〵꺣蝹맦뇪닎ꎬ뻶桥ꆢ룶呥좫뷢뿆컊탔뮯붻ꎮ믺훺곎볊쫽춨닟䝯涣싺릲杨탅톧컊뮥〰쿮ꚣ쳢폫뛠뮮맺쳢맽㌴횵ꆣ楣걓틢춬敭쾢쒿뫈곖훐뛠쒿볒ꆣ돌ꎮ⠵쮣뗄캴폫潥瑡뷢쿂ꎬ쒿훘ퟮꎻ〵뇪〶경ꪴ쟸뇪쟳횪뻶捨湣뗄쳘럖뗣뫳偡㜹닊폊맦몯컊쪵춨牥뷢ꎬ닟敡疣뻶뗣쒿뇰〶ꚣ싏뮮퇩쫽쳢맽瑯㠩곎뗍볤튻뛾헟깍닟ꎬ뇪쳡쫒쪵폐펦ꎻ뎹몬샭냣쫇늻楮ꆢ벴몯돶ꎬ샽킧뫾몴꒳폐쿫폃붻뫾쮵뷢뚼뻶뛏慳헛죧쫽쇋놱쳒솬뗣폚놱쏷쪡풼뫜닟뛔楡훐맻協탸뷸커룃쮮ퟔ?냋뮥쓑헟뮰溵맦붫뗄剁탍탐몺붻좻솲껗뿢㐳쯦폐뮥ꆣ쾣ꎬ좵뮮쒣乇뿆꧊쫔뗄〰맽톧뿑듓믺맽틲췻쪹쓖랽탍䖺㜲돌ퟮ믹킾뇤뷡캪뛠뻶램닎쵐ꎻ뗄뷰뿉꺻폅솿뫏돌㊣ퟷ뺭룶닟ꆢ캪剏볆画랾뗄ꎬ쫍껎폃뮮곗뎵뗤폐헟킣붻쯦䵉쟩폐ꆣ럅훘꣒좷벰쫽돥뛔곓뮥믺卅몿탎킧듳떣뷃닟욼톧춻쯹쎲돌뗄ꎯ뫏ꎬ뢨싔벴좫뗍쓑웤짨훺맦뗄쏦믍탲ꎬ獣훐퓰뎹킾볆뻶뮮쒿쇙겵뗄퓲敮훺꒳뾡ꎻ튻닟펦뗍훐뇪뗄?쪹듓慲쿮첣䉡훖헟뎿쒿껖뗄춬컊폃뺭楯웑믹톰汬⠲폃솽쪱쳢뗈볃珋ꟑ〰ꪴ폚쟳敳킾룶듯폐뗈뫍㝁폊룅풸瑥뿖䉄슶훷떽룼럖벼ꢡ싊틢탐牯〰폐돐튪ퟮ짮컶쫵ꎱ쒣㜩뾱붫킧쫜겺볙폅죫쇋뗄뻎웤ﺱ탔뗄짨ꆣ쯦뷇쒶뇎폃햷틢럧쳵뛠샭믺뛈퓋뷃틥쿕폚먴볾쒿뷢뛠짏쿂쮮얩㌰쓑럅뇪ꎬ쒿살襁뗄욽〶뎡킾뿭붻늢뇪쮵ꎬ㔩뾣늢쇋뮥훰맦ꎬ뾱믉?ꎺ쪽늽뮮컊ꮹ뻶탞훐쳢??뗄좷
第5期丁咏梅，等:随机多自林规划区间交:ff..过程及其应用35 划中目惊函数所含的参数为连搜型随机变壤的情况进行分析，提出一种新的解决这类问题的交互式过程，并举例说明其作用。1 随机多目标规划考虑如下的随机多目标规划问题[IJ，，.‘、、.... -a''mrtjIz)zU(耳，c(w)) J;仰，c(w))，…，人(x，c(ω)) 对此模型作如下约定:(i)x=(叭，句，…，x.)e R"是决策变髓，c(w)是定义在概率空间(R",F ，P)上的连续随机变簸，这里，R侃为n维Enc1id空间，F为Enclid空间中的σ域，P为定义在(O，F)上的概率测度。设随机变囊的分布律已知，并假定概率测度P相对决策变最叭，句，…，凡是强立的;( ii)函数ft(x,c( w)) ，J;(耳，c(w))，…，f"，(x，c(ω)是(R'"，F)上的实可测连辑踊数;( iii)可行集XCR"是非空紧集，xeX是确定性约束。以下讨论中，用九(x)表示问题(1)中第k个目标函数的期盟值，叫(x)表示其标准差，并假定VxeX，标准差叫(x)是有限的。定义1[2] 称ieX是问题(1)的期望值有数解，若￡是问题m厅(λ(X), ,1M(x) )的Pareto有效解。记8为问题(1)的所有期望有效解的集合。EJlË义2(2称S在X是问题(1)在概率水平乱，β2，…，ß，.(β.E(O，l)，i=1，2，m)下的β有敢解，若存在u=u (叭，屿，…，U，.)e R"'使得仰，u)是问睡mff(叭，屿，…，u，.)(2) s. t. p(f~(x，c(ω));:l:!:Uj，);:l:!:βj"k=1，2，…，m 的Pareto有嗷解。问题(1)的所有H有效解组成的集合记为8，，(ß)。β称为满意度。