证券投资风险最优控制问题
摘 要 在假设证券价格服从几何布朗运动的基础上· 首先 , 建立了证券投资决策最优控制问题
数学模型 , 并把经济学家提出的风险规避系数概念引入到证券投资决策问题中· 然后 , 根据随机
最优控制理论 , 推导出了风险规避投资者的值函数所满足的带有风险规避系数的动态规划偏微分
方程 ,并且得到了基于随机最优控制问题值函数的证券投资最优策略·特别 , 当风险规避系数无限
大时 ,得到了风险规避投资者的最优投资策略 , 最后 ,给出一个算例·
关键词 证券投资 , 风险规避 , 随机最优控制 , 动态规划·
分类号 F 224
证券投资风险一般指投资的未来收益的不确
定性 ,即实际收益率可能偏离预期收益率的幅度·
证券组合投资理论的奠基人 Markowitz在 1952年
首次采用股票收益率历史数据的方差来作为度量
投资风险的指标[ 1] , 建立了投资决策均值 方
差模型·Sharpe在此基础上建立了均衡的证券定价
理论[ 2]·1964年经济学家 Prat t提出了风险规避系
数概念 ,有人开始研究风险规避 、风险中性等不同
情况的投资决策问题[ 3 ,4] ,但是尚未见到风险规避
程度连续变化时的证券投资风险控制问题研究 ,而
现实中投资者风险规避程度是千差万别的·正因为
如此 ,本文研究风险规避程度连续变化时证券投资
风险控制问题 ,把经济学家提出的风险规避系数概
念引入证券投资风险控制问题中 ,通过函数变换 ,
推导出了带有风险规避系数的动态规划方程·最
后 ,给出一个算例·
1 问题描述
假设在金融市场中 , 在固定的有限时期 T
内 ,投资者既不增加资金 ,也不抽取资金 ,投资者
可以自由地从银行存款中取出现金购买证券 ,或
抛出证券变成现金存入银行 ,且不考虑交易费用 、
税收和红利 ,不用于消费和其它投资·假设用 x 0
(t), x i(t),(i=1 , 2 , … , m),分别表示 t 时刻投
资者在银行的存款和投资在第 i个风险证券上的
金额;用 r0 , ri 分别表示银行存款利率和第 i 个
风险证券预期收益率;用 σij表示第 i 个风险证券
预期收益率受第 j 个风险因素波动影响的方差;
用 w j(t)表示概率空间(Ψ, B , P)上相互独立的
维纳过程 ,则 x 0(t), xi(t),(i=1 , 2 , … , m)是如
下的随机微分方程
d x 0(t)= r0 x 0(t)dt , x 0(0)= x 0
dxi(t)=rixi(t)dt+xi(t)∑m
j=1
σijdwj(t),
x i(0)= xi , i =1 ,2 , … , m
(1)
的解·其中 , x0 , xi分别表示投资者在初始时刻 t=
0的银行存款金额和投资在第 i 个风险证券上的
金额;投资者的目标是 ,如何确定银行存款和投资
在第 i个风险证券上金额 ,使终期资产总值的预期
效用 EF h x0(T), x1(T), … , xm(T) 最大·这
里 E 表 示 期 望 算 子;F 为 效 用 函 数;
h x 0(T), x1(T), …, xm(T) = ∑m
i=0
xi(T)表示
终期资产总值·
令 y(t)=x 0(t)+x 1(t)+…+xm(t)表示
t时刻投资者资产的总和 , u i(t)=xi(t)/ y(t)∈
[ 0 ,1]表示 t 时刻投资在第 i 个风险证券上的比
例份额·由 ITO 微分公式[ 5]可得到
dy(t)= r0 +∑m
i=1
A iu i(t) y(t)d t +
∑m
j=1 ∑
m
i =1
u i(t)y(t)σijdw j(t) (2)
显然有 y(0)=∑m
i=0
xi(0)=∑m
i=0
x i =y ,则投资者
1998 06 18收到· 刘海龙 ,男 , 40 ,副教授 ,博士研究生;樊治平 ,男 ,38 ,博士 ,教授;潘德惠 ,男 , 70 ,教授 ,博士生导师·
国家自然科学基金资助项目(编号:79600006)·
的最优决策问题可以用如下最优控制问题描述·
dy(t)= r0 +∑m
i =1
A iu i(t) y(t)dt +
∑m
j =1 ∑
m
i=1
u i(t)y(t)σijdw j(t)
y(0)=y
(3)
其中 , y=x 0+x1 +…+xm 表示初始总资产 , A i
=r i-r 0表示第 i 个风险证券的风险收益率 , 投
