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『 经济计量学 』
本科班课程
第八章 自 相 关
在经济计量研究中，自相关是一种常见现象，它是
指随机扰动项序列相邻之间存在相关关系，即各期随机
扰动项不是随机独立的。自相关主要表现在时间序列中。
在经典线性回归模型基本假定中，我们假设随机扰
动项序列的各项之间不相关，如果这一假定不满足，则
称之为自相关。即用符号表示为：
自相关是对无自相关假定的违反。
第一节 自相关的来源和形式
第二节 自 相 关 的 后 果
第三节 自 相 关 的 检 验
第四节 自相关的修正方法
第五节 广义最小二乘法
一、自相关的来源
• 经济惯性（滞后效应）
• 模型设定偏误：应含而未含变量的情形
• 随机扰动项序列本身的自相关
• 数据处理造成自相关——如平滑处理
• 自相关也可能出现在横截面数据中，但
主要出现在时间序列数据中。
第一节 自相关的来源和形式
二、一阶自相关
线性回归模型
Yt=bo + b1Xt + ut
若 ut 的取值只与它的前一期取值有关，即
ut = f (ut-1 ) 则称为一阶自回归
经典经济计量学对自相关的分析仅限于一阶自
回归形式：
ut = ut-1 +εt
为自相关系数 || 1
> 0 为正自相关 < 0 为负自相关
三、高阶自相关
线性回归模型
Yt=bo + b1Xt + ut
若 ut 的取值不仅与它的前一期取值有关，
而且与前n前取值都有关，即
ut = f (ut-1， ut-2， ut-3… ) 则称ut具有
n阶自回归形式。
例如， ut = f (ut-1， ut-2) 时，误差项存在二
阶自回归。
第二节 自 相 关 的 后 果
1、参数的估计值仍然是线性无偏的
2、参数的估计值不具有最小方差性，因而
是无效的，不再具有最优性质
3、参数显著性t检验失效
低估了2，也低估了bi的方差和标准差
夸大了T值，使t检验失去意义
4、降低预测精度
^
第三节 自 相 关 的 检 验
1、图示法
2、杜宾—瓦森检验(Durbin-Watson)
一、图示法
1、按时间顺序绘制残差e
t
的图形
2、绘制残差e
t,
e
t-1
的图形
1、时间顺序图—将残差对时间描点
• 如a图所示，扰动项为锯齿型，et随时间变化频繁
地改变符号，表明存在负自相关。
• 如b图所示，扰动项为循环型，et随时间变化不频
繁地改变符号，而是几个正之后跟着几个负的，
几个负之后跟着几个正的，表明存在正自相关。
e
t
e
ta b
2、绘制残差e
t,
e
t-1
的图形
如a图所示，散点在I,III象限，
表明存在正自相关。
如b图所示，散点在II, IV象限，
表明存在负自相关。
e t
e t-1
a b
e t
e t-1.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
二、杜宾—瓦森检验
DW检验是检验自相关的最著名、最常用的
方法。
1、适用条件
2、检验步骤
–（1）提出假设
–（2）构造统计量
–（3）检验判断
1、适用条件
（1）回归模型中含有截距项；
（2）解释变量与随机扰动项不相关；
（3）随机扰动项是一阶自相关；
（4）回归模型解释变量中不包含滞后因变量；
（5）样本容量比较大。
2、检验步骤
（1）提出假设
H0：=0，即不存在一阶自相关；
H1：0，即存在一阶自相关。
（2）构造统计量DW
（3）检验判断
对给定样本大小和给定解释变量个数找出
临界值dL和dU，按图中的决策准则得出结
论。
构造 D-W 统计量
• 定义 为样本的一阶自相关系数，作为
的估计量。则有，
• 因为-1 1，所以，0 d 4
DW检验的判断准则
依据显著水平、变量个数（k）和样本大小（n）
一般要求样本容量至少为 15。
正自相关 无自相关 负自相关
0
dL dU 4- dU 4- dL2
不能检出 不能检出
4
一、广义差分法
第四节 自相关的修正方法
线性回归模型
Yt=bo + b1Xt + ut