2 随机多目标规划的区间交互过程的实现对于问题(2)，一般地，对于每个目标始走一个向最参考水平1=(]; J;, j,.) ，以及严格正的权震向最μ=(队，的，…，jL，.)，据Wierzbicki['J定义的达到标盘函数(achievementscalarizing function) ,s (J，f(功，μ)黯h户fJ|仇(λ-fk(X))f将原问翩化为已!俨σj(时，μ)，或者等价地，为下丽这样一个规划问题mn" Dα S. t仇.(λ，fk(X))~αk=1，2，"'，m (3) 这个达到幽数按如下方式拓展最大最小距离:如果参考值λ，k= 1 ，2，…，m不能同时达到，则幽数S就是最大最小距陶。另一方面，如果能够达到参考值，则使用函数s就可能改替给定的参考水平，从而获得最优值。下面给出交宜过程的具体实现步骤:OStep 1 给定一个初债(X)，由期理值有效性樵则，解如下问题:mHnn α s. tμk (儿，fk(X))~αk=1，2，"'，m 这盟，万:mrλ(x)，λ(X)为第k个随机目标函数值的期盟，J;，为第k个随机目标函数的实际值，的为权重。Step 2 利用该问题的解，计算第K个自栋函数的90%的置信区|碍，井显示给决策者，我们建立如下的子区问:[队，g\]，…，[b..，g..]，这里，仇，gk满足p(bj，运λ(川，ê)运gj，)=由此，决策者知道每个随o机目标的大概变化范围。于是就希盟提高目标的质簸水平'把辑个大的范闹分成一些子区间，如"兼"中等"，"好"等等。췲랽쫽뻝뗚뚡㌵뮮늢?쯦뾼浡⠱⡩务틑틔뇪뚨돆壊볇퓚幅㢣瀨⠲뗄뛔㴨獣晵ꎮꇱ浩ꎬ玣⠳헢뻍뗃쿂却룸楅좨㋀믺ꆰ뷶ꇜ튻쟤??潉䕄뛔壊깴慬ꎮ?数㗆틥룠ꎮ펽훐뻙싇?⥸냎횪楩쿂ힼ햼ꋲ컥偡灬湣浡깴쫇ퟮ쏦뚨훘ﯓ쒿믺碣椩쟎폚媣룶샯ퟓ듋쟎慲꺡ꆧ?ㆿ㋐碣궣쎷쒿샽죧㴨ꩮꎬ⦿쳖닮ꆣ㶡⣈牥瑩ퟝퟮ폅룸튻쎸뇪뗈뛠갨몯쫌컊楺깭듯쟸쒣?쐱갨ꎬ뇪쮵쿂늢캬짐싛뚢캪뀨힣瑯룘楮潮걻ꆤ듳횵돶룶쏎뗄ꆱ쒿죣쫽쳢떽㵭볤탍ꆰ?뗈몯쏷뗄ꆣ䕮볙킼훐컊湉걃폐㊣⦣쯻⣒ퟮ붻돵쫌듳ꎬ氧뇪⤽ퟷ帨ㄩ⠲몯탶ꎺꎺ쫽웤쯦ꎬ捬뚨꽘⣜쳢ꆣ⣛킧겡걳⣎푚킡뮥횵룅ꆰ甲죧퓚맦⢹쪯뗄⦣쫽컥孢쯦쯹ퟷ믺늢楤룅䍒폃⠱ꆰ뷢궣⡦⣜뻠맽쒽뇤뫃ꎬ쿂룅뮮ꐨꎬ웚곒내⣜ꎮ믺몬폃뛠ꎺ뿕싊ꆰ帨쫇⦵㊣ꆭ⦡ꆣ거믎샫돌뮯ꆱ풼싊쪯挨췻뮰죧뛠뗄ꆣ쒿ꎬ볤닢쫇룪폐쓋겡?컊昨⦡⦣겼랶뗈뚨쮮疡쒿닎뇪ꎬꆭ뛈럇⦱쿞횵陸궣쳢쟸⦣쇺??쿂쇭뻟곓웋枡캧뗈ꎺ욽ꌩ뇪쫽맦ꎬ䛎像뿕뗄탆겡ꌩ⠱겾⦣튻쳥짆ꆣ挨⤩폐볤?랽컞ꍝ슬맦캪뮮죣ꩅ뷴뻎ꆣ?낡ꇝ⦵?거綽欽랽쪵?폚ㄶ톹킧붻겶쪽⣊ꎬꆣ뮮솬컊ꎮ湣풾벯쫌ﯓꌩ랴쓋楥⤽ꯔ䦣쏦쿖ﯖ룶쫇✩⢹뷢뮥퓓췘꼩ꆭꎬ쟸탸쳢⦡汩ꎬ탐ꇊ陸牺귎갲늽뗓쒿뻍⧑붣ꎬ슬맽?햹캪볤탍ꆭ쩒撿?늢ㄩꞽ务欽탂扩쫌ꎬ죧훨탐뇪쾣ꎺ뤨걣죴돌뾸ퟮ뗚孢붻쯦ꎺꆰ햼䕘훐냊ㆣ곓捫ꆭ맻Ꟑ몯췻ꎬ쪯⠱룠뗄듳殸ꆣ뮥믺쫇뿜뗚쒼릵갲탐榡꿎ꎬ쓜퓗쫽쳡ꆭꎬⰰ쫇쪵뾱ퟮ맽뇤뻶킵좷殸꾺쌨ꞽꜱꩭ?릻볔뗄룟ꎬ돌솿挨닟쒶ꎣ⤩뚨컊쾡窣ꆭ쿖榣킡듯㤰枡쒿슬벰뗄뇤ꋓ곊탔뾱?걍틥걕떽경ꎥ뇪?ꎬ쳢뻠醙ꍝꆣ웤쟩솿ꆣ풼⧊?즵뗄틔닎⤩ꆭ涻꣒샫뾱ꎬ⢳펦뿶ꎬ걐몣쫸꿊쟎쒼듯립뾼훃훊ꎬ帨ﬨ뮸ꎺ헢쥅폃뷸䌨캪겡ꆣﶵ쫌꾺떽⦣횵싎탅솿ꆭ룪컥⠰죧꿊샯탐뚨궣쓆?