关于保险竞争模型的破产概率研究五增富，牛易事、影(燕山大学理学院，河北秦最岛侃6∞4)摘要:文章利用条件且由ng分布的双参数加法定缆，对盈余过程服从Erlang分布的两个保险公司在保险竞争中，一个即将破产时另一个的破产概率进行了研究，并导出了其破产概率的一个表达式。关键诩:Erlang分布;加法定理;条件概率;保险模型;破产概率中阁分类号:文献标识码:A文章编4号:lω2-6487(2佣8)19-0019-02 保险业的迅速发展已触及到社会的每个角帮和每一个公民，随辛苦风险论的研究，保阶数学也称为精算数学(actuari喃2 础产概郁的计算al mathematics)应运而生，其中破产理论(ruintheory)是风险论(risktheory)的核心内容，在破产现论中破产概率的计算设X和Y分别服从参数λ和件的指数分布，则独立和是一个重要的研究课踵，目前仍是一个热点(1)。在现有的文献X(m)=X+…+凡，=Y，+…+Y分别服从参数(m.À)和(k，fJ.)的1k中均为在纯典破产论的暴础上，对一个保险公司在不同的条Erlang分布，其中{X，j>I)和(Y，j>lj分别与X和Y同分布。则jj件下利用不间的破产模组进行破产概率的估算Il~η。但是，随XI叫与Y胸有密度函数、自着保险公司的增多，保险市场的竞争日越激烈，保险公司的f(X)=-i__^叮叮耻叭g(x)=…ι…xk-'e咽'，x;<!:O(山叩(k-l)! 破产(也称退出)在所难免，一个公司的退出势必对另一个保引玻1若X与Y独立，对γ削和k剖，在X问yø.><x仲1)险公司产生影响，本文将利用条件Erla吨分布的双参数加法条件下，Y(li)的条件分布是参数(γ忧，γ+μ)的Erlang分布。有条定理阴，对两个保险公司在保险竞争中，一个即将破产时另一件概率密度个的破产概率进行估算研究。tg(XIX("Ò<Y(kl<Xz血士~}丁?…直响~-'e-("'I*l'l>，x>O叫(γ+k-I)! ’ 保险竟争栅盟我们称此结果为条件Erlang分布的双参数加法定理(8)0下阁将对两个保阶公司在保除竞争中，…个保险公司即定程1设保险公司甲的风险过程为:R，(t)叫什阶艺将破产时，另→个保险公司的破产概率进行估算研究。