若随机项 ut 存在一阶自相关
ut = ut-1 +εt
式中若随机项 ut 满足基本假定：
E(εt ) = 0 εt 为白噪声
Var (εt ) = s
2 Cov(εt , εt+s ) = 0
Yt= bo + b1 Xt + ut （1）
如果自相关系数 为已知，将上式滞后一期
Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1
两边乘以
Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1 （2）
(1) 式减 (2)式，变成广义差分模型
Yt Yt-1 = bo(1 ) + b1 (Xt Xt-1) + Vt （3）
作广义差分变换
Yt
*
= Yt Yt-1
Xt
*
= Xt Xt-1
Yt
*
= bo
* + b1 Xt
* + εt
对广义差分模型应用 OLS 法估计，求得参数估计
量的方法称为广义差分法
当 = 1 时，可得一阶差分模型
Yt Yt-1= b1 (Xt Xt-1 ) + Vt （4）
作一阶差分变换
Yt = Yt Yt-1
Xt = Xt Xt-1
为不损失自由度， Yt 和Xt 的首项作如下变换
一阶差分模型可写成
Yt = b1 Xt + Vt
当 = 1 时，可得移动平均模型
（5）
作变换
移动平均模型可写成
Yt
*
= b0 + b1 Xt
*
+ Vt
二、科克兰内—奥克特法
广义差分法要求 已知，但实际上只能用 的估计值
来代替。
科克兰内—奥克特法又称迭代法，步骤是：
1、用OLS估计模型
Yt= bo + b1 Xt
2、计算残差et
et = Yt Yt = Yt (bo + b1Xt )
3、 将et代入，得残差的一阶自回归方程
et = et-1 + Vt
用OLS方法求 的初次估计值1。
^
^
^^
^ ^ ^
^
4、利用1 对原模型进行广义差分变换作第一次迭代
5、计算 的第二次估计值
^
6、利用2 对原模型进行广义差分变换作第二次迭代^
7、反复迭代，直到 收敛，实际上人们只迭代两次，
称为二步迭代法。Eviews 中有专门命令
AR(1) 一阶自回归
LS Y C X AR(1)
在回归结果中，可以直接读到 的迭代收敛值。
三、杜宾两步法
这种方法是先估计 再作差分变换，然后用OLS法来
估计参数。步骤是：
1、将模型(3)的差分形式写为
Yt = bo (1 )+ Yt-1 + b1 Xt b1 Xt-1 + Vt
Yt = ao + Yt-1 + a1 Xt + a2 Xt-1 + Vt
式中：
ao = bo (1 )
a1 = b1
a2 = b1
用OLS法来求得 的估计值 。
^
^
2、用 对原模型进行差分变换得：
Yt
*
= Yt Yt-1
Xt
*
= Xt Xt-1
得 Yt
*
= ao + b1 Xt
*
+ Vt
用OLS法来求得参数估计值 ao 和 b1
bo = ao / (1 )
此外求得估计值还有其它方法：
^
^ ^
^ ^ ^
1、当模型存在自相关和异方差时，OLS参数
估计值的优良性质将不存在。
2、通过模型转换（GLS法）消除自相关和异
方差
给定线性回归模型
Y = XB + U (6)
同方差及无自相关假定不成立
E (u) = 0
第五节 广义最小二乘法
如果 = I ( I为单位矩阵 ) ，表明 (1)各随机
项的方差相同且等于2； (2)各随机项无自相关；
如果 I ，有两种可能
1、矩阵的主对角线元素不全为1，即
{ }ii 1 因此随机项方差不全相同， i
2 2
2、随机项存在自相关
矩阵的非主对角线元素不全为 0，即
{ }ij 0 i j
因此随机项协方差不等于 0，即 cov(ui,uj) 0
广义最小二乘法的基本思路是对模型进行适当的
变换。变换后的新模型满足线性回归基本假定，即
= I ，然后应用OLS法，对模型进行估计，主要步
骤如下：
1、寻找适当的变换距阵 P