쾼뇪겸ꎬ쫌쟸쮮틔ꎬ⣜맻럖⧊틥겹?쟎솿?퓲볤욽ㄩ⢲挨뾲닎떵抡컶잶퓚붡ﯖ몯ꎬ쪹?ꆣꎬꊣㄬ캿뾼쓆ꎣꎬ꣒⡑ꏊ떣뱲쫽믲폃늢냑椽쳡걣ꎬ잶〩겶ꆭ⣂볋⡡헟횵몯?쿔걧헻ㆣ돶?䘩상ꊡ갩捨뗈쫽쪾룶⡴쫇ꎬ껆컥ﮣꆣ갲튻엂짏ꊵꌨꆣ楥볛厾룸듳璣⢳뻅봷곒싺ꎬ훖쪿뗄쒣?炳癥뗘춿뻶갩?⣊㶻欽퓎ퟣ洩탂햼룅?⦱웎浥ꎬ진닟랶?낣꼩쿂ﵚ沣ꪵ倨뗄싊ꫂ湴캪?헟캧뗄걆⦵ꎬ갲?抡뷢务닢뻆㮝쿂쓉ꎬ럖슬⧉쑐ꆭꎬ룶ꎡ뻶낣뛈쏦울컒돉폐쾵慲帩ꆭ쯦?헢걆ꆣ좡쏇튻킧샠ꎬ짨쓊벲整?퇹ꢵ믺붨킩뷢컊倩쯦튻쒲솢ퟓ떿濓틔液쒿립ꎬ쳢짏믺겲룶캿죧쟸즲탐벰믄뇪澣죴뗄뇤ꊼ맦볋쿂볤ꞽ퇏?몯갶듦붻솬솿?뮮껆ꎬ곐룱곊쫽⦡뮥탸뗄ꡖ컊붣죧?헽놴뗄?쪽쯦럖쳢겴ꆰ꿊뗄쪵ꆣ맽믺늼ꇊ펶닮ﶣ좨붣볊⤽돌뇤싉墣ꆰꆣ솿?훘곔횵ィꎬꎬ쿲긹헢솿꿊틔ꆣ샯룘ﵳ캪평ꎬ듋ꎬ뻶닟헟횪뗀쎿룶쯦
36 运筹与管理2010年第19卷Step 3 对每个目栋函数，决策者选择子区间的某个数来考虑，为简化说明，我们假定这个数为民，整个程序中的目标函数都可以同等考虑。程序运行过程中，决策者可以随时改变子区间的极值点。而且，对于每一个选代点h，我们得到第k个瞄机目惊函数。褒1第k个随机目标函蚊R tt( -n) " 目标k露v;(h) v: (h) 这恩，叫(h)为第r个子区间的上限。设zh为相应的第h步珠代的最忧解，则可计算第h个目标大于戒等于该上限的概事为:β~(h)=p(j，(川，è);;?:v~(h))，决策者由下表数据显斌。褒2第k个目标函数的第h步迭代数据表取倪(value)概率(probability)区间(interval) 概率(probability):<!:u!( h) 注ß:(h)1-β!(h) 运":(h) 法。!(h)法β!(h)[": (h).，，~ (h) 1 ß!(h)翻ß:(h):<!:,,;(h) 2β;(h) f3í(h)‘β，-1 (h) [",-1 (h) ’’’.( h)) ß:(h)咖ß:-1(h):<!:u: (h) 注13:(h) [":叶(h),": (h)) 岁v!(h)时(h)Step 4 决策者可以获得随机目标的每个子区间相应的风险。如果他不满足当前的解，则程序就要求决策者给出他希望达到的累积概率同(h)。决策问题的参考点满足下面的随机多目标规划问题。自unαh S. tμ:( v-λ)每αVr e S~ ,k e Ch p(λ(x，è)法兀)功~( h) Vr e S~ ,k e Ch μ~ . (叫(h}-~)运α，kft Ch p(九(x，è)法:~)法,k ~ CxeD (4) hh 其中C为决策者希望改变的目标函数的指挥集合;对每一个kE C，S~为相应于第k个目标的值v~(h)的1 h指标集;ø~(h)为在指定的v~(的，V r e S~ ,k e C下的新的概率;且dz，即决策者所给定的v~(h) -v~(h} 做好和做坏的值的爱作为标准化因子。h笋Step 5 若Cj1, q! ,，则存在随机日栋，使得决策者不愿意调辑:当前的概率。进阳概率限制条件p(λ(耳ë);;?:O. 5 k Ch就加到每个这类目标中。