丸，它服从参数为(口，À)的Erlang分布;保险公词乙的风险过程设u>OJ是保险公司的初始就余川是保险公司单忱时间收取的保险费(常数);(t;，i法1)表示第i个跳跃点时刻，为:凡(阳2叫←立乱，它服从参数为(m，fJ.)的E巾ng分布，且显然0=与，<tl<t<t)<…q时刻发生的索赔额为X相互独立2i且服从同…参敬的指数分布，Ti=tj-Ii_hi注1表示索赔时间两个保附告司的运营是相互独立的。则保险公司乙在保险公问闸，N(t)表示~Jt时刻共计发生的索赔次数。则风险过稳司甲破产的条件下其发生破产的概率为11+1 (..，.萨)0定义如下:pl阳t民01LXk<LYk<LX[=1-二上一l产le"'dvk ，，1) ln21HW'k~^k'\7: lk"k7:^k J-'--(o+加1)!~ E飞R(t)=u+ct-L X; 证明P(R件。斟〈24叫设保险公司甲的风险过程为尚:凡R，(阳l什向+阶C忖l叫l$ 参数为(仙n，À刘)的Erla咱ng分布;保险公词乙的风险过程为:凡Ritω)抖=P(主Y川l主Xk<主哈Xk}u内，t-五三z叶，它服从参数为(仙mμ川，μ叫)的E灿g分布，且两个保险公叫去YMdxdykd1比例》44叫司的运营是相互独立的。帮R刷圳例(阳t附))首先计算概率恪哈哈叫:公司破产o但此时保除公司不…定真正意义上的破产，可能因为LX服从参数为k(n，>..)的E巾吨分布，立X服从k通过融资、增加储备金、借贷等手段使公司继续运转。下而我们将讨论在这样的条件下公司破产的概率，亦即求概率参数为(n+l.>")的Erlang分布，LYk服从参数为(m.间的Er巾纸t咱咕咕叫lang分布。则蓦金项目:阂家自然科学基合资助项目(70431003)统计与决策2008年第19期(总第271期)19 맘?췲랽쫽뻝췵⣑햪쮾훐ㆣ컄놣릫慬浡瑨싛쫇볾ퟅ웆쿕뚨룶ㆱ쿂붫짨볤쿔쟒뷅刨椽닎튵甲榣檣춨쏇傾ꆢ欽ꆣ믹㋆塯䕲墢木틽죴쳵컒폄墣캪솽ꎬ?渫偻횤㵐쫗틲죽污춳?ꆫ欽?ꆿ?뭬欽?긶볆춼헂敯⡲릫틥?튪퓚볼쿗쿕쏱瑨튻뻹쿂놣닺샭뗄쏦웆甾쫕좻럾룴쫽쮾맽붫뷰墺ꎥ污볾룅쏇뮣룶볗湧ꎺ퓶⭣ꏏ琩욲ⶡ캪폫曱럖뇠特楳쮾죧쥴?쏷管쿈붴ꎺ놣듊뇪튵ꎮ敭룶캪샻쿕⣒孧웆붫닺ナ좡〽듓ꎬ죚쳖쿮쵙塬湧쿂싊돆곋뻶㇉刲ㆸ뢻샠뫅⧊?닺쿂쿕㉴퓋壓캪폚햾彵視궡ꇆ닟컄쿕ꎺ쪶뗄쯦慴⦵훘퓚폃릫늳没닺뛔쪱잱瑯춬丨溣싛쒿럖⮡ꇞꎬ쏜듋ﲷ늼륙뫅ꎺ잷짺⤼砩硉⡴偻왙볆㈰ꎬ릫ⷒ펪⡮Ꟁ헂뺺䕦싫톸ퟅ楣쒺튪뺭늻쮾웍ꎶ룅솽ꏏ놣㱴튻琩곈ꆣꆢ퓚뇰괫늼폐妡뛈뷡ﺴ뗄ꎺ펰뫕⭣엂궣墡〸ꏏ⦣勖炡?