因为 是 n 阶对称正定矩阵，根据线性代数知识，
存在 nn 阶非奇异矩阵 P，使下式成立。
P P’ = I
可得 -1 = P’ P
2、模型变换
用矩阵 P 左乘公式 (6)
P Y = P XB + P U
令 Y* = P Y X* = P X U* = P U
得 Y* = X*B + U*
新的随机项的方差—协方差距阵
E(U* U*’ ) = E[PU (PU) ’ ]
= E(P U U’ P’ )
= P E(U U’ ) P’
= P 2 P’
= 2 P P’ = 2 I
变换后的新模型满足同方差和无自相关假定
参数估计向量
B = ( X*’ X* ) -1 X*’ Y*
= [( P X )’ P X ] ( P X )’ P Y
= (X’ P’ P X ) -1 X’ P’ P Y
= (X’ -1 X ) -1 X’ -1 Y
B 称为广义最小二乘估计量
~
~
1、 当 = I 时， B = ( X’ X ) -1 X’ Y ，广义最小二乘
估计量就是普通最小二乘估计量。
2、 当模型存在异方差时：
~
P 满足关系式 P P’ = I
用距阵 P 左乘原模型
P Y = P XB + P U
这实际上是对模型作变换，设异方差形式为
i
2 = Xi
2
B = (X’ -1 X ) -1 X’ -1 Y
这是广义最小二乘估计
~
3、 当模型存在一阶自相关时：
P 满足关系式 P P’ = I
用距阵 P 左乘原模型
P Y = P XB + P U
第四节 案例分析
案例1：中国城市居民家庭人均实际生活费收入
与恩格尔系数
案例2：中国商品进口模型
案例1
1.建立模型
2.检验
2.检验
DW检验表 n=27,k=1 dL＝，dU ＝
存在一阶正自相关
3.修正
再估计方程：
Estimation Command:
=====================
LS LOG(EC) C Y AR(1)
Estimation Equation:
=====================
LOG(EC) = C(1) + C(2)*Y + [AR(1)=C(3)]
Substituted Coefficients:
=====================
LOG(EC) = - *Y + [AR(1)=]
第四节 案例：中国商品进口模型
经济理论指出，商品进口主要由进口国的经
济发展水平，以及商品进口价格指数与国内价格
指数对比因素决定的。
由于无法取得中国商品进口价格指数，我们
主要研究中国商品进口与国内生产总值的关系。
（下表）。
1. 通过OLS法建立如下中国商品进口方程：
（）
（）
2. 进行序列相关性检验。
• DW检验
取=5%，由于n=24，k=2(包含常数项)，查表得：
dL=， dU=
由于 DW=< dL ，故: 存在正自相关。
• 拉格朗日乘数检验
（）（） () （）
R2=
于是，LM=22=
取=5%，2分布的临界值(2)=
LM > (2) 故: 存在正自相关
2阶滞后：
3阶滞后：
() () () （） （）
R2=
于是，LM=21=
取=5%，2分布的临界值(3)=
LM > (3)
表明: 存在正自相关；但ět-3的参数不显著，说
明不存在3阶序列相关性。
3、运用广义差分法进行自相关的处理
（1）采用杜宾两步法估计
第一步，估计模型
（） () () () () ()
第二步，作差分变换：
则M*关于GDP*的OLS估计结果为：
（） ()
取=5%，DW>du= (样本容量24-2=22)
表明：已不存在自相关
于是原模型为：
与OLS估计结果的差别只在截距项：
（2）采用科克伦-奥科特迭代法估计
在Eviews软包下，2阶广义差分的结果为：
取=5% ，DW>du=(样本容量:22)
表明:广义差分模型已不存在序列相关性。
() () () ()
可以验证: 仅采用1阶广义差分，变换后的模
型仍存在1阶自相关性；
采用3阶广义差分，变换后的模型不再有自相
关性，但AR[3]的系数的t值不显著。