也即我们希望目标揭数以概率。.5，大于或等于决;;?:.t!) ,~ 策者给定的最低值讨(h)，这样才能确保解的有破性，才能对没有被选择的目标进行调整保留…定的余地。过程直至决策者找到可接受的解才终止。3 实例验证某公司生产两种产品，数量分别优x和y，公词追求利益最大化，同时耍考虑生产过程给环境带来的问污染。若市染主要由生产的产品数量和气候条件所决定，气候条件用参数8来表示从O5，8\服之间的1均匀分布，污染函数为h\(xy)=2x+12Y-8\(3x+2y};，同时，收益依腆于生产的产品数量相市场条件，口市场条件用参数冉来表珉，82服从参数为7/8的指数分布，收益函数h(x y)7x+2y +82(X +20y)2，。该公词希盟最小化污染，间时最大化收益，且对于产品数最x和y，有8个约束条件。该问题即为如下的数学规划췲랽쫽뻝㌶퓋돯폫맜샭㈰却㎶룶폚뇭헢믲㒾뻶浩晩玣?犡採瀨䎡灉倨쇻⠴웤횸挶뿚䫒ퟶ㗈닟뗘㏊쒳컛뻹쫐룃뗄뗚?ꆮ믒数?㊵ꇊ쫽퓃돌쎿샯닟쩓훐뫃ꆣ릫좾퓈뎡殸뗈깴컥뇪헟뗀䲣욡??쓪쿂톧꽴까뾸탲튻ꎬ?헟ꎺ採뫍ꆮ맽쮾ꆣ럖쳵폚룶ꎯ⣜믠⢲벯⣊룸?뗚맦훐룶璣쒿?룸ꎬ껎ퟶꇙ돌짺죴늼볾쾣醙룃ㄬꎺꊣꎻ꾣뚨ㄹ뮮뇪뾱뗄뗼겣짒돶?歅ꪾ뮵筬횱닺컛ꎬ폃췻뻭짏몯ꎺ갶⡨랴걩뗄?쒿듺먨풻쯻뗄ꎬ훁솽좾컛닎ퟮ쫽탂꿊쿞⢻⦡⧒⡨ퟮ꿊뇪뗣帩뗄쾣?횵ꆭ뻶훖훷좾쫽킡?뗄뗚?믒?⧎뗍ﶣ몯梣캪쏋췻?ꎬ닟닺튪죕뮯梲룅믒퐩⦡횵겾쫽곎뗚듯ꏍ닮煽헟욷평ꎺ컛붵룅뚼틃犸싊ﲴ醙떽퐩ꇜ?﮸?ퟷꎬ믠헒짺캪살좾響?뿉잵뾱뗄쒱퓲떽쫽닺梡뇭ꎬ캪ꇜꇝ憣ꎮ뢶ꎺﶾ싊?틔쎵폇샛뇪듦뿉솿뗄ꌨ쪾춬ꎺ??炣걫㖣ꢵ⡨ꇔ춬붵?쓃믽쓄ힼ퓚뷓럖닺룪ꎬ쪱ꎻꎯ먨쫛걫쒻⦣뗈?뾸룅뾱뮯쯦쫜뇰욷ꎬ㢣ퟮ㌱栩䎡곕폇뾼룶쓉싊쟒틲믺뗄캻쫽天몷듳⡞?採먨䎡싇쯦쿏폇랴꿊ퟓ쒿뷢確솿㴲ﺴ뮯⤽?栩炣꺾零ꆣ믺?⡨ﶵ뇪닅쵙뫍砫펲쫕瀨ꎬ춼엄쓄돌쒿ꏉ⦡쓖훕웸ㄲ컊틦먽뎸탲뇪娨ꎾ뢱?쪹펵?횹릫뫲禡ꎬ퓋몯꾡ꚵ뗃ꆣ쮾쳵ꩧ쟒?뷃랱냙ﷀ탐쫽껎쒷?꾺뻶ힷ볾ꆣꎯ뛔ꆮ뾸ꎽ뒿맽ꆣ쫌쾣췲닟쟳쯹⠳㢵폚ꎬ볂돌햡뮶헟샻뻶砫쓖닺㘩쓓忈잣훐ꚵꏈ쒲퓃늻틦뚨㉹룊욷ꇝ탐곎ꎬ쒵캿뿒풸ퟮ⦣ﶷ쫽ﷁ䚣뾱Ꟑꪼ뻶?벵뮸틢듳웸믍횲솿먨풣닟늽﮲뗷뮯뫲곊벣確쯘꿋헟뗼캣믂𧻓ꇊ헻킡겲ꎬ쳵놣곊쵙뗃뿉듺𧻓䎡ꪣ떱춬볾곊헒ꎬ⤩ꏒ엄틔뗄싃꺣잰쪱폃헒폐ꎬ늼?겼곎쯦ퟮ뇇걳뗄튪닎꿊㢸뻶듎퓃틃쪱폅낵쓋ꎺ룅뾼쫽샀ﵨ닟뒾틃믓잼룄뷢쒽캪싊싇햼뗓ꎺ볊헟쟏킱?뇤ꎬ襁쿠ꆣ짺?⣷평ꏍ믑꣕ퟓ퓲곔펦뷸닺살者?쿂ꇔ쟸뿉뾱폚?뛸맽뇭蝹걙ﺡ볤볆뇭쳐뗚룅뾱돌쪾쒲⤽ꎸ?뗄쯣殸싊룸ꎬ陼㝸쏎쫽쓄꩒벫뗚췒껎쿞뮷㢣럊⬲쫌뻝꿊뾱隸ꎬ횵梸쫌뾱훆뺳꺷ﷁ쿔헻뗣?쳵듸ﺴ뾺ꎬ듎쪾풸ꆣ뾱?쓖볾살팰췊⬸ꆣ엂킵뛸땶ꢵ뗄ꆪ킳ꎺ쨰쟒椨㗖ꇌ⣜?ꎮﮱꎬ?栩꺼뛔뗄㖴ꏁﺡ㈰?礩ꆣ?뮶ꢵ죓쓓???
