摘要：四分位数是将全部数据分成相等的四部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是四分位数。四
分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的作用和意义。文章通过对四分位数的详细计算过程，便于读者
在学习统计学知识中能有更进一步的认识。
关键词：统计学；四分位数；组距数列
中图分类号：P597 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2009）20-0173-02
分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后，处于各等
分位置的变量值。如果将全部数据分成相等的两部分，它就是
中位数；如果分成四等分，就是四分位数；八等分就是八分位数
等。四分位数也称为四分位点，它是将全部数据分成相等的四
部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是
四分位数。四分位数有三个，第一个四分位数就是通常所说的
四分位数，称为下四分位数，第二个四分位数就是中位数，第三
个四分位数称为上四分位数，分别用Q1、Q2、Q3表示。四分位数作
为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的作用和意义，
现就四分位数的计算做一详细阐述。
一、资料未分组四分位数计算
第一步：确定四分位数的位置。Qi所在的位置=i（n+1）/4，其
中i=1，2，3。n表示资料项数。
第二步：根据第一步四分位数的位置，计算相应四分位数。
例1：某数学补习小组11人年龄（岁）为：17，19，22，24，25，
28，34，35，36，37，38。则三个四分位数的位置分别为：
Q1所在的位置=（11+1）/4=3，Q2所在的位置=2（11+1）/4=6，
Q3所在的位置=3（11+1）/4=9。
变量中的第三个、第六个和第九个人的岁数分别为下四分
位数、中位数和上四分位数，即：
Q1=22（岁）、Q2=28（岁）、Q3=36（岁）
我们不难发现，在上例中（n+1）恰好是4的整数倍，但在很多
实际工作中不一定都是整数倍。这样四分位数的位置就带有小
数，需要进一步研究。带有小数的位置与位置前后标志值有一定
的关系：四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的
平均数，权数的大小取决于两个整数位置的远近，距离越近，权数
越大，距离越远，权数越小，权数之和应等于1。
例2：设有一组经过排序的数据为12，15，17，19，20，23，25，
28，30，33，34，35，36，37，则三个四分位数的位置分别为：
Q1所在的位置=（14+1）/4=，Q2所在的位置=2（14+1）
/4=，Q3所在的位置=3（14+1）/4=。
变量中的第项、第项和第项分别为下四分位
数、中位数和上四分位数，即：
Q1=×第三项+×第四项=×17+×19=；
Q2=×第七项+×第八项=×25+×28=；
Q3=×第十一项+×第十二项=×34+×
35=。
二、资料已整理分组的组距式数列四分位数计算
第一步：向上或向下累计次数（因篇幅限制，以下均采取向
上累计次数方式计算）；
第二步：根据累计次数确定四分位数的位置：
Q1的位置=（∑f+1）/4，Q2的位置=2（∑f+1）/4，Q3的位置=
3（∑f+1）/4
式中：∑f表示资料的总次数；
第三步：根据四分位数的位置计算各四分位数（向上累计
次数，按照下限公式计算四分位数）：
Qi=Li+
i∑f
4
-SQi-1
fi
×di
式中：Li———Qi所在组的下限，fi———Qi所在组的次数，
di———Qi所在组的组距；Qi-1———Qi所在组以前一组的累积次
数，∑f———总次数。
例3：某企业工人日产量的分组资料如下：
根据上述资料确定四分位数步骤如下：
（1）向上累计方式获得四分位数位置：
Q1的位置=（∑f+1）/4=（164+1）/4=
Q2的位置=2（∑f+1）/4=2（164+1）/4=
Q3的位置=3（∑f+1）/4=3（164+1）/4=
（2）可知Q1，Q2，Q3分别位于向上累计工人数的第三组、第四
组和第五组，日产量四分位数具体为：
Q1=L1+
∑f
4
-SQ1-1
f1
×d1=70+
164
4
-29
50
×10=（千克）
Q2=L2+
2∑f
4
-SQ2-1
f2
×d2=80+
2×164
4
-79
36
×10=（千克）
2009年第20期
（总第131期） Chinesehi-techenterprises
（）
中国高新技术企业
统计学中四分位数的计算
张云华
（江西财经职业学院，江西九江 332000）
按日产量分组（千克） 工人数（人） 向上累计次数 向下累计次数
60以下 10 10 164
60~70 19 29 154
70~80 50 79 135
80~90 36 115 85
90~100 27 142 49
100~110 14 156 22
110以上 8 164 8
合计 164 — —
173- -
Q3=L3+
3∑f
4
-SQ3-1
f3
×d3=90+
3×164
4
-115
27
×10=（千克）
参考文献
[1]李洁明，祁新娥．统计学原理[M]．复旦大学出版社，2003．
[2]朱圻贤．简明统计学[M]．首都经济贸易大学出版社，2009．