샻헹污ꎺ쯙럧猩쯐뗄뗤춬쭈퓁싊룶쇭햹쿕ㄼ닎뇭떫퓶헢맺럾墡ꎬ쏜?맻펲쳵퓲쓪얣〲?쿬쮾햡쫇ぉ劣款쯣⬱놣龍瓒쪵햹멵겡ꎷ뗚폃훐湧?ꆪ랢쿕펦쓄퇐웆뗄퓶笩ꎮ붸뷸놣튻ꯋ럑琲쫽쪾듋볓퇹볒듓ꎣ웤뛈쓌캪컊볾ꏋ퇠볗ꎣ쿠ꎬㄹ㘴놾ꇆ㶾磟ꯋꎺ먨唲룅몣쳵ꆣ럖햹싛퓋?뺿닺웆뛠퓚탐쿕룶뺵⢳㱴뗄떽䕲쪱뒢ퟔ닎걹훐몯쿂ꏐ뮡쒼꽩ﺴ웚돒펰㠷컄곋뮥뛀䶵꺳⣗겺볾튻늼틑뗄뛸?뿎싛닺ꎬ쯹ꏏ맀릫놣쒳ꏊ㌼횸瓊污놸쳵좻쫽洽筸ﺷ뺼ꩮ⭣펪웤쿕⠲붫?왘硫웋琩⭣싊펲?펱䕦룶ꎻ뒥퇐짺곔쳢뗄쒣놣쓑햹쯣쮾쿕ﴩꆭ쫽놿럧湧ﲷ뛀뷰볾뿆죫祉檣횲ꎬ쫇랢쑅ힵ㉴?〰샻줩뭥뇇污벴볓벰뺿ꎮ?ꎬ믹탍쿕쏢ꯋ퇐퓚릫ꎻ㱌럖첹ꆢ쿂톧?뫍⮡걪볊ꆧ쿠짺컊㜱㠩폃ﺴ솢㲡쑰쒷ⷆ㱯㉴偻牬웚뺺?湧붫램떽ꎮ웤욲쒿뒡뷸쫐뻔뺿놣쮾꿓筫쪱늼뷨릫믹뚷괫㹬잲뗄뮥웆ㄹ쳵⤱맽펲뗄慮쪵럖웆뚨ⴰ짧놣훐變잰짏탐뎡튻볾?ꆣ쿕뗄ꎬ뿌욷ꎻ늻듻쮾왙뷰奫綺컊䕤뛀닺䦡没ꇆ?햹ꎻ㛱〱䕲돌컊ꆣꎬꨨ枷먰늼닺샭믡쿕웆죔ꎮ뗄룶ꏏ뺺뭃榡랢呩ꋉ놣튻뗈횸럖촨ﵮ慮솢헹㤭污欼欭㰩ﶳꎬ왘填㘶뗄쪱ꎻ쫽닺?쫇뛔뺺릫햾헹?짺㵌蝹쿕뚨쫖훺뇰奪⭫枷룅캪죴ꆶ륙횲溣〲湧?쳎쯼〰쮫쇭쳵쎿톧샭탆튻룅헹쮾뫕훐놣沱뗄ꆪ쓋릫헦뛎쿮럖럾❪ꎬ횲ꆣ싊럖ꎺꨨ刨ꇆ뛔欼㲡벣ꆮ곈㐩닎튻볾룶튲싛욲싊죕뗄淪ꆣ쿕쯷梡쮾헽쪹룅쒿듓㸱幹ꪣ벣럾퓲캪쒣늼剬涣琩곒쫽룶룅뷇돆⡲視죈놣뗄쟷췋킣튻뷸릫뺵엢ꍩ틒틢싊⠷ꎬ닎綷⮡뮱碡汥⢢멒듓㲡ꇆ왙횥볓뗄싊실캪畩엂뗣쿕맀벤돶쮫껒룶탐쮾?뛮ꇝ컊⡴겶㵵틥ꎬ〴퓲쫽횱ㆡ뀩ꏏ학ꆣ닎닎ꍽ潉왙奫ꇫ欼탍램웆ꎻ뫍뺫?쪵ꆾ릫쯣쇒쫆뮸놣맀떥룶캪ㆱﶡ럧짏볌틠㌱뛀⡭뗄햹⤽뜩⭥⡴쫽뚨닺놣쎿쯣쒼没쮾ㄲꎬ뇘쿕캻쳸墣ꏔ뗄탸벴〰솢䕲ꯋ䕤ㆣ볓甭뗄瓒?⤽캪欼㲡ꇆﺴ샭룅쿕튻쫽웋뾡퓚ⴷ놣뛔뒽릫퇐쪱풾믏뻋맽웆퓋쟳㌩뫍뗄污뻒틒램慮뗄畬⡭⭣䕲믒펲ꎬ싊쒣룶톧?ꏔ늻ㆡ쿕쇭ꯆ쮾뺿뗣돌닺룅뫍姍湧솽튵퓚꽰ꇆ외碡枷뛔뷸탍⡡?춬ꎵ릫튻욲벴ꆣ쪱ꖶ햹캪ꎬ싊⡫겷럖쒷놣汴污하뫍컊曱펯탐ꎻ整훓뗄ꯊ쮾룶響뿌상놼ﶳꎺ뿉쿂ꎬ횲測늼㷁ⵥ뚷쿕墡ꆣꍽ웆튻湧ꎻ폠쇋웆畡킵쳵잣뗄놣뇁ꎬ?刲쓜쏦쟺벡ꆣ햹릫⦵른웲럖ꇜ殡ꍽ?ꎺ벣ꨨ맽퇐닺物쓎곋⡴컒뗄ꏔ폐ﶳⷆ쑅탄돌뺿룅ꎮ쓏?硩⤽늼澣쳵涣닺겡硉쯄?牬럾ꆣ싊?ꎬ곎?硋겡慮왘듓늢쯼쟒틃ꞵ枷룅姐䕲떼殷럾솽잳㸰ꎬ쏌횲쑅污돶쓖ﺴ湧쇋벣듓룶욱爭싊?럖웤ꎻꕸ곇놣ꏏ퓚늼웆?ꆣ쿕?뗄닺퇐솽룅릫壟?룶싊妿뺿놣뗄쓐쿕튻릫룶뇭쒢愬듯ꙸ쪽?ꆣ歽既ⴱ걸ꆣ㸰평ꆻ嚡ꬱ攭䵶?