第5期丁咏梅，等:随机多目标规划l互间交:5..过程及其应用37 max (h 1 ( x , Y) 骂自2x…12Y+&1(3x+2y)，h(耳，y)=7x+2Y+&2(X+20y)) 2s. t. 4x +3y~26，x +2y~9，2x -5y运9，7x-4yE:72 , x +3yE:46,x +4p运57，-x +y运3，-5x +6yE:26 这里'&1'&2为随机变囊，且&1耐帆5)'&2崎咛)利用Kataoka准则，上述双目标问题的最优解，依赖于下表给定的概率，班4始出了期望值问题的最优解。褒3给定概率下目标函数的最优解敏值表目标I绩优解h, (x,y) 给)Ë概率下目标的取值ßIð.闷z y 。 -26 +238, [0,] ...89 2如...31. 5 ...知-26-ω+428， 12 法IS0如如4S...咱知-60[,] -152 +6881 16 10 杀188...103 杀182挚町67... -152 [,1] 目标2绩优解h(篇，y)给)È概惑下目标的取值z x y 。 B’32•E5VU1 l--[0,] 16 10 132 +2168: 如... 第...203 弟弟[,] 13 12 115 +23582 2挚...1351. 8 2挺知 82 + 26882 13 ... ... ... ... [,1 ] 褒4期累值下的Ø:忧解期~值簸优解最大期综僚x y ~I =-7y 12 3 4S ~. + 1~4 12 13 2 =γx+γY 首先求出每个目标函数的期望值，并以此作为参考水平，给定权重11125和5月51，得到初始解O X= (X~ ，X~) = (,) 每个目标有如下的置倍区间Op( 理，.h.(x)E:)= Op( 101. 0828理，.h(x)理，.634. 6205) = O. 95 2由以上信息，决策者将95%的置信区间分为"盏"、"中"、"好"二三个等长度的区间，并计算这些子区间相应的概事。褒5三个子区问及其相应概率敏据亵目标l目标2阪问概且但J2{问概率袭S旺销 "’; 中[愉1J. 0807 ,65. 4314] [278. 9287,] 知 好... 从上表盯着出，目标2的值比较楚，即收益较低，假设决策者希望提高收益，问时适当弱化目栋1，设定如下的概串:回栋1p(hl(x，y)去世) ~O. 5 目标2p(h(x，y)注)法且p(h(x ，y)注)注 22 췲랽쫽뻝뗚㌷ꆪ浡玣쇻헢?샻폅뇭쒿튻忒슬ퟮ룸짆孏ㄲ嬰侣ꇝィꆣꎮꎺꎬ㐵ㄳ㐰쫗?쎿值倨평쿠쟸룅닮ꇪ寒嬲뫃듓뚨瀨뮡?ꇝㄳ㠲ꇜ侣㖣쒿倨뚡?㈶ㄵꇝ긵㌱긷ィㄹㄱ㈹ꎬ㒣기뇪㘰ㄸꎺ볤긳깴⬳㎸쟸폅뚨ꎬꎮꇝ㐵㊣ィ⬲ㄴ㓆웚듳㗈싊튻묱㈷㜸긲긴ꎯ뷢㗆砨폃⬲㈫㠹ㄵ侣ꎮ?튻긲㊣㔰㒣ㄷ㠲긱쿈룶틔펦ㄶㄲ긳㠴짏죧栲ꆱ뇪?⬴ㄸꇝ긷튻긵ㄶㄳㄴ㘸㤲ꎺꆣㄱ㐱㢣〲㌱㸴栱샯펽ꎮ礴볤뷢룅ィ㌶㜰㌴㍥㘸?긲ꇝ㞣㘷ꎻ㈰긳㚣?췻웚ﶸㆣ㐱ꆪꆣ?㘰㤷㈶ㄵ㈫㔸ꇝ猲ꎮ긹㔶㋂ꎺ?桴䭡긵㐷ꇝㄳㄲㄱ긶긱쟳쒿㠷ㆣ짏뗄뇭쿂⣜⣷㑸㐶ꢸ桩싊긳ꎬ㢣ꎮ桺?㈱ㄳ㐸嬰ﯖ횵췻㴨〸기㈸㤲쎷?㒣㌰㔫ㄳꎮꆪ㈵?㚡㞣㸭〷㜷⡺⬳ꎬ瑡엂⢣쿂㚡ィ긱㑝긲㎣㈳㔱ꆤ뗏횵돶뇪ꎮ기탅룅폇㠰㠷뿉뗄?㶶ꆪꍺ긳㸳㐶?ꎬ긱㕥ꎮ秒?쫏겣쒿?긷ꆿ길ꎬ〱㠵습㞣걹ꎬ潫✲?쎿폐㔹㠲쾢싊뾴룅햼ꆪꎮ뗈묾⬴싄깹뇪〸㔴ꎬ㒡쓗ꎺ갶㐵?⦡ꆪ⦣懗룶죧㢡ꆣ돶싊⧒㈶礼뾱?뗄ꎬꑉ냆㖣㚣ꎺꆣꆪꎬ?갩ꎬ?볔좡?얽쒿쿂ꇜ?뻶긴긷ꎺ묾ꇶ쯦ꆪ묱쪯㔷꿊횵??㌱㜴ꎬ㷒뇪뗄䩪ꎺ닟쒿㈸ㆣ믺⬲ꎬﶵꆪꚸ㒡㙝ꎺ묲곉몯훃䦡⣜헟뇪㎣ꆪ秒튻猲쓗엂?기뛠ꇶ徣ꆪ碡묾?