[3]徐淑华，朱圻贤．统计学原理[M]．江西高校出版社，2004．
[4]胡学锋．统计学[M]．中山大学出版社，1999．
作者简介：张云华（1976－），男，江西丰城人，江西财经职业
学院讲师，硕士，研究方向：企业战略管理。
摘要：待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。其
实质是方程思想，体现的是“恒等变形”和“形变而值不变”的解题功能。待定系数法是一种重要的数学方法，在高等代数
的教学中要用好这种方法。因此文章对待定系数法在高等代数中的应用进行分类讨论。
关键词：待定系数法；高等代数；数学方法
中图分类号：O122 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2009）20-0174-02
2009年第20期
（总第131期） Chinesehi-techenterprises
（）
中国高新技术企业
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形
式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知
条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数
为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。这种解题方法就
称为待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个
解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知
数，使问题得到解决的方法。其实质是方程思想，就是把具有某
种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为两
个多项式恒等或方程组的条件来解决的方法，体现的是“恒等
变形”和“形变而值不变”的解题功能。
待定系数法是一种重要的数学方法，在中学数学里已多次
使用。因此它是一种大家都很熟悉的方法。在高等数学中，也有
许多问题可以用待定系数法解决。所以在高等数学的教学中引
导学生用好这一方法非常必要。
本文主要对待定系数法在高等代数中的应用加以总结。
1．在整除问题中的应用：
例1：如果（x-1）2|Ax4+Bx2+1，求A，B。
解：因（x-1）2|Ax4+Bx2+1，所以
令Ax4+Bx2+1=A（x-1）2（x2+px+q），其中p，q为待定系数。
则Ax4+Bx2+1=Ax4+A（p-2）x3+A(q-2p+1)x2+A（p-2q）x+Aq，
比较系数，得
p-2=0
A（q-2p+1）=B
p-2q=0
Aq=
!
#
#
#
##
"
#
#
#
##
$ 1
，解得
A=1
B=-2
p=2
q=
!
#
#
#
##
"
#
#
#
##
$ 1
，即A=1，B=-2。
例2：求t值，使f（x）=x3-3x2+tx-1有重根。
解：要使f（x）=x3-3x2+tx-1有重根，可设f（x）=（x-p）2（x-q），
其中p，q为待定系数，则
f（x）=x3-3x2+tx-1=x3-（2p+q）x2+（2pq+p2）x-p2q，
比较系数，得
2p+q=3
2pq+p2=t
p2q=
!
#
##
"
#
#
#
$ 1
，解得
p1，2=1
q1，2=1
t1，2=
!
#
##
"
#
#
#
$ 3
，
p3=-1/2
q3=4
t3=-15/
!
#
##
"
#
#
#
$ 4
所以，当t=3时，f（x）=x3-3x2+tx-1=（x-1）3有三重根x=1；
当t=-15/4时，f（x）=x3-3x2+tx-1=（x+1/2）（x-4）有二重根
x=-1/2。
2．在向量的线性关系中的应用：
（1）向量的线性表示：
例3：把向量β表成向量α1，α2，α3，α4的线性组合，其中
β=（0，0，0，1），α1=（1，1，0，1），α2=（2，1，3，1），α3=（1，1，0，0），
α4=（0，1，-1，-1）。
解：设β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4，
则
x1+2x2+x3=0
x1+x2+x3+x4=0
3x2-x4=0
x1+x2-x4=
!
#
#
#
##
"
#
#
#
##
$ 1
，解得
x1=1
x2=0
x3=-1
x4=
!
#
#
#
##
"
#
#
#
##
$ 0
，从而β=α1-α3。
（2）向量线性相（无）关的判定：
例4：讨论下列向量组的线性相关性：
α1=（1，1，1），α2=（1，-1，2），α3=（1，2，3）。
解：设有一组数x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=0，
则
x1+x2+x3=0
x1-x2+2x3=0
x1+2x2+3x3=
!
#
##
"
#
#
#
$ 0
，（*）
因为齐次方程组（*）的系数矩阵的行列式
D=
1 1 1
1 -1 2
1 23
=-5≠0，
所以该方程组（*）只有唯一的零解，即x1=x2=x3=0。
高等代数中的待定系数法
刘瑞香
（山西农业大学文理学院，山西太谷 030801）
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