PIX(n)<y刷'<X(肿I)}叫阿叫去XK〈》岔凡)l、n= I P{t<Y(m)<:t+X卜生…tn-1e叮tJVl)! m怡Yρ叫主XkXk}奇在嚣k阳n、μl川JL.俨m-’...1 内-Mu气w'u'内(n仙-l叩)川!(m-l川)川k恪咕咕XI 4呐=…À"段工一……l俨le'duI t'叫"叫LY问(t)，LXk<汇Yk<LXkI 机叩1)!(m-l)! ~ ----6 z一二i二」………叫……~~k需←主卫士…-/"附加1"，4'叩lurlll哺咕Y也X)n! (m-l)! t-I 如伸飞时(市)(生Ldkh+附1)!才叫v) 皿…À协'$}￥毛ιμ悦巳一l À一一一一一一一一一一一一一→斗-司合甲飞n!(附m川耐斗1)!\ λ灿+忡/ \ λ+μ γ山’ (t;1)(xiun(古)m(2) :;;(n:~~1 )(山)n(*)。、~上述证明要求n;3el，~U果规定X~由器1，战意到lι叫叫-vdv附4}zje叫:凸-u('协l)duz(tf，若不考虑条件LXk<LY<工X.，!ñtl其破产概率为k因此，(2)对n=O和m;3e\也成丘。P叫{Y(I叫>咆u附2汁+c句忖呐t叶必}剑:仲;;P刊司圳{于Y(再计算概率哺Y川1争气之唔;Xk(n-1)阳)川): b 令自(t)=U2+C2t，如ll(HJl冲n-1e-vdv哺Y川2帝在哈Xk)3 蜡耀咕飞孙h炯Yk>沟洲s圳($哺(叫tt呻本文对两个保阶公司在保险竞争中，一个即将破产时另z俨(节n:Z;7l)川(牛中归t凰叫一个的破产概率进行了估算研究n假设两个保险公司的赢余过程均服从Erlan百分布，利用条件Erlan事分布的;{J(参数加法伊n时-→t+X}tlé'dt定现，对这两个保险公词在保险竞争中，一个即将破产时另一个保险公词的破产概率进行了研究，并导出了真破产概率叫~l) (古)n(古)工(nmJLUMt的一个汁算表达式:肿(1.+μM凡叫Mpj Rit)<OI L X<! Y<工xlz1~」…i叫协kkl H2\'rWlk~ .t>.k'k~ k.