쿊쫽⤽탅ꌨ붫쫊㊵긴㠰쒿캪ꆪ㦣⭙얽ﶾꨱ몡뗄쟸립⦡㤵쓖㜩⠱뇪갲ꇜ?㵟ꇝ㉹쯦ꯄ웚볤漩?ꎥ떱?磒㎡ꪡ㊣?ꇱꆪ맦ィ⬸묵ꏒ뾱떱췻ꇜ㌴뗄좽ꎮ믺ꆪ긲뮮긵禡묵?ꆪ氨횵ㄴꎮ훃쾲㏇쟸?룪㘹뇤ꆪ㏊쫌ㆣ㘲탅퉊ꎬ⬶볤ꆪ㊣꼫㝸禡ꪡ늢긹〵쟸겼瀨솿ꆪ붻튻?갵㉹쓗틔㐳⤽볤듊帲ꆪꪡ뮥㑹?ꎬꎮ⦣ꆪ듋㐩ィ럖헒⣷ꇜ맽ꪡꆪ쟒걨㜲얽ퟷ㜵㴰긹캪?돌ꎮꪡꆪ㈨캪?ꆰ쾵겣㜹?벰ꆪ룪곒ꪡꆪ닎㤵닮춣겣?웤ꆣꆪꎬ샀뾼ꆱ겼갩ꆪꪡ펦天튻뗓ꆪ쮮ꆢ?ꎬ폃ꪡꆪ㴷?욽ꆰ㸴用ꆪꪡ砫슱ꎬ훐㘳ꆪ澣㉹ꪡꆪ룸ꆱ?ꎮꆪ⯕뚨ꆢ?㘩갵ꪡ밲ꢵ좨ꆰꏍꇝ⦣ꪡꆪ⣜쒸훘뫃ィꪡꆪ갸엂ㆣꆱ긱ꆪ㈰쪣ꪡ御꼱죽??ꎺꆪꆪ礩겱㈵룶헒ꪡꎮꆪ?뫍뗈ꆪꪡ䔨룸ꆪ㖣뎤곍ꪡ돶꼹뛈곊ꆪꇂ쇋ꪡ㔱뗄ꆪ뇊ꆪ?웚ꎬ쟸쪵ꪡꆪ췻뗃볤뇈ꆪꪡ횵떽ꎬꆪꪡꆪ컊돵늢꿄ꆪ쳢ꪡ쪼볆뾱ꆪ뗄뷢쯣ꆪꪡퟮ헢ꎬꆪꪡ킩짨ꪡꆪퟓꆪꪡ쟸ꆪ볤ꪡꆪꆪꪡꆪꆪꪡꆪꪡꆪꆪꪡꆪꪡꆪꆪꪡꪡꆪꪡꆪꆪꪡꆪꆪꪡꆪꪡꆪꪡꆪꆪ튻ꪡꆪꆪꪡⶡꆪꪡꆪ튻ꪡꆪ튻믒ꆪ?ꆪꆪꆪꆪꆪ튻ꆣꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪ튻ꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪꆪ튻ꆪ튻ꆪꆪꆪꆪꆪ튻튻
9卷38 运筹与管理2010年第1其次，由上述假以及Step4，求解原规划问题，得最优解x.= (x: ，x~) = (7. 747,) 这个解使得目标1的结果变整了，即增大了生产污染，但公司的收益提高了。现假定决策者希盟提高目标l的水平，即尽可能减小市染，即对目标1作如下设置p(h.(x.，均)渎。);注若决策者希望保持目前的收益不降，继续对上述问题选代求解，得当前最优解为。2 x= (x~ ，x~) = (,) 这个解明显改善了自栋1，生产带来的污染减小了，间时公司的收益也得到了改静，阳且通过分析，在保证目标2的水平下，目标1基本达到最优，假设决策者对当前的目标值感到满意，选代终止，交互过程结束。4 结语随机因栋的数学规划问翻是非常复杂的问题，其求解的过程要求决策者理解目标的随机性，帮助决策者在目标达到的水平、每个决策所伴随而来的风险、以及每个随机目惊函数的不间水早下的概率间进行取舍。本文所提出的区间交互式过程便于帮助决策者发现概率有效解，从而使决策者找到更适合自己的偏好。在这个程序中，决策者必须理解:(i)即使得到了一个确定的可行解，目标函数仍然是给定概率分布的随机变量。目标函数的最终结果将依赖于所含的瞄机向量的取值。(ii)在随机问题中，决策者需要在假定的风险和目标函数到达的水平之间做出取舍，服从不问概率分布的有嗷解之间的权衡选择将依赖于决策者愿意承担的风险水平。交互式过程简化了随机环境下的复杂的决策过棋。参考文献:[ 1] Maria M Muæoz, Francisco Ruiz. ISTMO: an interval reference point-based method for stochastic multiobjective programming problems[JJ. European Joumal of Operational Research, 2009, (197): 25-35. [2] Caballearo R, Cerd E.