资者选择 u i(t)∈[ 0 ,1]使目标泛函
J(y , T , u)=EF[ y(T)] =EF ∑m
i=0
x i(T)
(4)
的值最大·
这就是本文所要研究的证券投资风险最优控
制问题数学模型·
2 主要结果
定理 1 由随机微分方程(3)和目标泛函(4)
构成随机最优控制问题存在唯一值函数 φ(y , T)
=sup
u
EF[ h(y(T))] , 且满足下面的动态规划偏
微分方程
φT =max
u
(r0 +Aτu)yφy +12 uτMuy 2φyy
φ(y ,0)=F[ h(y)]
(5)
其中 , M =σστ是正定矩阵;σ=(σij)m×m , Aτ=
(A 1 , … , Am);uτ=(u1 , …, um);φ的下标表示
对相应变量的偏导数·
因为风险规避程度不同的投资者 ,即使有相
同的预期 ,投资策略也常常是不同的 ,为此 ,这一
部分将经济学家提出的风险规避系数概念引入到
证券投资决策问题中·
定义 1 若 F(x)∈ C2(0 , ∞)为效用函数 ,
F″(x)<0 ,则称
r(x)= F″(x) F′(x) (6)
为风险规避系数[ 6]·
风险规避系数 r(x)可以度量投资者的风险
规避程度 ,即投资者越厌恶风险 , r(x)就越大;反
之 , r(x)就越小·
下面的定理给出了风险规避程度不同的投资
者值函数所满足的动态规划偏微分方程·
定理 2 假设由随机微分方程(3)和目标泛
函(4)构成随机最优控制问题存在唯一值函数 φ
(y , T), F(x)为效用函数 ,作变换 V =F -1(φ),
则变换后的值函数 V(y , T)满足下面的动态规
划偏微分方程
VT =max
u
(r0 +Aτu)yVy +12 uτMuy2 Vyy-
1
2
uτMur(V)y 2 V2y
V(y , 0)=h(y)= y
(7)
其中 , r(V)是风险规避系数 , V 的下标表示对相
应变量的偏导数·
定理 3 假设取效用函数为 F(x)=-exp
(-ε-1 x),值函数 V(y , T)满足动态规划偏微分
方程(7),且当 ε※0时 , V ※V0 , VT ※V 0T , Vy ※
V
0
y , Vyy有界 , r(V)M 收敛于函数矩阵 G 时 ,则
值函数 V0 满足如下动态规划偏微分方程
V 0T =max
u
(r0 +Aτu)yV 0y -
1
2
uτGuy 2(V 0y)2
V
0(y , 0)= y
(8)
3 最优投资策略
首先 ,通过求解动态规划偏微分方程(7)右端
的优化问题 ,可得基于值函数的最优投资策略
u ＊ =-M-1 AVy Vyy -r(V)V2y y (9)
再将式(9)代入动态规划偏微分方程(7)的右端可
得如下柯西问题
VT = r0 yVy -1
2
A
τ
M
-1
AV
2
y Vyy -r(V)V2y
V(y , 0)= y
(10)
根据偏微分方程理论[ 7]知道 ,通过求解偏微分方
程(10)带有初值 V(y , 0)=y 的柯西问题 ,可以
得到偏微分方程(10)的唯一解 V(y , T),再将
Vy和 Vyy代入式(9)即可得到以 y 为状态的反馈
控制器
u
＊ =-M-1 AVy Vyy -r(V)V2y y (11)
式(11)就是基于值函数的带有风险规避系数的最
优投资策略·
又由方程(8)的右端优化问题可以解出
u＊0 =G-1A yV 0y (12)
再将式(12)代入方程(8)的右端 ,可得如下一阶偏
微分方程柯西问题
V 0T = r0 yV 0y +12 AτG-1A
V
0(y ,0)= y
(13)
此方程的解为
V 0(y , T)=1
2
AτG-1AT +yexp(r 0T) (14)
将 V0(y , T)对 y 求导数得
331第 3期 刘海龙等:证券投资风险最优控制问题
V0y(y , T)=exp(r0 T) (15)
再将式(15)代入式(12)得反馈最优策略
u
＊
0 = G-1A yexp(r0 T) (16)
这就是极端厌恶风险(r(V)※∞)投资者的最优
投资策略·
4 算例分析
假设投资者预测一年之内投资于银行存款的
资金 x 0(t),购买债券的资金 x 1(t),投资于基金
的资金 x 2(t)和投资于某股票组合的资金 x 3(t)
分别满足如下随机微分方程
dx 0(t)= x 0(t)d t
