第七章
布莱克-舒尔斯期权
定价公式的扩展
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
主要内容
布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷
交易成本
波动率微笑和波动率期限结构
随机波动率
不确定的参数
跳跃扩散过程
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B-S模型的缺陷
交易成本的假设
波动率为常数的假设
不确定的参数
资产价格的连续变动
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交易成本的影响
规模效应和交易成本差异化 。
即使是同一个投资者，在调整过程中，
持有同一个合约的多头头寸和空头头寸，
价值也不同 。
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H-W-W交易成本模型
基本假设：
投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个
期权；
整个投资组合的调整存在交易成本；
投资者的组合调整策略事先确定；
股票价格的随机过程以离散的形式给出；
保值组合的预期收益率等于无风险银行存款利
率
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H-W-W模型推导
构造无风险组合
之后 ,整个组合价值的变化相应减少：
要求交易成本项,关键要获得n值，显然：
（7-
1）
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H-W-W模型推导（续）
由Ito引理：
根据无风险假设，有:
将公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：
（7-
3）
（7-
2）
（7-
4）
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对H-W-W方程的理解
项在实际中具有深刻的金融含义
的存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非
线性方程
期权多头和空头价值的不一致性
对于单个期权多头，H-W-W方程实际上是一个以
为波动率的BS公式
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交易成本的其他模型
期权组合中的 值不是同一个符号的情形
交易成本不是前述的简单结构，而是资产价格和
调整数量的函数 的情况
W-W模型
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波动率微笑和波动率期限结构
人们通过研究发现，应用期权的市场价格和BS
公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向
的变动规律：
“波动率微笑”（Volatility Smiles）：隐含波
动率会随着期权执行价格不同而不同；
波动率期限结构（Volatility Term Structure）：
隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。
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波动率微笑
对于货币期权而言，隐含波动率常常呈现近似
U形。平价期权的波动率最低，而实值和虚值
期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而
增大，两边比较对称。
股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形
状，即向右下方偏斜。当执行价格上升的时候，
波动率下降，而一个较低的执行价格所隐含的
波动率则大大高于执行价格较高的期权。
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货币期权的波动率微笑与分布
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股票期权的波动率微笑与分布
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波动率期限结构
从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即
到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随
着到期时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史
波动率的平均值靠近。
波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响。
大多时候，期权到期日越近，波动率“微笑”
就越显著，到期日越长，不同价格的隐含波动
率差异越小，接近于常数
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波动率矩阵
执 行 价 格
剩余有效期
一个月
三个月
六个月
一年
两年
五年
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意义和应用
波动率微笑和波动率期限结构的存在，证明了
BS公式关于波动率为常数的基本假设是不成立
的，至少期权市场不是这样预期的。因此放松
波动率为常数的假设，成为期权理论发展的一
个重要方向。目前主要有两种不同的策略：
从期权市场出发的改良策略
创新策略
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随机波动率模型
一般模型
股票风险中性的随机波动率模型 （Hull等）
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随机波动率对定价的影响
当波动率是随机的，且与股票价格不相关时，欧式期权
的价格是BS价格在期权有效期内平均方差率分布上的积
分值：
在股票价格和波动率相关的情况下，这个随机波动率模
型没有解析解，只能使用数值方法得到期权价格
波动率随机性质的影响，也会因到期时间的不同而不同
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GARCH模型
GARCH模型可以分为多种，其中最常见的是
GARCH(1,1)模型：
采用 的形式，用最大似
然估计法估计三个参数 、 和 ，可以进一步
得到 和 的值，并可计算出特定时刻波动率的
大小
（7-
5）
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不同时期的权重分布
对公式7-5的右边右边 重复的迭代过程，可
以得到：
通过适当的变换，我们可以将式（7-6）写作
由于 ，可得未来波动率的预
期值为：
（7-
6）
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不确定的参数
问题：现实生活当中存在着这样的问题：当参
数价值是不确定的时候，如何为期权定价？
解决方法：假设我们知道的这些参数位于某个
特定的区间之内，之后考虑最悲观的情况下我
们的期权至少值多少。用这样的假设和思路，
我们不会计算出期权的某一特定价值，而会发
现期权的价值也将位于某个区间之内
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不确定的波动率
仍然构造无风险组合，组合价值：
假设 与
考虑最糟糕的情况，可以确定期权的最低值，用公式
表示：
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期权价值的下限
期权价值下限 满足
其中 ， 且 。
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期权价值的上限
期权价值上限 满足：
其中 ， 。
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不确定的利率
考察组合 ，假设： ，则：
此时，我们选择的利率将依赖于 的符号，相
应的方程为：
其中： ，
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不确定的红利收益率
在连续支付红利的情况下，其推导过程很类似，
在 的假定下，只要解出：
其中：
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跳跃扩散过程
所谓的跳跃扩散过程是普通的（路径连续的）
扩散过程和一个在随机时刻发生跳跃的（跳跃
幅度也是随机的）跳跃过程的结合，显然这种
变化过程更能反映现实价格路径，对应的模型
则可以认为是考虑资产价格有不连续的跳跃时
对BS公式的推广
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资产价格所遵循的跳跃扩散过程
使用连续布朗运动来反映连续扩散过程，同时
引入泊松过程来描述资产价格的跳跃
为泊松过程，定义为：
根据Ito引理，可得：
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跳跃扩散过程的保值组合和期
权定价
仍然考察组合 ，运用Ito引理，包含了跳
跃的组合价值变化为
如果时刻没有跳跃发生，则 ，那么我们就会选择
来降低风险。如果有跳跃，
则 ， 我们仍然可以选择
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包含了跳跃的期权定价公式
Merton于1976年提出了一个重要的思想：如果
资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无
关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应
该获得期望收益
这个假定，可以得到：
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跳跃扩散模型的理解
跳跃扩散模型确实反映了BS模型中忽略了的真
实现象，但是它们在现实中却较少使用，BS公
式仍然广泛使用，主要的三个原因是 ：
参数预测很困难
方程难以求解
完全保值的不可能性
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