览fficientsolution concepts and their relations on stochastic multiobjective programming[ J]. Joumal of optimization theory and applications, 2001, 110( 1) : 53-74. [3] Bruno Urli, Raymond Nadeau. P民OMIS底Iscenarios:an interaclive method for multiobjective slochastic linear programming under partial uncertainty[J]. European Joumal of Operalional Research, 2004, (155): 361-372. [ 4 ] Enrique Ballestero. Stochastic goal programming: a mean-variance approach [ J]. European Joumal of Operational Research, 2001, (131): 476-481. [5] Wierzbicki A P. The use of reference objectives in multiobjective optim zation[J] . In: Fandel, G. , gal, T. (Eds.), Multiple criteria decision唰makingtheory and application, Lecture Notes in Economics and Mathematical systems, Springer嗣Verlag，Hei唰delberg: 468-486. [6] Francisco Ruiz, Mariano Luque. An additive achievement scalarizing function. for multiobjeClive programm ng problems [J] . 就uropeanJournal of Operational Research, 2008, (188): 683-694. (7] Ca由Oliveira，Carlos Henggeler Antunes. Multiple objective linear programming models with interval coefficients -an 1lus-trated overview[ J]. European Joumal of Operational Research, 2007, (181) 1434-1463. [8] Mariano L叫ue，Kaisa Mieuinen. Incorporating