参数估计和假设检验
徐小燕
四川师范大学教育科学学院
总体参数估计：从样本所提供的信息推论总
体的情况
总体参数估计分为：点估计与区间估计
两种不同的估计：参数估计与非参数估计
（以后再讨论这个问题）
一. 点估计、区间估计与标准误
点估计：用样本统计量估计总体参数
•因为样本统计量为某一确定值，估计的结果也是用因为样本统计量为某一确定值，估计的结果也是用
该值表示，所以称为点估计该值表示，所以称为点估计
•用样本平均数用样本平均数XX估计总体平均数估计总体平均数μμ；用样本方差估；用样本方差估
计总体方差计总体方差
区间估计
区间估计：就是根据估计量以一定可靠程
度推断总体参数所在的区间范围
•就是用一段距离表示参数可能落入的范围就是用一段距离表示参数可能落入的范围
•区间估计在点估计的基础上给出一个估计的范区间估计在点估计的基础上给出一个估计的范
围围
置信区间
也称置信间距（CI），指在某一置信度时，
总体参数所在的区域长度
置信区间上下端点称为置信界限
显著性水平
指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的
概率，用符号α表示
１－ α为置信度或置信水平
置信区间是指总体参数落在该区间之内正
确的概率是95%，而出现错误的概率是5％（ α
＝）
置信区间＝显著性水平的置信区间
置信区间＝显著性水平的置信区间
置信区间＝显著性水平的置信区间
总体平均数的估计
估计总体平均数的步骤
１根据实得样本的数据，计算样本的平均数与
标准差
２计算标准误
•定义：样本均数的标准差定义：样本均数的标准差
•公式：总体方差已知公式：总体方差已知
• 总体方差未知 总体方差未知
３根据公式计算出总体平均数可能
所在的区间
二. 取样分布－正态分布
也叫也叫ZZ分布分布
标准正态分布指平均数标准正态分布指平均数μ=0μ=0，，标标准差准差σ=1σ=1的正的正态态分布分布
t 分布
当N足够大时，t分布接近正态分布
F 分布
自由度(df)
自由度指的是当限定一个值后，可以自由变化
的量的个数
例如，如果4个数的和为50，那么这4个中的
3个是可以自由变化的数，但是第4个数却是
绝对受限的.
比如，假如前三个数为 10, 5, 30,则它们的
和为45; 那么第4个数必须为5才能保证这4个
数的和为50. 于是这一组数的自由度为3.
自由度定为N-1,样本的个数减去1。所以前面
那个例子的自由度为49-1=48。
三. 假设检验
某校进行数学统考，成绩服从正态分布。全校平某校进行数学统考，成绩服从正态分布。全校平
均分均分μμ00=55=55，，标标准差准差σσ00=10=10，随机抽取，随机抽取该该校的一校的一
个班（个班（n=49n=49），其平均成），其平均成绩绩X=58,X=58,问该问该班成班成绩绩
与全校平均成与全校平均成绩绩的差异是否的差异是否显显著。著。
解：解：该该班平均成班平均成绩绩5858分高于全校平均分，分高于全校平均分，这这并不并不
能能说说明明该该班的真班的真实实水平比全校平均水平高。因水平比全校平均水平高。因为为
假如再假如再进进行等行等值试值试卷的考卷的考试试，也，也许该许该班的平均成班的平均成
绩绩又比全校的平均分低了。所以从理又比全校的平均分低了。所以从理论论上来上来讲讲，，
一个班数学成一个班数学成绩绩的真的真实实水平水平应该应该是是进进行无数次等行无数次等
值试值试卷的考卷的考试试后，无数次平均成后，无数次平均成绩绩的的总总平均分平均分((μμxx))
，， μμxx与与μμ00哪个高哪个低，需要哪个高哪个低，需要进进行假行假设检验设检验
首先，建立虚无假设首先，建立虚无假设 H H00: : μμx x == μμ00
因此，研究假设因此，研究假设 H H11: : μμx x ≠≠ μμ00
根据虚无假设，该班真实水平与全校平均成绩没有根据虚无假设，该班真实水平与全校平均成绩没有
差异。差异。5858分与分与5555分之差是由于抽样误差或测量的随分之差是由于抽样误差或测量的随
机误差造成的。机误差造成的。
该班成绩的标准分数：该班成绩的标准分数：Z =(X- Z =(X- μμx x )/ )/ SESExx
==(X- (X- μμ0 0 )/ ()/ (σσ00/√n)/√n)
=(58-55)/(10/7) =(58-55)/(10/7)
= =
> > =, =,所以否定虚无假所以否定虚无假设设，接受研究假，接受研究假
设设。即。即该该班平均成班平均成绩绩高于全校平均成高于全校平均成绩绩。。
单侧检验和双侧检验
双侧检验指否定域设置在抽样分布曲线数轴的两个尾部。双侧检验指否定域设置在抽样分布曲线数轴的两个尾部。
•• 此时虚无假设此时虚无假设HH00：：μμx x ==μμ00; ; 研究假研究假设设HH11：： μμx x ≠≠μμ00
•• 由于我由于我们们在做在做检验检验之前没有任何信息之前没有任何信息预预示示μμx x 与与μμ00之之间间可能有什可能有什么么
关关系系关关系系
•• 所以前者可能大于也可能小于后者，否定域在抽所以前者可能大于也可能小于后者，否定域在抽样样分布曲分布曲线线的两的两
端端
如图示，当自由度为如图示，当自由度为1010时，时，t t 在在 a=.05 a=.05时的临界值为时的临界值为±. ±.
单侧检验
如果我们知道这个班是一个重点班，我们有充分的理如果我们知道这个班是一个重点班，我们有充分的理
由相信，这个班的真实水平可能高于全校平均水平，由相信，这个班的真实水平可能高于全校平均水平，
这样我们就需要检验该班平均分是否真正高于全校平这样我们就需要检验该班平均分是否真正高于全校平
均分。均分。
于是，虚无假设于是，虚无假设HH00::μμx x ==μμ00; ; 研究假研究假设设HH11::μμx x >>μμ00
这时这时，我，我们们考察考察样样本平均数出本平均数出现现的小概率区域就只在的小概率区域就只在
抽抽样样分布曲分布曲线线数数轴轴的右的右侧侧尾部端，如尾部端，如图图示示, , 当当α=α= .05 .05
，自由度为，自由度为10, t10, t的临界值为的临界值为 +. +.