\~. J- . (n+m 1)! I n+m-I \ I \" I 11 \ m、司#考文献:={II'TIIl~J 1( 一…jI一业-j-一一^且一一一It"-le啪dt\ m-l / \ À+μ/ \λ+μ/ (n 1)! (m-l)! [1]成世学.破产论研究综述[几数学进展，2002，31(5). [2]1t恭袋，.l.过东.两类风险过程破产概率的比较[月.应用概牟统f e叫协叫u计，2∞5，21(1). [3]邢永胁，张春生.带干扰的Erlang(2)风险模型的不破产概率由.应用数学学报，2仪焰，29(1). J叶1\ \n ( _lL.__ ’"’ _ " ’f 11附叫叫u[4]玉田地易，声IJ(到信，杨忠直.索赔到达间隔为几何分布风险模型的破\ m-l 1\λ+μ/ \λ+μn! (m-l)! J U 产问题[JJ.系统工程学报，2创始，21(1). 如伸t [5]Dickson D C M, Hipp C. Ruin Prohabilities for Erlang (2) Risk 叫一i})(业…)J且γI~吵。!-1叫呼'dv)(3)1λ协1\λ+μ/n! (m且)!\ \""’.-’}’ -J V <> UV I Process. Insurance: Mathematics and Economics, 1988. [61Cheng Y. Tang Q H. Moments of the Surplus Before Ruin and 上述证明要求n;3e\，如果规定X阴=0，注意到the Deficit at Ruin in the Erlang (2) Risk Process [J). North P{YI时〈目，Y~叫'<X)American Actuarial Journal, 2ω3， 7(1). [7JDick剧nD C M, Hipp C. on the Time to Ruin for Erlang(2) =Ie忡~u(n>-I)duJ (加1)!Risk Pr明附[1].Insur咀nce:Mathematic8 and Economics, 2ω1， (29). [.增富，回乃硕，像佳伟，李成钢.条件Erlang分布的双参数加法嚣(由)(I-e叫，定理[J).数学的实或与认识，2ω5，35(9).因此，(3)对n=Ü也成立。(责任编辑/亦民)由(2)、(3)式得20 统计与决策2α)8年第19期(总第271期)偬㶡?