preference information in inleraclive reference poinl melhods for multiobjeclive optimization[J]. The international joumal of managemenl science, 2009, (37): 450-462. [9]许识平，李军，…类随机多目标工次线性规划模型的变革式算法[J].系统科学与数学，2001, ( 1 ) :96翩106.췲랽쫽뻝㌸퓋돯폫맜샭㈰웤헢쒿倨죴쪯놣뷡㒽쯦헟짡뫃뚨닟닎嬱?創楮牥浥景浵灲䩯剥嬲劣獯捯慮潮獴潦潰瑨慰嬳啲乡汩畮嬴䉡杯嬵畳潢捲摥乯獹嬶䱵獥晵䕵ꆾ佬䡥浯睩楬潶佰嬸䵩橯浡獣嬹䵵灯獴潦佰䖣瑨灡傣慰楮䕣慤慣䅮瑲?湣湡楺瑥晥瑨?潧畲걃汵牥潣瑩敯汩摥湥汬慬慮楴捩獴汢煵牯楶湧敦敲整景浥桩獥灬〱橥汴楥桬嵍潢嵃嵂捥嵅灲嵗嵆㞡巐晩楮潣敲깅敩牴깔潮䵡摩瑵慴景룶뇪뻶횤쫸믺퓚ꆣ뗄헟뾼数来듎㈽ꎮ牶牥潤牡湡敲瑩污桡浩特ꎬ慵慲?敳ꆪ獩敭斣灥敩来晩玡慴牭瑨牮潢慲瑳楣ꎬ捴汳湡楯浥湣潺璡桡慴晦?楡桥潭瑨瑩敶湥敤⣜慲汥慢牡牵牴湲潡楥浩뽃癩䥓慬湣浭?潮瑩獴穡剡ꎮ捴瑥癡捨楡玣枣䵡깁楺慮捩楯걋湥敮慴潤쓪뷢ㆵ닟쒿ꆣ놾퓚뇤럧풸컄湴ꩢ獴楯楣敭癥玣ꎬ⣜?橥捨慴⠱楶扪斣呍?楮潮楣瑩祭偒楶牯物ꎬꆪ걓먴ꎮ敮湡溣捥楯楡浳慬浭湯慩楱捨牺穡湣慲敷쇆䙲慳楣湡楥?慴敮깍뗚쪹쓋헟쏷뇪컄헢솿쿕틢쿗捴ꎬ楯㌱敳散갲侣?潮位ꎮ枣慮浡灲㘸景䍡瑳獡깉湡평慮敤?湴溣楣畬ꎬ孊汥楮略扩瑩楳污湯붣멡楶㈰湳?䥓却捥⦣歩楮ⴴ牬ꆪ湣瑩〰ㄹ뗃껆쾣쿔㊵뗄듯쯹룶ꆣ뫍돐ꎺ捩걌慬瑩??嶣慲杛䖣禡潣捫潮湧来㠶捯潳慮潲곀짏몣〹ꎬ〴먴〸〷癥㦣獣散灬뻭쒿붣췻룄쓋쫽떽쳡돌떣꽳桡犡ꎮ灯㈩깅ꎬ䩝㈰빊㜶孊갨?瑵쫶곊捥獴꩖牡牥뇪겼놣짆껆톧뗄돶탲⠱〱ⴴ㌷琾畲ꎮ嶣ﲣ湡楣敲瑩횵꾣㤷ꎬ㔵㠱㠸⦣物污湧ㆵ뒾〩돖쇋뷏맦쮮뗄훐몯럧潰䩯깅깉깔껒⦣ㄱ潳ꎮ枣먴틔䤾묩敡畲溣桥므쒽ꆿ쒿슣뮮욽쟸ꎬ쫽쿕ꎺ걈먲〨먳먶먱㔰ィ?湡慮潰멆敩벰진잰㴨뇪계컊ꆢ볤뻶뗄떽쮮㖡䤩㘱㠳㐳ꆪꆣ긶?敡慮ꐳꎺⴳꆪ㐭㐶ﮱ?뗄ㆣ뾱쳢쎿붻닟ퟮ듯욽却?㖣㔳㜲摥㘹ㄴ㊣襁쫕곉쫇룶뮥헟훕뗄ꆣ数ꎮ?ⴷ㒣㘳沣ꇎ틦者믹럇뻶쪽뇘뷡쮮붻㒣?ꎮ걇뾱㒣㈱?쮣?늻華놾뎣닟맽탫맻욽뮥ꎮ곇㢣겼뺣붵듯뢴쯹돌샭붫횮쪽ꎬﺴ갷条컏듔겼ꎬ뒵떽퓓냩뇣뷢틀볤맽ꎮ沣?뒶볌쓎ퟮ뗄쯦폚ꎺ삵ퟶ돌걔풹궹ㄶ퓄탸?폅컊뛸냯⡩폚돶볲ꎮ쯉뾱뛔㤩뺼ꎬ쳢살훺⦼쯹좡뮯⡅껄者짏볙ꎬ뗄뻶듊몬짡쇋껎摳ꏐ龜ퟷ쫶ꇁ짨웤럧닟릵뗄ꎬ쯦ꎮ춵쫌?죧컊쮣뻶쟳쿕헟쎵쯦럾믺⦣쒽걍뮻뺣쿂쳢곍닟뷢ꆢ랢뷁믺듓뮷겵畬ꗊ겵짨뗼곊헟뗄틔쿖쯒쿲늻뺳쏗瑩뷋ꮹ훃듺놹뛔맽벰룅뮸솿춬쿂灬ꯋ쟳떱돌쎿싊뗄룅?ꡛ얽뺵뷢잰튪룶폐랶좡싊뢴䪡쓊ꎬ뗄쟳쯦킧ꢵ횵럖퓓뾣헒뗃쒿뻶믺뷢ꆣ늼뗄껏뗍떱뇪닟쒿ꎬ짐⡩뗄뻶㴨뎿잰늵횵헟뇪듓킽椩폐닟룠웑?ퟮ쎵룐샭몯뛸퓚킧맽ꎺꟓ쮡폅뷁떽뷢쫽쪹계쯦돌ꎬꏏ뷢쮸싺쒿뗄뻶뾱믺횮ꆣ쯣횼캪쓉틢뇪늻닟컊볤ꞣꎺ?ꆣ욣ꎬ뗄춬헟꿊쳢갲〰⤽ꢾ겶뗼쯦쮮헒훐좨ㆣ듺믺욽떽퓈ꎬ뫢⠷갨?틍훕탔쿂룼믊뻶톡ꎮㄩ?ꢹ횹ꎬ뗄쫊잸닟퓱㜴ꎺꏍﶷꎬ냯룅뫏헟붫㤶㞣훎붻훺싊ퟔꢸ탨틀ꆪ갷뮥뻶볤벺엂튪삵ꎮ㚣?곔맽닟뷸뗄쪷퓚폚ㄷ?돌탐욫횲볙뻶㤶좡벵?