dx 1(t)= x1(t)dt+x1(t) dw1(t)+
1 dw2(t)+ 2 dw3(t)
dx 2(t)= x2(t)dt+x2(t) 2 dw1(t)+
dw2(t)+ 3 dw3(t)
dx 3(t)= x3(t)dt+x3(t) 3 dw1(t)+
4 dw2(t)+ dw3(t)
目标是终期总资产 y(T)=∑3
i=0
x i(T)最大 ,
假设风险规避投资者的效用函数为 F(x)=-
exp(-10 000 x),初始资金是 10万元 ,由风险规
避系数的定义知 r(V)=ε-1=10 000 ,分别将 r0
= , y =10 , T =1 , Aτ=( , ,),
G=ε-1M=10 000×
1 2
2 3
3 4
×
1 2
2 3
3 4
τ
=
5 6
6 3 6
4 6 5
代入式(16),得最优策略为
u ＊0 =(%, %,%)τ
最优值为 V(y , T)=V(10 ,1)= 7·
从以上例子可以看出 ,风险规避投资者越厌
恶风险 ,他(她)投资于风险证券的资金所占比例
就越少 ,而且对风险证券收益率方差变化有很大
的敏感性 ,事实上这类投资者确实规避了风险 ,但
同时获得的收益也常常较少 ,这是符合目前大多
数投资者实际情况的·
5 结 束 语
本文将经济学家提出的风险规避系数概念引
入到证券投资风险控制问题中 ,对风险控制问题
进行了尝试性研究 ,所得结论对于风险规避程度
不同的投资者制定投资策略有重要意义·通过求
解带有风险规避系数的二阶动态规划偏微分方程
的柯西问题和当风险规避系数无限大时得到的一
阶动态规划偏微分方程的柯西问题 ,可以得到最
优投资策略·
参考文献
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7 Friedman A·随机微分方程及其应用·吴让泉 ,译·北京:科
学出版社 , ～ 176
Risk Optimal Control for Security Investment
Liu Hailong , Miao Shi , Fan Zhiping , Pan Dehui
(School of Business Administra tion , Nor theastern University , Shenyang 110006 , China)
ABSTRACT An optimal control model fo r the security investment decision w as established based on the assumption that the
security price follow s the geometric Brownian conception of risk aversion coefficient proposed by economists w as
introduced into the model for security investment programming par tial differential equation with the
coefficient of risk aversion w as obtained on the basis of the stochastic control theo equation can meet the value of the risk
aversion investo security investment optimal tactics was set up based on the value function of the stochastic optimal
, the security investment optimal tactics for the investor of risk aversion w as also found out for the infinite
coefficient of risk example was provided.
KEY WORDS security investment , risk aversion , stochastic control , dynamic prog ramming.
(Received June 18 , 1998)
332 东北大学学报(自然科学版) 第 20卷