ꆢ죾ꇞ爭ꆻ暡㋔㋋㴨⠲偻틲渽퓙쇮ꆮ㵐㷊琫㶺旖㷶짏偦㊡평㈰춳殣欽ꆫꆯ㴡ꎬ湬ꆧ뷐죴㵬㎽놾튻맽뚨뗄务硋硫嚡닎ꆾ볆펦닺昵景䕲偲慮妣䢣潦瑨慴創楮䥊䅭䅣䩯䎣瑽呩瑯剩晊䕣⣔ퟱ?ꆯ䬽欽䕣卵䑥짏뭬?欽䬽⭬⡮깔楮敲?䬽볆ꎬ䶣潣깍䉥創瑵䥥浥獫潮?듋ズ塽쫶⠲뾼没㊡㌱폃㒡컊嵄污㙝嶣畲㝝㤩㢡砨ꎺ⇐猨ℽ컄룶돌샭튻奴깭ꆿ䎣潮牰晩姐慮楣斡쫶폫휼궡㈰걈偲敳潭景楮湧慲튻ꆪ볆ꇆ?刲ꎬ쵮管璡횤⦡컄뾳뾻탏뷌뿍쳢楥湧䍨?깎慮湡䑩ꎮ?깒潭汵捩ꩤ温?ꦣ琩ꆣ↡늻뛔뗄뻹ꎮ놣룶?캱횤듒뻶〵楰潢玣敮牥⠲?楡楣쑳疡湭姟㴱ㄩ畩楣⠲没넱햫쏷ꈨ?쿗짊ꢴ폀톧ꆾ歳敮潲沣捫䥮ꎮ뭐튻닟潉궣ꎬ慢깉瑳⥒玣㱙?쏷㵵?⠳솽웆럾뛔쿕볆㱋풾쯣奫⡣碡玣⥸?왙攭튪ꎬ믒㌩妡填ꎺ샑뫈쪤톧ﻒ䩊潮⥒?瑨갲獯獵쫽ℨ㈰㈱楬湳楳?씫⤨ꆤ튪갱ꋨ㈫⦶뮡뾼룶닺듓헢릫쯣궣Ⱝ튲ꆰ뭥쟳쪽〸殡겡ꞣ?⠱ꎬ놨힣ꎮ楴楳畲?〰牡뮣톧뷐?췲랽쫽뻝洭妸㤸쟳룅㹕끥⤼㹳ꌼꩥ⭭쑸쏦⤭㱸挲푮쓪놣䕲솽쮾뇭?⦣楥慮ㆣ꿒?돉款摴⤨溡뗃ꌾ㲡껆곍헅ꎮ껁쾵㎣湣곌뗄溸㢣筴뒣ㄩ溡ㄭ흽뗚옽ꍩ?捥∱솢璣洭?㴰瑱싇쿕污룶뗄듯욲뒺㈰춳갷斣쪵?싊ꎺ훝潬⡴ꇆ斡?ㄹ?ꆣ猨ꎬ㱘뮾甲왙輸ﶾ짺〶𢡄릤⠱멍쯋볹⥽껔튲꩟⇒릫뷸湧놣웆쪽洭웚汉䵡?튻ꎬ⥟햫뛾攭ꩤ쿹죧?ꦣꎮꎬ얣돌慴뚣폫偻⭣⣗ꇆ⦣奫瑨?돉御쳵쮾탐럖쿕닺ꎺ㱙죧ꆣ硽琩맻?⭣欼킾껁듸㈹곑톧捭?桥곌죏?맻ꎬ솢ꩪ퓚쇋늼릫룅ꋭ?慴꺡ꇆ㉬맦碡겡㲡뿗뷀룉⠱놨浡랼쪶ⶣꆻ⦡ㄩ늷맦ꆣ㜱汌볾놣맀쮾싊楣ꎬ⦱뚨穬ꇆﴲ?죅⦣틖瑩퇎?뚨ꆣ웚?ꇫ⦹奫ꎬꌼ외쿕쯣샻퓚뷸塀㦣뗄?놣㈰捳낣⤨?壇ꇆㄩ弭ꎬ墡훷뺺퇐폃놣탐ꎮ햹䕲껋〶곀〵갱既뀨䦡므㹵ꇆꆣ빽ⴭ쫽ﶳ污ꎬ?헹뺿쳵쿕쇋묱즾填ⵏꤱꇆꍽ瑽톧쳆湧㈱즸㌵방䬼훐ꆣ볾뺺퇐ꎮ㈫碡妡㲡쿹ㄩ⤨ꎮ꩐평뷸욲⠲붴⠱횣⠹힢⢼ꎮ볙䕲헹뺿㲡⣂힢硫햹視⦷⦣껌꤭挲ꌼ왙틢횥튻짨污훐ꎮ냙틢믑ꎬ엂?떽?묨敎룶솽湧ꎬ늢⦡왙떽⥤㲡ꎺ㈰쪵헄﹅璣ꇆ⢻츩ꨱꋶ벴룶럖튻떼〲쒱ꏐꪼ牬⣶旖겡奫ꆣ墡왙ꎬ좽춵뢺慮슳콬붫놣늼룶돶⤨洭?ꆻ㌱쿟쒲캷枷뭖㳖웆쿕뗄벴쇋외㲡ꍽ⥦?ꆣ偻⠵뚣믆횲ꆰ↲닺릫쮫붫웤맅⦣껓욲벷벵湎旡쿹泆?ꆣ왘ꕸ쪱쮾닎웆외츩㲡?ꛓ視쓋ꆫ쇭뗄쫽닺튻쎸엂헄ꮲ㲡ꆣ⡸외殣姡펯볓쪱룅엂쫅ꏐ캽륟嚡?쫍춵첼⡸폠램쇭싊왙?旀?ꆻꆣ쓆펷ꆰ곔⤨?唨欼紩?먨ꇆ튻깖용洭ꩥ⣒碡ꆱ훝琩ꍽ䤩磒욲⧒ꎺ튻뭫嘩摵視삮䨽뫕믆쏦⠳엂㴨氭쫎?엌캫?砩믷⦣뿉뮴힡?ꆰ늷ꞡ볏튻ꆫ曳妢搩짌뭵ꆾꆣ쏐ꆪ퇃?늷斢乴
